重庆市北碚区西南大学附属中学2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

高2024届高二下期5月测试数学试题

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1. 已知集合，，，则（    ）

A. 或 B.  C. 或 D.

【答案】B

【解析】

【分析】分析可知，利用集合的包含关系可出关于的等式，结合集合元素满足互异性可得出实数的值.

【详解】因为，，，则，

所以，或，

若，则，此时，，集合中的元素不满足互异性，故；

若，可得，因为，则，此时，，合乎题意.

因此，.

故选：B.

2. 已知a，，，则（    ）

A. 5 B.  C. 3 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数相等求得，再求.

【详解】因为，所以，，

所以.

故选：D

3. 的展开式中的常数项是（    ）

A.   B. 20 C.   D. 160

【答案】C

【解析】

【分析】求出展开式的通项，令的指数等于0，从而可得出答案.

【详解】二项展开式的通项为，

令，得，
所以展开式中的常数项为

故选：C．

4. 五一劳动节前夕，4名同学各自在周六、周日两天中等可能地任选一天参加公益活动，且周六、周日都有同学参加公益活动，则周六恰有2位同学参加公益活动的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题计算出4名同学参加公益活动的总情况数，及周六恰有2名同学参与的情况数，即可得答案.

【详解】由题意知，4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的总情况数为，4人选择一天的情况数为2，则周六、周日都有同学参加公益活动共有种不同的结果．又周六恰有2位同学参加公益活动共有种不同的结果，故所求的概率为．

故选：A

5. 算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明.在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具.下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位､十位､百位､千位，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如，如图二，个位上拨动一粒上珠､两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位､十位､百位､千位､万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的五位数至多含3个5的情况有（    ）

A. 10种 B. 25种 C. 26种 D. 27种

【答案】C

【解析】

【分析】分类情况讨论结合组合数的计算可得种类.
 

【详解】方法一：至多含3个5，有以下四种情况：

不含5，有种；含1个5，有种；含2个5，有种；

含3个5，有种，所以，所有的可能情况共有种

方法二：所有可能的情况有种，其中不符合条件有

含有4个5，有种；含有5个5，有种；

所以，所有的可能情况共有种

故选：C.
 

6. 若函数在在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，参变分离得到，，根据二次函数的性质求出的最大值，即可得解.

【详解】因为，所以，

依题意在上恒成立，

所以，令，，

因为在上单调递增，则

所以，即实数的取值范围是.

故选：D

7. 设函数在R上存在导数，对任意的，有，且在上．若，则实数a的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】通过构造函数，利用的奇偶性和条件得到在上单调递减，再将变形成，从而得到，即可求出结果.

【详解】因为，所以，得到，

令，所以，

则为奇函数，且，

又当时，，所以由奇函数的性质知，在上单调递减，

又，所以，即，

所以，即.

故选：A.

8. 已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ）

A. 3 B. 5 C. 7 D. 9

【答案】C

【解析】

【分析】作出函数的图象，可设，可得，判断与交点个数，进而将的零点个数问题转化为函数的图象交点个数问题，数形结合，可得答案.

【详解】设，令可得：,

对于，，故在处切线的斜率值为，

设与相切于点，

切线斜率，则切线方程为：，

即，解得：；

由于，故作出与图象如下图所示，

与有四个不同交点，

即与有四个不同交点，

设三个交点为，由图象可知：，

作出函数的图象如图，

由此可知与无交点，与有三个不同交点，与各有两个不同交点，

的零点个数为7个，

故选：C

【点睛】方法点睛：解决此类复合函数的零点问题，常常采用换元的方法，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决.

二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）

9. 对任意实数，有.则下列结论成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D.

【详解】由，

可得，

当时，，则，A选项错误；

由二项式定理可得，，B选项错误；

当时，，

即，C选项正确；

当时，，

即，D选项正确.

故选：CD

10. 某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记事件A：“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件B：“学生丙最后一个出场”，则下列结论中正确的是（    ）

A. 事件A包含78个样本点 B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】利用分步分类计数，结合组合排列数求事件A、事件B、事件样本点数，再应用古典概率求法求、，最后由条件概率公式求.

【详解】问题等价于5个人安排到5个座位，

事件A：甲不在首位，乙不在末位，安排甲（除首位）到其中4个座位上，分两种情况：

若甲不在末位有种，再安排乙有种，其它同学作全排有，共有；

若甲在末位有1种，余下同学（含乙）作全排有，共有；

所以，事件A包含78个样本点；

事件B：除丙以外的其它同学作全排有；

事件：把丙安排在末位，再安排甲在中间3个位置有种，其它同学作全排有，共有；

而5位同学所有可能安排有.

所以，，而，

综上，A、B正确，C、D错误.

故选：AB

11. 函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，且，则（    ）

A. 为偶函数

B.

