重庆市两江育才中学2023-2024学年高二数学上学期第一学月质量监测试题（Word版附解析）

高2022级2023-2024学年度上期第一学月质量监测

数学试题

（时间：120分钟满分：150分）

一､单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设，向量，，且，则（    ）

A.  B.  C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间向量平行与垂直的坐标表示，求得的值，结合向量模的计算公式，即可求解.

【详解】由向量且，

可得，解得，所以，，

则，所以.

故选：C.

2. 若，，，则的形状是 （    ）

A. 等边三角形 B. 直角三角形

C. 钝角三角形 D. 不等边锐角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知求出三条边长排除A,B选项，再根据余弦定理计算最大角可以判断C,D选项.

【详解】因为，，

，

所以的三条边都不相等，也不满足勾股定理，故排除A，B．

因为的最大边为，所以角C为的最大内角，

又，故角C为锐角，即为锐角三角形．

故选：D．

3. 已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由圆锥的轴截面、侧面展开图性质求体高，应用圆锥体积公式求体积即可.

【详解】设该圆锥的母线长为l，高为h，

由，得，则，

所以该圆锥的体积为．

故选：C

4. 如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先用，，，表示向量，再利用为的中点，得代入整理得答案.

【详解】因为为的重心，所以.

为的中点，所以.

故选：C.

5. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由余弦定理计算可得；

【详解】解：由，得，

故选：B．

6. 如图，在三棱柱中，，，，，与的交点为M，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间向量的线性运算可得，进而结合空间向量的数量积公式运算即可求解.

【详解】由题意得，

所以

.

故选：C.

7. 在正三棱柱中，，点D在棱BC上运动，若的最小值为，则三棱柱的外接球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用展开图结合余弦定理求得，取的中心分别为M，N，则MN的中点O为三棱柱的外接球的球心，利用正弦定理求出的外接圆的半径，进而利用勾股定理求得外接球的半径，进而可得答案.

【详解】如图，将与矩形展开至同一平面，易知.

设，由题意知的最小值为，即.

由余弦定理可得，

即，解得或（舍去）.

取的中心分别为M，N，连接MN，

则MN的中点O为三棱柱的外接球的球心，

设的外接圆的半径为r，则，即，

设三棱柱的外接球的半径为R，

在中，,则，

故三棱柱的外接球的表面积为.

故选：A.

8. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求解异面直线与所成角的余弦值.

【详解】

设上底面圆心为，下底面圆心为，连接

以为原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系

则

则

又异面直线所成角的范围为

故异面直线与所成角的余弦值为

故选：A

二､多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）

9. 若复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则在第二象限

B. 若为纯虚数，则在虚轴上

C. 若，则点的集合所构成的图形的面积为

D. 若，且，则为实数

【答案】BD

【解析】

【分析】根据的周期性、复数的几何意义、复数的除法运算等知识直接判断各个选项.

【详解】对于A，因为，故，所以在坐标轴上，故A错误；

对于B，若为纯虚数，则在虚轴上，故B正确；

对于C，若，则点的集合所构成的图形是半径为3的圆及其内部，面积为，故C错误；

对于D，，则为实数，故D正确．

故选：BD

10. 给出下列命题，其中正确的命题是（    ）

A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线

B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面

C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

D. 已知向量，则在上的投影向量为

【答案】CD

【解析】

【分析】根据已知得出，即可判断A项；根据空间向量的有关定义及其结论，可判断B、C项；根据投影向量的概念，即可得出D项.

【详解】对于A项，由已知可得，所以或，故A项错误；

对于B项，因为，所以四点不共面，故B项错误；

对于C项，根据空间向量基底的概念，可知C项正确；

对于D项，因为，，

所以，在上的投影向量为，故D项正确.

故选：CD.

11. 在长方体中，､､分别为棱､､的中点，，，则正确的选项是（    ）

A. 异面直线与所成角的大小为60°

B. 异面直线与所成角大小为90°

C. 点到平面的距离为

D. 点到平面距离为

【答案】BC

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，求出，后，由可判断A、B；求出平面的一个法向量后，由点到平面的距离为可判断C、D.

【详解】如图建立空间直角坐标系，连接，

则，，，，，

所以，，

所以，所以，

所以异面直线与所成角的大小为90°，故A错误，B正确；

又，，

设平面的一个法向量，

则，令，则，

则点到平面的距离为，故C正确，D错误.

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：

（1）建立合理的空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角；

（2）转化点到平面的距离为方向向量在平面法向量方向上投影的绝对值.

12. 如图，在棱长为2的正方体中，点P满足，，E，F分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ）．

A. 当时，过E，F且与直线平行的平面截该正方体所得的截面为五边形

B. 当时，过E，F且与直线平行的平面截该正方体所得的截面面积为

C. 当时，的最小值为

D. 当时，的最大值为

【答案】BCD

【解析】

【分析】取的中点，并与点顺次连接得正方体的截面，证明平行于此截面即可判断AB；当时，求出点的轨迹求解判断CD作答.

【详解】如图，连接，，，

当时，，分别取的中点，

连接，过点的截面为六边形，正方体对角面是矩形，

则，于是，，

同理，，，则六边形为正六边形，

设与的交点为M，设与的交点为N，连接，，由，

得，，则四边形为平行四边形，于是，

又平面，平面，因此平面，

当时，过E，F且与直线平行的截面为六边形，

该截面面积为，A错误，B正确；

由，得，点P在底面上的轨迹是以A为圆心、圆心角为、半径为1的圆弧，如图，

当三点共线时，取最小值，显然的最大值为，CD正确.

