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安徽省淮南市西部地区2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷
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这是一份安徽省淮南市西部地区2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
安徽省淮南市西部地区2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（3分）已知＝，则下列结论一定正确的是（ ）
A．x＝2，y＝3 B．2x＝3y C．＝ D．＝
2．（3分）在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
3．（3分）已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．（3分）用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的k倍（0＜k＜1），且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的一个方程是（ ）
A．+k+k2＝1 B．+k＝1
C．k+k2＝1 D．+k＝1
5．（3分）如图，将一张两边长分别为24cm和xcm的矩形纸片两次对折后展开，得到四个全等的小矩形，则x的值为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
6．（3分）若，则的值为（ ）
A． B．1 C．1.5 D．3
7．（3分）如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份．则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，连接OM，过点O作ON⊥OM，则AB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
9．（3分）如图1中，Rt△ABC，∠C＝90°，动点P从A点出发沿AC→CB运动到点B，设点P的运动路程为x，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
10．（3分）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上（2，2），将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，，点C的对应点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣2）或（2，﹣2） B．（2，2）
C．（﹣2，2） D．（﹣2，﹣2）或（2，2）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，则线段AC的长是 ．
12．（3分）设m，n分别是一元二次方程x2﹣2x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣3m﹣n＝ ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边AB与x轴平行且AB＝3，点B坐标为（4，﹣1），沿某一方向平移后1的坐标为（1，3），则点D1的坐标为 ．
14．（3分）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．AN：NC的值为 ．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点P是对角线AC上的一个动点（不与A，C两点重合），过点P作EF⊥AC分别交AD，F．将△AEF沿EF折叠，点A落在点A'处，AP的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（8分）解下列一元二次方程：
（1）x2+5x﹣24＝0；
（2）3x2＝2（2﹣x）．
17．（8分）已知关于x的一元二次方程k2x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的一个实数根是2，求k的值．
18．（8分）2022年虎年新春，中国女足3：2逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军：2022年国庆，时隔28年再夺世界杯亚军，展现了中国体育的风采！为了培养青少年体育兴趣、体育意识，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是 ；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
19．（7分）已知＝＝＝＝k，求k2﹣3k﹣4的值．
20．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，点M，N分别为AB，且AM＝CN，连接MN，BN．
（1）当AM＝3时，求证：四边形DMBN是菱形；
（2）填空：
①当AM＝ 时，四边形DAMN是矩形；
②当AM＝ 时，以MN为对角线的正方形的面积为．
21．（8分）2018﹣2020年注定是不平凡的三年，2018年非洲猪瘟疫情爆发，2019年中国猪肉价格持续高涨，目前各行各业都存在潜在的变化，例如2019年猪肉价格持续高涨，据统计，2019年1月精品瘦肉的售价为32元/千克，生猪减少，市场对猪肉的需求量持续增加，已知2020年1月猪肉的售价比2019年1月上涨了5a%，市民王大爷2020年1月18号在双福镇永辉超市购买4.5千克的精品瘦肉花了324元．
（1）求a的值；
（2）双福镇永辉超市将进价为52元/千克的精品瘦肉，按2020年1月18号的价格出售，平均每天能售出150千克，猪肉价格有所下降，经市场调查发现，其日销量就增加10千克，双福镇永辉超市为实现销售精品瘦肉每天有3040元的利润，精品瘦肉的售价应为多少元？
22．（8分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，点E的位置随着点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE ；CE与AD的位置关系是 ；
（2）如图2，当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；
