重庆市第十八中学2023-2024学年高一数学上学期9月月考试题（Word版附解析）

重庆市第十八中学2023-2024学年第一学月考试

高一（上）数学试题

考试说明：

1.考试时间：120分钟；

2.试题总分：150分3.试卷页数：2页.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求集合A，再根据交集运算求解.

【详解】由题意可得：，所以.

故选：B.

2. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】特称命题的否定：存在改任意并否定原结论，即可写出原命题的否定.

【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为.

故选：B

3. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是（    ）

A. 12 B. 13 C. 14 D. 12或14

【答案】C

【解析】

【分析】解方程并结合三角形的性质可得腰长为4，进而可得结果.

【详解】因为，解得或，

且，不合题意；，符合题意，

可知：腰长为4，所以此三角形的周长是.

故选：C.

4. 二次函数（a，b，c为常数且）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴的位置、在纵轴的交点坐标的正负判断的正负性，再结合反比例函数、一次函数的图象特征逐一判断即可.

【详解】由二次函数的图象可知：开口向上，因此；对称轴为，

当时，；

因为，所以反比例函数的图象在二、四象限，排除BC；

因为，，所以一次函数图象经过第一、三、四象限，故排除D，

故选：A

5. 在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n.如果m，n满足，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据古典概型的计算公式，结合绝对值不等式进行求解即可.

【详解】根据题意，m，n的情况如下：

共16种情况，

其中m，n满足的情况如下：

共10种情况，

所以两人“心领神会”的概率是，

故选：D

6. 若，，，则这三个集合间的关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分析给定的三个集合的约束条件，探讨它们的关系即可判断作答.

【详解】依题意，，，

，而，{偶数}，

因此集合中任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即，

所以.

故选：C

7. 如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是中点，P是的中点，连接.若，，则线段的最大值是（    ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】根据旋转变换的性质，结合三角形三边关系进行求解即可.

【详解】在中，，，，

所以，因为M是的中点，所以，

因为绕顶点C逆时针旋转得到，

所以，，

因为P是的中点，

所以，

由三角形三边关系，得，

当旋转到在一条直线上，且位于之间时，

有最大值，最大值为，

故选：B

8. 记为a，b两数的最大值，当正数x，变化时，的最小值为（    ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【答案】A

【解析】

【分析】根据题中定义，结合基本不等式进行求解即可.

【详解】由可得：，，

所以有，

因为x，是正数，且，

所以，

当且仅当时取等号，即当时取等号，

于是有，

当且仅当时取等号，即当时取等号，

所以的最小值为4，

故选：A

【点睛】关键点睛：本题的关键是理解的含义，由得到，.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 如图中阴影部分所表示的集合是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据Venn图，结合集合运算的概念即可得出答案.

【详解】 

A选项：，则，故A正确；

B选项：，则，故B错误；

C选项：，则，故C错误；

D选项：，，故D正确.

故选：AD.

10. 如图，在直角坐标系中，直线.与坐标轴交于A、B两点，与双曲线交于点C，过点C作轴，垂足为D，且，则以下结论中正确结论的有（    ）

A.  B. 当时，

C. 如图，当时， D. 当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小

【答案】AC

【解析】

【分析】A项，通过证明即可得出结论；B项，利用函数图象的交点即可得出结论；C项，计算出时的值，即可求出的长；D项，根据函数图象即可得出两函数增减性.

【详解】由题意，

A选项，对于直线 ,

令 , 得到 ；令 , 得到，

∴ , 即 ,

在 和 中,

∴

∴，

∴ (同底等高三角形面积相等），A正确；

B项，把点坐标代入反比例解析式得：, 即 ,

由函数图象得: 当时, ，B错误；

C项，当 时, ,

∴，C正确；

D项，当 时, 随 的增大而增大, 随 的增大，D错误；

故选：AC.

11. 已知正实数x，y满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据基本不等式可知，，即，所以选项A正确；而可判断B错误；将展开并结合可知C错误；观察D项分母可知，利用基本不等式“1”的妙用求最值，即可知D正确.

【详解】对于A，基本不等式可知，即，所以，即；当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，根据不等式，当且仅当时，等号成立；所以B错误；

对于C，，当且仅当时，等号成立；故C错误；

对于D，根据，观察分母可知为定值，则，当且仅当时，等号成立；故D正确.

故选：AD.