故选：BCD

三､填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 现有张分别标有、、的卡片，采取有放回的方式从中依次随机取出张卡片，则抽到的张卡片的数字之和不小于的概率是__________．

【答案】

【解析】

【分析】列举出所有的基本事件，确定所求事件所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】设事件为“抽到的张卡片的数字之和不小于”，

则这个试验的样本空间可记为，共包含个样本点，

事件包含的样本点有：、、，包含个样本点，所以．

故答案为：.

14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为_______.

【答案】

【解析】

【分析】根据正弦定理边角互化，计算求值.

【详解】根据正弦定理可知，，

所以，

而，

所以.

故答案为：

15. 如图，已知正方体的棱长为1，E、F分别是棱AD、上的中点．若点P为侧面正方形内（含边）动点，且存在x、，使成立，则点P的轨迹长度为_________．

【答案】

【解析】

【分析】由题知，共面，即平面，取中点，连接、、，易证平面平面，所以点在上运动，点的轨迹为线段，由勾股定理计算可得.

【详解】解：因为成立，所以共面，即平面，

如图，取中点，连接、、，

根据正方体的性质得，，平面，平面，平面，，同理可证平面，且，所以平面平面，所以点在上运动，点的轨迹为线段，因为，，

由勾股定理得，

故答案为：.

16. 如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是______．

【答案】

【解析】

【分析】

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出异面直线、的公垂线的长度，即为所求.

【详解】由题意可知，线段长度的最小值为异面直线、的公垂线的长度.

如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则点、、、，

所以，，，，

设向量满足，，

由题意可得，解得，取，则，，

可得，

因此，.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将长度的最小值转化为异面直线、的距离，实际上就是求出两条异面直线的公垂线的长度，利用空间向量法求出两条异面直线间的距离，首先要求出两条异面直线公垂线的一个方向向量的坐标，再利用距离公式求解即可.

四､解答题.

17. （1）已知，，且，求，的值；

（2）已知，，若与（为坐标原点）的夹角为，求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）利用空间向量的坐标运算，结合空间向量共线的坐标表示计算作答；

（2）先算出，，然后利用数量积的坐标运算得到，再利用夹角公式即可得到答案

【详解】（1）因为，，

所以，，

因为，

所以，解得，

所以；

（2）因为，，

所以，，

所以，

因为与的夹角为，

所以，因为解得

18. 小晟统计了他6月份的手机通话明细清单，发现自己该月共通话100次，小晟将这100次通话的通话时间（单位：分钟）按照，，，，，分成6组，画出的频率分布直方图如图所示．

（1）求a的值；

（2）求通话时间在区间内的通话次数；

（3）试估计小晟这100次通话的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．

【答案】（1）   

（2）40    （3）7.28分钟

【解析】

【分析】（1）根据频率之和为列方程来求得.

（2）先求得通话时间在区间内的频率，从而求得通话时间在区间内的通话次数.

（3）根据频率分布直方图求得平均数的求法求得正确答案.

【小问1详解】

由，

得．

【小问2详解】

因为通话时间在区间内的频率为，

所以通话时间在区间内的通话次数为．

小问3详解】

这100次通话的平均时间的估计值为:

分钟．

19. 已知内角的对边分别为，设.

（1）求；

（2）若的面积为，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理即可得到结果；（2）根据题意，由三角形的面积公式可得，结合余弦定理即可得到结果.

【小问1详解】

原式化简可得：，

整理得：，

由正弦定理可得：，

因此三角形的内角；

【小问2详解】

，

，

，

.

20. 已知四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，．

（1）求点A到平面的距离：

（2）求平面与平面的夹角的大小．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量公式进行计算；

（2）法1：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的大小；

法2：过A点作，可求，结合点A到平面的距离，从而求出二面角的大小.

【小问1详解】

取中点，连接，，

则，

且，

四边形为平行四边形，

，

又，

由可得，

建立如图空间直角坐标系，

则，，，，

故，，

设平面的法向量为，

则，

解得，令，则，故，

点A到平面的距离.

【小问2详解】

设平面的法向量为，

，

解得，令，则，

可得，

，

易知平面与平面的夹角为锐角，

故平面与平面的夹角为．

法2：过点作，可求，

由（1）可知点A到平面的距离，

设平面与平面的夹角为，，

，

，

故平面与平面的夹角为．

21. 如图①，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足.将沿折起，得到如图②所示的四棱锥.

（1）设平面平面，证明：⊥平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由得到线面平行，进而由线面平行的性质得到线线平行，得到，证明出线面垂直，

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值.

【小问1详解】

平面平面，

平面.

平面，平面平面，

由图①，得，

.

平面，

平面；

【小问2详解】

由题意，得.

又，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，

.

设平面的一个法向量为.

则，

令，得，故.

设与平面所成角为.

直线与平面所成角的正弦值为.

22. 如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，为棱上一动点（不包含端点）．

（1）若为的中点，求证：平面；

（2）是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析   

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）取中点，易证得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定可证得结论；

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据面面角的向量求法可构造方程求得的值，由此可得结果.

小问1详解】

分别取中点，连接，

则为的中位线，，，

又，，，，

四边形为平行四边形，，

又平面，平面，平面.

【小问2详解】

以为坐标原点，正方向为轴可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设，则，

，

令平面的法向量为，

则，令，则，，；

又平面的一个法向量，

，

解得：或（舍），