（3）如图3，当点P在线段BD的延长线上时，若AB＝1，请直接写出四边形ACDE的面积．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（3分）已知＝，则下列结论一定正确的是（ ）
A．x＝2，y＝3 B．2x＝3y C．＝ D．＝
【分析】根据比例的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、∵＝，
∴3x＝2y，
故本选项错误，不符合题意；
B、∵＝，
∴3x＝2y，
故本选项错误，不符合题意；
C、∵＝，
∴＝，
故本选项错误，不符合题意；
D、∵＝，
∴4x＝2y，
∴x＝y，
∴＝，
故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2．（3分）在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，并且统计了黄球出现的频率，如图则n的值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【分析】利用频率估计概率，由概率列方程求解即可．
【解答】解：由频率分布图可知，当实验的次数逐渐增大时，
因此摸到黄球的概率为0.6，
所以有＝4.6，
解得n＝3，
经检验，n＝5是原方程的解，
故选：B．
【点评】本题考查频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键．
3．（3分）已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式那么这个数可以是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】根据比例的性质分别判断即可．
【解答】解：1：3＝3：12，
故选：D．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确把握比例的性质是解题关键．
4．（3分）用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的k倍（0＜k＜1），且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的一个方程是（ ）
A．+k+k2＝1 B．+k＝1
C．k+k2＝1 D．+k＝1
【分析】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b，根据题意即可列出方程．
【解答】解：设变化前的量为a，变化后的量为b，
变化率为x，
则经过两次变化后的数量关系为：a（1±x）2＝b
∴+k+k3＝1．
故选：A．
【点评】找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
5．（3分）如图，将一张两边长分别为24cm和xcm的矩形纸片两次对折后展开，得到四个全等的小矩形，则x的值为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】先求出小矩形的另一条边长，根据相似多边形的性质解答即可．
【解答】解：∵大矩形的一条边长为24cm，
∴小矩形的一条边长为＝6（cm），
∵小矩形和原矩形相似，
∴＝，解得x＝12．
故选：B．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，矩形的性质及翻折变换，熟知相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
6．（3分）若，则的值为（ ）
A． B．1 C．1.5 D．3
【分析】利用等比性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵，
∴＝＝＝，
∴＝，
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．
7．（3分）如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份．则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与转盘所转到的两个数字之积为偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：根据题意列表如下：
1
2
4
3
3
6
15
4
4
7
20
6
6
12
30
∵共有2种等可能的结果，其中转得的两个数之积为偶数的有7种情况，
∴转得的两个数之积为偶数的概率为；
故选：C．
【点评】此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，连接OM，过点O作ON⊥OM，则AB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【分析】根据正方形的性质，可以得到△DOM≌△CON，然后即可发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，从而可以求得正方形ABCD的面积，从而可以求得AB的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是7，
∴AB2＝4，
∴AB＝6，
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，利用数形结合的思想解答．
9．（3分）如图1中，Rt△ABC，∠C＝90°，动点P从A点出发沿AC→CB运动到点B，设点P的运动路程为x，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【分析】由图象可知：当x＝14时，AC+BC＝14，面积最大时，S等于12，再根据三角形的面积计算公式可得关于AC的方程，解得AC的值，最后由勾股定理可得AB的值．
【解答】解：由图象可知：当x＝14时，AC+BC＝14，
∴BC＝14﹣AC；
面积最大时，
S＝S△ACD
＝S△ABC
＝AC×BC
＝12，
∴AC×（14﹣AC）＝12，
解得AC＝6或AC＝8，
由图象可知AC＞BC，故AC＝8，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练掌握三角形的面积计算公式与勾股定理是解题的关键．
10．（3分）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上（2，2），将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，，点C的对应点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣2）或（2，﹣2） B．（2，2）