12. 对于集合.给出如下结论，其中正确的结论是（    ）

A. 如果，，那么

B. 如果，，那么

C. 如果.那么

D. 若.对于，则有

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A：设，则，进而分析判断；对于B：先说明，再取特值，分析判断；对于C：令，，可知对任意，均有，所以，故C正确；对于D：取特值，分析判断.

【详解】对于选项A：因为，，设，

则，

因为，则，

所以，故A正确；

对于选项B：因为，不妨设，

若，则；

若，则为奇数；

若，则；

综上可知：.

显然，令，则，故B错误；

对于选项C：令，，则，

即对任意，均有，所以，故C正确；

对于选项D：由选项B可知：，故D错误.

故选：AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设a，，若集合，则______.

【答案】0

【解析】

【分析】利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案．

【详解】由题意可知：，

因为，则，可得，

则，可得，且满足，

所以.

故答案为：0.

14. 如图，直径的半圆，绕B点顺时针旋转，此时点A到了点，则图中阴影部分的面积是______.

【答案】

【解析】

【分析】由题意可知：阴影部分为以B点为圆心，为半径的扇形和以为直径的半圆，减去以为直径的半圆，进而结合扇形面积公式运算求解.

【详解】由题意可知：阴影部分为以B点为圆心，为半径的扇形和以为直径的半圆，减去以为直径的半圆，

且，即两个半圆的面积相等，

则阴影部分的面积即为以B点为圆心，为半径的扇形得面积，为.

故答案为：.

15. 已知两个命题p：，q：，则p是q的______条件（充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要）.

【答案】充要

【解析】

【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可

【详解】当时，

若中至少有一个为零，则成立，

若，则，

若，则，

综上，当时，成立，故充分性成立；

当时，，即，

整理得，所以成立，故必要性成立；

所以p是q的充要条件.

故答案为：充要

16. 对于一个各数位数字均不为零的四位自然数m，若千位与百位数字之和等于十位与个位数字之和，则称m为“一致数”.设一个“一致数”满足且.将m的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数.并记；一个两位数，将N的各个数位数字之和记为；当（k为整数）时，则所有满足条件的“一致数”m中，满足为偶数时，k的值为______，m的值为______.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】设一个“一致数”满足且，得出，然后分类讨论即可求解.

【详解】解：设一个“一致数”满足且，

则，，

所以，

一个两位数，将N的各个数位数字之和记为，

则，

因为，

即，，

因为满足为偶数时，

则， 为偶数，逐项代入检验可得：

当时，则，

当时，则，故舍去；

所以.

故答案为：；.

【点睛】关键点睛：本题的关键是将表示成，然后再分类讨论.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，.

（1）当时，求；

（2）若，求实数a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据集合并集的定义进行求解即可；

（2）根据集合交集运算的性质进行求解即可.

【小问1详解】

因为，所以，而，

所以；

【小问2详解】

因为，

所以，或，

由，显然满足；

由，而，所以不存在这种情况，

综上所述：实数a的取值范围

18. 2023年以来，某区把垃圾分类纳入积分，建立文明账户，市民以行动换积分，以积分转习惯.区政府为了了解4月份甲、乙两个社区居民垃圾换积分的情况，分别从甲、乙两个社区各抽取10人，记录下他们的积分（单位：分），并进行整理和分析（积分用x表示，共分为4组：；，，），下面给出了部分信息：

甲社区10人的积分：47，56，68，71，83，83，85，90，91，94；

乙社区10人的积分在C组中的积分分数为：81，83，84，84；

两组数据的平均数，中位数，众数如下表所示：

乙社区积分等级扇形图

根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：______，______，______；

（2）根据以上数据，你认为哪个社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好，请说明理由（一条即可）；

（3）若4月份甲社区有700人参与活动，乙社区有800人参与活动，请估计4月份甲、乙两个社区积分在80分以上（包括80分）的一共有多少人？

【答案】（1）   

（2）乙社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好，理由见解析   

（3）980

【解析】

【分析】（1）找出甲社区中出现次数最多的数据，即可求得的值，根据乙社区的扇形统计图，计算出两组的人数，再结合C组的人数可求出的值，利用组的数除以10可求出的值，

（2）从中位数和众数的解度进行分析即可，

（3）分别利用总数乘以甲乙两个社区积分在80分以上所占的百分比，将积相加即可.