C. 的图象关于对称

D. 若，则为奇函数

【答案】AC

【解析】

【分析】根据简单复合函数的求导法则及奇偶性的定义判断A、D，利用特殊值判断B，根据周期性及奇偶性判断函数的对称性，即可判断C.

【详解】因为为奇函数且在定义域上可导，即，

所以两边对取导可得，即，

所以为偶函数，故A正确；

对于B：令，显然为奇函数，且最小正周期，

即满足，则，则，故B错误；

对于C：因为且为上的奇函数，所以，

即，所以，即，

所以的图象关于对称，故C正确；

对于D：因为，则，

即为奇函数，由A可知为偶函数，故D错误；

故选：AC

12. 已知，则下列不等式成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】由题设知，特殊值判断A；根据指对数的单调性判断B、C；由基本不等式知，进而判断是否成立判断D.

详解】由，故，

当时，A错；

由在定义域上递减，而，故，B错；

由，而在定义域上递增，故，C对；

因为，则，

仅当，即时等号成立，

所以，只需，而，仅当时等号成立，

综上，，仅当时等号成立，D对.

故选：CD

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13. 函数的单调递减区间为___________.

【答案】

【解析】

【分析】求导数，解不等式即可得函数的单调递减区间.

【详解】函数的定义域为，则，

令，则，解得，

故函数的单调递减区间为.

故答案为：.

14. 函数在点处的切线方程为____________.

【答案】

【解析】

【分析】由导数定义结合导数几何意义可得切线的斜率，即可得切线方程.

【详解】

则曲线在点处的切线方程的斜率为，得切线方程为，即.

故答案为：

15. 在2022年卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队通过点球大战击败法国队，最终获得世界杯冠军.某游戏公司据此推出了一款“AR点球大战”的游戏，规则如下：游戏分为进攻方和防守方，进攻方最多连续点球5次，若进球则进攻方得1分，若没进则防守方得1分，先得3分者获胜，本次游戏结束.已知某用户作为进攻方时，若某次点球进球，则下次进球的概率为；若没有进球，则下次进球的概率为，在某次游戏中，该用户第1次点球没进，则该用户获胜的概率为________.

【答案】

【解析】

【分析】先分析出该用户获胜分为点球4次后获胜或点球5次后获胜两类，再分析出每一类中包含的情况，计算出每种情况的概率，相加即得该用户获胜的概率.

【详解】该用户第1次点球没进球且该用户获胜可分为点球4次后获胜或点球5次后获胜，

记事件该用户第1次点球没进球且点球4次后获胜，

该用户第1次点球没进球且点球5次后获胜

若第1次点球没进球且点球4次后获胜，则只有一种情况，第2次、第3次和第4次均进球，

所以；

若第1次点球没进球且点球5次后获胜，则共有3种情况，

①第2次没进，第3次、第4次和第5次进球；

②第3次没进，第2次、第4次和第5次进球；

③第4次没进，第2次、第3次和第5次进球，

所以.

故该用户获胜概率为.

故答案为：.

16. 如图，某景区共有 五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测.若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有____________种不同的检测顺序.

【答案】

【解析】

【分析】将个景区抽象为个点，见个检票口抽象为条路线，将问题化归为不重复走完条路线，即一笔画问题，分析可得只能从或处出发才能不重复走完条路线，再用列举法列出所有可能结果，即可得解.

【详解】如图将个景区抽象为个点，见个检票口抽象为条路线，将问题化归为不重复走完条路线，即一笔画问题，

从或处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从或处出发才能不重复走完条路线，

由于对称性，只列出从处出发的路线情形即可.

①走路线：，，，，，，共种；

②走路线：，，，，，，共种；

③走路线：，，，，共种；

综上，共有种检测顺序.

故答案为：

四、解答题（共6小题，共70分）

17. 一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，黑球4个，白球5个．

（1）从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X，求随机变量X的概率分布；

（2）从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，求另一个小球也是黑球的概率.

【答案】（1）答案见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）求出的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列作答.

（2）根据给定条件，利用条件概率公式计算作答.

【小问1详解】

可能的取值为0，1，2，3，

，，，，

概率分布列为：

【小问2详解】设“从袋子中任取两个小球，其中一个小球是黑球”为事件，“另一个小球也是黑球”为事件，

则，    

由条件概率公式可得，

所以从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，另一个小球也是黑球的概率为.

18. 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．

（1）在组成的五位数中，能被5整除的个数有多少？

（2）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少?

（3）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?

（4）在组成的五位数中，若从小到大排列，30421排第几个?

【答案】（1）24    （2）36   

（3）36    （4）第54个

【解析】

【分析】（1）能被5整除的数的个位数字为0，其它位置任意排.

（2）先排个位数，从两个奇数里选，然后排万位数，不能为零，剩下其它位置任意排，再按分步乘法计数原理得出结果.