C．（﹣2，2） D．（﹣2，﹣2）或（2，2）
【分析】依据菱形的性质即可得到菱形的边长为4，△AOB是等边三角形，再分两种情况进行讨论，依据OD＝CO＝2，CD＝，即可得到点C的对应点的坐标．
【解答】解：∵菱形OABC中，点B在x轴上，2），
∴AO＝＝4，即∠AOB＝60°，
又∵AO＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
分两种情况讨论：
如图所示，当点A在x轴正半轴上时，
过C作CD⊥AO于D，则OD＝，CD＝，
∴点C的坐标为（﹣2，﹣8）；
如图所示，当点A在x轴负半轴上时，
过C作CD⊥AO于D，则OD＝，CD＝，
∴点C的坐标为（8，2）；
综上所述，点C的对应点的坐标为（﹣7）或（2，6），
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的性质以及旋转变换的运用，解题时注意：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，则线段AC的长是 6cm ．
【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，
∴，即，
解得：AB＝2，
∴AC＝2+3＝6（cm）．
故答案为：6cm．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
12．（3分）设m，n分别是一元二次方程x2﹣2x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣3m﹣n＝ 2023 ．
【分析】根据题意可得m2﹣2m﹣2025＝0，m+n＝2，再将所求的式子变形为m2﹣2m﹣m﹣n，将相关的量代入即可求解．
【解答】解：∵m，n分别是一元二次方程x2﹣2x﹣2025＝3的两个实数根，
∴m2﹣2m﹣2025＝5，m+n＝2，
∵m2﹣4m﹣n
＝m2﹣2m﹣m﹣n
＝2025﹣7
＝2023，
故答案为：2023．
【点评】本题考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与方程的关系，根与系数的关系是解题的关键．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边AB与x轴平行且AB＝3，点B坐标为（4，﹣1），沿某一方向平移后1的坐标为（1，3），则点D1的坐标为 （﹣2，1） ．
【分析】先根据AB＝3，AD＝2确定点D的坐标，根据向右移动，横坐标加，纵坐标不变；向上移动，横坐标不变，纵坐标加，即可确定长方形ABCD向上平移4个单位，向左平移3个单位，从而得到点D的对应点D1的坐标．
【解答】解：∵长方形ABCD的边AB与x轴平行且AB＝3，AD＝2，﹣4），
∴D（1，﹣3），
∵点B的对应点B3的坐标为（1，3），
∴点D7的坐标为（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解决问题的关键．
14．（3分）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．AN：NC的值为 1：2 ．
【分析】过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出△BDH∽△BCN和△DHM∽ANM，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
【解答】解：如图，过点D作AC的平行线交BN于点H．
∵DH//AC．
∴△BDH∽△BCN，
∴．
∵D为BC的中点，
∴，
∵DH//AN，
∴△DHM∽△ANM，
∴，
∵M为AD的中点，
∴．
∴DH＝AN，
∴．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是正确作出辅助线，构造相似三角形．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点P是对角线AC上的一个动点（不与A，C两点重合），过点P作EF⊥AC分别交AD，F．将△AEF沿EF折叠，点A落在点A'处，AP的长为 2﹣2或 ．
【分析】分两种情形①CA'＝CB，②A'C＝A'B，分别求解即可解决问题．
【解答】解：在菱形ABCD中，∵∠BAD＝60°，
∴AC＝4，
①当CA'＝BC＝4时，AA'＝AC﹣CA'＝4，
∵将△AEF沿EF折叠，点A落在点A'处，
∴AP＝AA'＝2．
②当A'C＝A'B时，
∵∠BAC＝∠ACB＝30°，
∴∠A'CB＝∠A'BC＝30°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABA'＝90°，
∴AA'＝，
∴AP＝AA'＝．
故答案为：5﹣2或．
【点评】本题考查菱形的性质、翻折变换、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（8分）解下列一元二次方程：
（1）x2+5x﹣24＝0；
（2）3x2＝2（2﹣x）．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）x2+5x﹣24＝5，
（x+8）（x﹣3）＝8，
∴x+8＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝3；
（2）4x2＝2（8﹣x），
3x2+8x﹣4＝0，
∵a＝4，b＝2，
∴Δ＝26﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是学会根据方程的特征确定解方程的方法，属于中考常考题型．
17．（8分）已知关于x的一元二次方程k2x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的一个实数根是2，求k的值．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围；
（2）把x＝2代入方程可求得k的取值，注意k的范围．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程k2x2+8（k﹣1）x+1＝3有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且k2≠5，
即4（k﹣1）6﹣4k2＞5，解得k＜，
∴k的取值范围为k＜且k≠0；
（2）∵方程的一个实数根为3，