【小问1详解】

因为甲社区中出现次数最多的数据为83，所以，

由乙社区的扇形统计图可得乙社区组人数为，组人数为人，

因为乙社区10人的积分在C组中的积分分数为：81，83，84，84，

所以乙社区的积分从小到大排列，第5个和第6个数据分别为83，84，

所以，

因为乙社区组人数为人，

所以组人数所占的百分比为，

所以，

【小问2详解】

乙社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好，理由如下：

因为甲乙两个社区积分的平均数相同，但是乙社区的中位数和众数均比甲社区高，

所以乙社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好，

【小问3详解】

因为甲社区积分在80分以上（包括80分）的人数所占的比例为，乙社区积分在80分以上（包括80分）的人数所占的比例为，

所以4月份甲、乙两个社区积分在80分以上（包括80分）的一共有

人.

19. 已知集合，集合.

（1）设a为实数，若集合，且，求的取值范围；

（2）设m为实数，集合，若“”是“”的必要不充分条件，判断满足条件的m是否存在，若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）化简集合，通过即可分类讨论求出的取值范围；

（2）求出，利用“”是“”的必要不充分条件即可求出m的取值范围.

小问1详解】

由题意，化简集合，

，，

∴，

在中，，

当时, , 满足题意；

当时, ，

此时

综上，的取值范围为.

【小问2详解】

由题意及（1）得，

，，

∴,

在中， “”是“”的必要不充分条件，

∴ (等号不同时成立)

∴满足条件的 存在, 取值范围是 .

20. 如图，一沙尘暴中心在A地南偏西的方向的B处，正迅速向正东方向移动，经过一段时间，沙尘暴中心位于A地西南方向的C处，且千米.

（1）求A，C之间的距离（保留准确值）；

（2）距沙尘暴中心200千米的范围为受沙尘暴影响的区域，沙尘暴中心由点C处开始将沿南偏东的方向移动，请说明A地是否会受到这次沙尘暴的影响？（参考数据：，，）.

【答案】（1）A，C之间的距离千米   

（2）A地不会受到这次沙尘暴的影响

【解析】

【分析】（1）过A作，垂足为，设千米，可得千米，千米，再结合题意列式求解即可；

（2）过A作，垂足为，可得千米，对比分析即可.

【小问1详解】

过A作，垂足为，设千米，

在中，可知：，可得千米，

在中，可知：，可得千米，

由题意可得：，即，解得，

所以A，C之间的距离千米.

【小问2详解】

过A作，垂足为，

中，可知：，可得千米，

因为，所以A地不会受到这次沙尘暴的影响.

21. （1）已知，，求的取值范围；

（2）若实数a，b，c满足.试判断与的大小并说明理由.

【答案】（1）；（2），理由见详解

【解析】

【分析】（1）根据题意可得，结合不等式性质运算求解；

（2）令，可得，根据“1”的应用结合基本不等式运分析判断.

【详解】（1）设，其中，

则，解得，即，

因为，，则，，

可得，所以的取值范围为；

（2）令，则，

可得，即，

则

，

当且仅当，即时，等号成立，

可得，即.

22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C.点D是抛物线对称轴上的一点，纵坐标为-5，P是线段上方抛物线上的一个动点，连接，.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当的面积取最大值时，求点P的坐标和的面积的最大值；

（3）将抛物线沿着射线平移，使得新抛物线经过点D.新抛物线与x轴交于E，F两点（点E在点F左侧），与y轴交于点G，点M是新抛物线上的一动点，点N是坐标平面上一点，当以点E，G，M，N为顶点的四边形是矩形时，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程.

【答案】（1）   

（2），   

（3），，或

【解析】

【分析】（1）将，代入抛物线即可得出解析式；

（2）过点作，得出，的解析式，即可求出点P的坐标和的面积的最大值；

（3）求出平移二次函数的解析式，设出点坐标，构造矩形，即可求出点M的坐标.

【小问1详解】

由题意，在中，，

∴抛物线的函数表达式是：.

【小问2详解】

由题意及（1）得，如下图1，

抛物线的对称轴是直线，，

，直线的解析式是:，

过点作，

可设的解析式是:，由得，

面积最大，方程由两个相等实数根，

，

当时，，，

如图2，

直线的解析式是:，

当时，，

，

，

即的最大面积是.

【小问3详解】

由题意，（1）及（2）得，在中，

平移后的关系式是，

解得：或，

∴，

如图3，

当点落在抛物线的顶点时，，

∵，∴，

的解析式是，

∴，解得：（舍）或

∴，

当是对角线时，

设点，

由得，

∴，

∴点坐标为，，或.