（3）把数字1和3捆绑在一起，1和3可以交换位置，又最高位不为0，先安排0，有3个位置，其余位置任意排；

（4）计算出比30421小的五位数的情况，即可知道30421排第几个.

【小问1详解】

能被5整除的数的个位数字为0，其它位置任意排，则有个；

【小问2详解】

在组成的五位数中，先排个位数，从两个奇数里选，然后排万位数，不能为零，剩下其它位置任意排.

所有奇数的个数有个；

【小问3详解】

在组成的五位数中，把数字1和3捆绑在一起，1和3可以交换位置，又最高位不为0，先安排0，有3个位置，其余位置任意排，

则有个；

【小问4详解】

比30421小的五位数，若万位为1或2，其余位置任意排，即，

若万位为3，比30421小的有5个，30124，30142，30214，30241，30412.

从小到大排列，30421排第54个.

19. 人们在接受问卷调查时，通常并不愿意如实回答太敏感的问题．比如，直接问运动员们是否服用过兴奋剂，绝大多数情况下难以得到真实的数据．

某中学发布了一项针对学生行为规范的新校规，学生社团想进行一次本校学生对新校规认可度的调查，为了消除被调查者的顾虑，精心设计了一份问卷：

学生社团随机选取了150名男学生和150名女学生进行问卷调查，已知统计问卷中有85张勾选“是”．

（1）根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计该校学生对新校规持认可态度的概率；

（2）据核实，以上的300名学生中有20名学生对新校规持认可态度，其中男生15人，女生5人，请完成列联表，并判断是否有的把握认为对新校规持认可态度与性别有关．

参考公式和数据如下：，．

【答案】（1）   

（2）列联表见解析；有

【解析】

【分析】（1）由题意计算出回答第一个问题和回答第二个问题的人数，根据古典概型的概率公式可得答案；

（2）由题意可得列联表，计算的值，比较即可得结论.

【小问1详解】

由题意知抛一个硬币：得到正面或反面是等可能的，

故回答第一个问题的人数为人，回答第二个问题的人数也为150人，

因为身份证号码最后一个数是否为奇数是等可能的，

所以回答第一个问题，选择“是”的学生人数为，

则回答第二个问题，选择“是”的同学人数为人，

所以估计该校学生对新校规持认可态度的概率为；

【小问2详解】

由题意可得列联表如下：

故，

故有的把握认为对新校规持认可态度与性别有关．

20. 某地新能源汽车保有量符合阻沛型增长模型，其中为自统计之日起，经过t年后该地新能源汽车保有量、和r为增长系数、M为饱和量．

下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量（万辆）的统计数据：

假设该地新能源汽车饱和量万辆．

（1）若，假设2018年数据满足公式，计算的值（精确到0.01）并估算2023年年底该地新能源汽车保有量（精确到0.1万辆）；

（2）设，则与t线性相关．请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分析确定和r的值（精确到0.01）．

附：线性回归方程中回归系数计算公式如下：.

【答案】（1），万辆   

（2），

【解析】

【分析】（1）根据题意代入即可求出，代入利用公式估算即可得解；

（2）设设，转化为关于的线性回归问题，利用公式求出即可.

【小问1详解】

由题意可知，2018年对应，，

满足，所以，解得，

因为年对应的，

所以

所以估计2023年底该地新能源汽车保有量为40.3万辆.

【小问2详解】

，

设，则，

，，

，

所以，

因为，

所以.

(该题无参考数据，需要计算器计算)

21. 已知函数，其中.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）证明：.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，进而得出切线的方程；

（2）根据在区间上的单调性，结合零点存在定理求得有唯一的根，且，利用函数的单调性求出的最小值，结合的范围即可证得结论.

【小问1详解】

因为，且，，

所以曲线在处的切线方程为，即；

【小问2详解】

证明：由（1），知，，

易知在区间上单调递增，且，

，，

所以，存在，使得，即有唯一的根，记为，

则，对两边取对数，

得，整理得，

因为时，，函数单调递减，

时，，函数单调递增，

所以，，

令，，，

则在上单调递减，从而，

所以．

22. 已知函数，.

（1）求函数的极值；

（2）证明：当时，在上恒成立.

【答案】（1）极小值为，无极大值   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求得，令，求得，结合，得到函数的单调性，进而求得极值；

（2）由，根据题意，由且，放缩得到，令，求得，得出函数单调性，结合单调性求得，得出，即可得证.

【小问1详解】

解：由函数，可得定义域为，

且，

令，可得，所以单调递增，

又因为，

所以当时，，可得，单调递减；

当时，，可得，单调递增，

所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值.

【小问2详解】

解：由，

因为且，

可得

令，

可得，

因为，即或，

又因为方程的两根都是负数根（舍去），

所以，可得

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以当时，函数取得极小值，同时也为在上的最小值，

即，所以，

所以，所以，   

故当时，在恒成立.

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．