∴4k2+4（k﹣1）+1＝8，
整理得4k2+7k﹣3＝0
解得k2＝﹣，k5＝，
∵k＜且k≠0；
即k的值为﹣．
【点评】本题主要考查方程根的判别式及根的定义，利用根的判别式得到关于k的不等式是解题的关键．
18．（8分）2022年虎年新春，中国女足3：2逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军：2022年国庆，时隔28年再夺世界杯亚军，展现了中国体育的风采！为了培养青少年体育兴趣、体育意识，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 100 名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是 36° ；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
【分析】（1）用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可．
（2）用选择“羽毛球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360°即可．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）本次被调查的学生人数为30÷30%＝100（名）．
选择“足球”的人数为35%×100＝35（名）．
补全条形统计图如下：
故答案为：100；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为 ×360°＝36°．
故答案为：36°．
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19．（7分）已知＝＝＝＝k，求k2﹣3k﹣4的值．
【分析】根据等比性质得出＝k，再分两种情况进行讨论，当a+b+c+d≠0时和a+b+c+d＝0时，分别求出k的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵＝＝＝＝k，
∴由等比性质可得：＝k，
当a+b+c+d≠0时，k＝＝，
当a+b+c+d＝4时，b+c+d＝﹣a，
∴k＝＝＝﹣8，
∴k2﹣3k﹣5＝（）8﹣3×﹣4＝﹣3﹣3k﹣4＝（﹣4）2﹣3×（﹣6）﹣4＝6．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
20．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，点M，N分别为AB，且AM＝CN，连接MN，BN．
（1）当AM＝3时，求证：四边形DMBN是菱形；
（2）填空：
①当AM＝ 4 时，四边形DAMN是矩形；
②当AM＝ 或 时，以MN为对角线的正方形的面积为．
【分析】（1）由矩形的性质得AB＝CD＝8，AB∥CD，∠A＝90°，而AM＝CN＝3，所以BM＝DN＝8﹣3＝5，则四边形DMBN为平行四边形，再根据勾股定理求得DM＝5，则BM＝DM，即可证明四边形DMBN为菱形；
（2）①当DN＝AM时，四边形DAMN矩形，由AM＝DN＝BM＝8﹣AM，求得AM＝4，即得到问题的答案；
②由以MN为对角线的正方形的面积为计算出MN＝5，作NE⊥AB于点E，则AE＝DN＝BM＝8﹣AM，EN＝AD＝4，所以EM＝AM﹣（8﹣AM）＝2AM﹣8，由勾股定理得（2AM﹣8）2+42＝52，求得AM＝或AM＝，于是得到问题的答案．
【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，
∴AB＝CD＝7，AB∥CD，
∵AM＝CN＝3，
∴AB﹣AM＝CD﹣CN，
∴BM＝DN＝8﹣3＝5，
∵BM∥DN，
∴四边形DMBN为平行四边形，
∵DM＝＝＝5，
∴BM＝DM，
∴四边形DMBN为菱形．
（2）解：①如图6，∵DN∥AM，
∴当DN＝AM时，四边形DAMN是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴当DN＝AM时，四边形DAMN矩形，
由（1）得BM＝DN，
∴8﹣AM＝DN，
∴8﹣AM＝AM，
∴AM＝3，
∴当AM＝4时，四边形DAMN矩形，
故答案为：4．
②如图3，以MN为对角线的正方形是正方形MFNG，
∵FG＝MH，FG⊥MH，
∴S正方形MFNG＝FG•MN＝2＝，
∴MN＝5，
作NE⊥AB于点E，则∠AEN＝∠A＝∠ADN＝90°，
∴四边形ADNE是矩形，
∴AE＝DN＝BM＝8﹣AM，EN＝AD＝8，
∴EM＝AM﹣AE＝AM﹣（8﹣AM）＝2AM﹣6，
∵∠MEN＝90°，
∴EM2+EN2＝MN6，
∴（2AM﹣8）2+42＝52，
解得AM＝或AM＝，
∴当AM＝或AM＝，
故答案为：或．
【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定、勾股定理、一元二次方程的解法等知识与方法，证明四边形DMBN为平行四边形是解题的关键．
21．（8分）2018﹣2020年注定是不平凡的三年，2018年非洲猪瘟疫情爆发，2019年中国猪肉价格持续高涨，目前各行各业都存在潜在的变化，例如2019年猪肉价格持续高涨，据统计，2019年1月精品瘦肉的售价为32元/千克，生猪减少，市场对猪肉的需求量持续增加，已知2020年1月猪肉的售价比2019年1月上涨了5a%，市民王大爷2020年1月18号在双福镇永辉超市购买4.5千克的精品瘦肉花了324元．
（1）求a的值；
（2）双福镇永辉超市将进价为52元/千克的精品瘦肉，按2020年1月18号的价格出售，平均每天能售出150千克，猪肉价格有所下降，经市场调查发现，其日销量就增加10千克，双福镇永辉超市为实现销售精品瘦肉每天有3040元的利润，精品瘦肉的售价应为多少元？
【分析】（1）根据在双福镇永辉超市购买4.5千克的精品瘦肉花了324元得：32×（1+5a%）×4.5＝324，解方程可得a的值为25；
（2）设精品瘦肉的售价应为x元，2020年1月18号的价格为32×（1+）＝72（元/千克），根据每天有3040元的利润得（x﹣52）[150+10×（72﹣x）]＝3040，解方程并检验可得精品瘦肉的售价应为每千克68元．
【解答】解：（1）根据题意得：
32×（1+5a%）×3.5＝324，
解得a＝25，
∴a的值为25；
（2）设精品瘦肉的售价应为x元，
2020年1月18号的价格为32×（2+）＝72（元/千克），
根据题意得：（x﹣52）[150+10×（72﹣x）]＝3040，
解得x＝71或x＝68，
∵尽可能让消费者得到实惠，
∴x取68，
答：精品瘦肉的售价应为每千克68元．
【点评】本题考查一元二次方程，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
22．（8分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，点E的位置随着点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE BP＝CE ；CE与AD的位置关系是 CE⊥AD ；
（2）如图2，当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；
（3）如图3，当点P在线段BD的延长线上时，若AB＝1，请直接写出四边形ACDE的面积．
【分析】（1）连接AC，延长CE交AD于F，根据SAS证△APB≌△AEC，即可得出BP＝CE，∠ACE＝∠ABP＝30°，得出∠CFA＝90°即可；
（2）连接AC，同（1）证△APB≌△AEC，然后根据等边三角形三线合一得出AD⊥CE即可；
（3）根据（2）的结论知，AD⊥CE，CE＝BP，则四边形ACDE的面积等于对角线乘积的一半，即可得到答案．
【解答】解：（1）连接AC，延长CE交AD于F，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴△ABC、△ACD是等边三角形，
∴AB＝AC，AC＝CD，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠EAC，
即∠BAP＝∠CAE，
在△BAP与△CAE中，
，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ACE＝∠ABP＝∠ABC＝30°，
∴CE平分∠ACD，
∴CE⊥AD，
故答案为：BP＝CE，CE⊥AD；
（2）BP＝CE，CE⊥AD还成立
连接AC，如图：
∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴△ABC、△ACD是等边三角形，
∴AB＝AC，AC＝CD，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAC+∠PAC＝∠PAE+∠PAC，
即∠BAP＝∠CAE，
在△BAP与△CAE中，
，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ACE＝∠ABP＝∠ABC＝30°，
∴CE平分∠ACD，
∴CE⊥AD；
（3）如图：
由（2）知，AD⊥CE，
∴S四边形ACDE＝AD•CE＝，
∵AB＝8，BP＝3，
∴四边形ACDE的面积为×1×3＝．
【点评】本题主要考查四边形的综合知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、菱形的性质等知识是解题的关键．
安徽省淮南市西部地区2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（3分）已知＝，则下列结论一定正确的是（ ）
A．x＝2，y＝3 B．2x＝3y C．＝ D．＝
2．（3分）在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
3．（3分）已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．（3分）用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的k倍（0＜k＜1），且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的一个方程是（ ）
A．+k+k2＝1 B．+k＝1
C．k+k2＝1 D．+k＝1
5．（3分）如图，将一张两边长分别为24cm和xcm的矩形纸片两次对折后展开，得到四个全等的小矩形，则x的值为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
6．（3分）若，则的值为（ ）
A． B．1 C．1.5 D．3
7．（3分）如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份．则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，连接OM，过点O作ON⊥OM，则AB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
9．（3分）如图1中，Rt△ABC，∠C＝90°，动点P从A点出发沿AC→CB运动到点B，设点P的运动路程为x，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
10．（3分）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上（2，2），将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，，点C的对应点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣2）或（2，﹣2） B．（2，2）
C．（﹣2，2） D．（﹣2，﹣2）或（2，2）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，则线段AC的长是 ．
12．（3分）设m，n分别是一元二次方程x2﹣2x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣3m﹣n＝ ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边AB与x轴平行且AB＝3，点B坐标为（4，﹣1），沿某一方向平移后1的坐标为（1，3），则点D1的坐标为 ．
14．（3分）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．AN：NC的值为 ．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点P是对角线AC上的一个动点（不与A，C两点重合），过点P作EF⊥AC分别交AD，F．将△AEF沿EF折叠，点A落在点A'处，AP的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（8分）解下列一元二次方程：
（1）x2+5x﹣24＝0；
（2）3x2＝2（2﹣x）．
17．（8分）已知关于x的一元二次方程k2x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的一个实数根是2，求k的值．
18．（8分）2022年虎年新春，中国女足3：2逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军：2022年国庆，时隔28年再夺世界杯亚军，展现了中国体育的风采！为了培养青少年体育兴趣、体育意识，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是 ；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
19．（7分）已知＝＝＝＝k，求k2﹣3k﹣4的值．
20．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，点M，N分别为AB，且AM＝CN，连接MN，BN．
（1）当AM＝3时，求证：四边形DMBN是菱形；
（2）填空：
①当AM＝ 时，四边形DAMN是矩形；
②当AM＝ 时，以MN为对角线的正方形的面积为．
21．（8分）2018﹣2020年注定是不平凡的三年，2018年非洲猪瘟疫情爆发，2019年中国猪肉价格持续高涨，目前各行各业都存在潜在的变化，例如2019年猪肉价格持续高涨，据统计，2019年1月精品瘦肉的售价为32元/千克，生猪减少，市场对猪肉的需求量持续增加，已知2020年1月猪肉的售价比2019年1月上涨了5a%，市民王大爷2020年1月18号在双福镇永辉超市购买4.5千克的精品瘦肉花了324元．
（1）求a的值；
（2）双福镇永辉超市将进价为52元/千克的精品瘦肉，按2020年1月18号的价格出售，平均每天能售出150千克，猪肉价格有所下降，经市场调查发现，其日销量就增加10千克，双福镇永辉超市为实现销售精品瘦肉每天有3040元的利润，精品瘦肉的售价应为多少元？
22．（8分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，点E的位置随着点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE ；CE与AD的位置关系是 ；
（2）如图2，当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；
（3）如图3，当点P在线段BD的延长线上时，若AB＝1，请直接写出四边形ACDE的面积．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（3分）已知＝，则下列结论一定正确的是（ ）
A．x＝2，y＝3 B．2x＝3y C．＝ D．＝
【分析】根据比例的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、∵＝，
∴3x＝2y，
故本选项错误，不符合题意；
B、∵＝，
∴3x＝2y，
故本选项错误，不符合题意；
C、∵＝，
∴＝，
故本选项错误，不符合题意；
D、∵＝，
∴4x＝2y，
∴x＝y，
∴＝，
故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2．（3分）在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，并且统计了黄球出现的频率，如图则n的值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【分析】利用频率估计概率，由概率列方程求解即可．
【解答】解：由频率分布图可知，当实验的次数逐渐增大时，
因此摸到黄球的概率为0.6，
所以有＝4.6，
解得n＝3，
经检验，n＝5是原方程的解，
故选：B．
【点评】本题考查频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键．
3．（3分）已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式那么这个数可以是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】根据比例的性质分别判断即可．
【解答】解：1：3＝3：12，
故选：D．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确把握比例的性质是解题关键．
4．（3分）用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的k倍（0＜k＜1），且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的一个方程是（ ）
A．+k+k2＝1 B．+k＝1
C．k+k2＝1 D．+k＝1
【分析】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b，根据题意即可列出方程．
【解答】解：设变化前的量为a，变化后的量为b，
变化率为x，
则经过两次变化后的数量关系为：a（1±x）2＝b
∴+k+k3＝1．
故选：A．
【点评】找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
5．（3分）如图，将一张两边长分别为24cm和xcm的矩形纸片两次对折后展开，得到四个全等的小矩形，则x的值为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】先求出小矩形的另一条边长，根据相似多边形的性质解答即可．
【解答】解：∵大矩形的一条边长为24cm，
∴小矩形的一条边长为＝6（cm），
∵小矩形和原矩形相似，
∴＝，解得x＝12．
故选：B．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，矩形的性质及翻折变换，熟知相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
6．（3分）若，则的值为（ ）
A． B．1 C．1.5 D．3
【分析】利用等比性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵，
∴＝＝＝，
∴＝，
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．
7．（3分）如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份．则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与转盘所转到的两个数字之积为偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：根据题意列表如下：
1
2
4
3
3
6
15
4
4
7
20
6
6
12
30
∵共有2种等可能的结果，其中转得的两个数之积为偶数的有7种情况，
∴转得的两个数之积为偶数的概率为；
故选：C．
【点评】此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，连接OM，过点O作ON⊥OM，则AB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【分析】根据正方形的性质，可以得到△DOM≌△CON，然后即可发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，从而可以求得正方形ABCD的面积，从而可以求得AB的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是7，
∴AB2＝4，
∴AB＝6，
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，利用数形结合的思想解答．
9．（3分）如图1中，Rt△ABC，∠C＝90°，动点P从A点出发沿AC→CB运动到点B，设点P的运动路程为x，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【分析】由图象可知：当x＝14时，AC+BC＝14，面积最大时，S等于12，再根据三角形的面积计算公式可得关于AC的方程，解得AC的值，最后由勾股定理可得AB的值．
【解答】解：由图象可知：当x＝14时，AC+BC＝14，
∴BC＝14﹣AC；
面积最大时，
S＝S△ACD
＝S△ABC
＝AC×BC
＝12，
∴AC×（14﹣AC）＝12，
解得AC＝6或AC＝8，
由图象可知AC＞BC，故AC＝8，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练掌握三角形的面积计算公式与勾股定理是解题的关键．
10．（3分）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上（2，2），将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，，点C的对应点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣2）或（2，﹣2） B．（2，2）
C．（﹣2，2） D．（﹣2，﹣2）或（2，2）
【分析】依据菱形的性质即可得到菱形的边长为4，△AOB是等边三角形，再分两种情况进行讨论，依据OD＝CO＝2，CD＝，即可得到点C的对应点的坐标．
【解答】解：∵菱形OABC中，点B在x轴上，2），
∴AO＝＝4，即∠AOB＝60°，
又∵AO＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
分两种情况讨论：
如图所示，当点A在x轴正半轴上时，
过C作CD⊥AO于D，则OD＝，CD＝，
∴点C的坐标为（﹣2，﹣8）；
如图所示，当点A在x轴负半轴上时，
过C作CD⊥AO于D，则OD＝，CD＝，
∴点C的坐标为（8，2）；
综上所述，点C的对应点的坐标为（﹣7）或（2，6），
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的性质以及旋转变换的运用，解题时注意：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，则线段AC的长是 6cm ．
【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，
∴，即，
解得：AB＝2，
∴AC＝2+3＝6（cm）．
故答案为：6cm．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
12．（3分）设m，n分别是一元二次方程x2﹣2x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣3m﹣n＝ 2023 ．
【分析】根据题意可得m2﹣2m﹣2025＝0，m+n＝2，再将所求的式子变形为m2﹣2m﹣m﹣n，将相关的量代入即可求解．
【解答】解：∵m，n分别是一元二次方程x2﹣2x﹣2025＝3的两个实数根，
∴m2﹣2m﹣2025＝5，m+n＝2，
∵m2﹣4m﹣n
＝m2﹣2m﹣m﹣n
＝2025﹣7
＝2023，
故答案为：2023．
【点评】本题考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与方程的关系，根与系数的关系是解题的关键．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边AB与x轴平行且AB＝3，点B坐标为（4，﹣1），沿某一方向平移后1的坐标为（1，3），则点D1的坐标为 （﹣2，1） ．
【分析】先根据AB＝3，AD＝2确定点D的坐标，根据向右移动，横坐标加，纵坐标不变；向上移动，横坐标不变，纵坐标加，即可确定长方形ABCD向上平移4个单位，向左平移3个单位，从而得到点D的对应点D1的坐标．
【解答】解：∵长方形ABCD的边AB与x轴平行且AB＝3，AD＝2，﹣4），
∴D（1，﹣3），
∵点B的对应点B3的坐标为（1，3），
∴点D7的坐标为（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解决问题的关键．
14．（3分）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．AN：NC的值为 1：2 ．
【分析】过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出△BDH∽△BCN和△DHM∽ANM，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
【解答】解：如图，过点D作AC的平行线交BN于点H．
∵DH//AC．
∴△BDH∽△BCN，
∴．
∵D为BC的中点，
∴，
∵DH//AN，
∴△DHM∽△ANM，
∴，
∵M为AD的中点，
∴．
∴DH＝AN，
∴．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是正确作出辅助线，构造相似三角形．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点P是对角线AC上的一个动点（不与A，C两点重合），过点P作EF⊥AC分别交AD，F．将△AEF沿EF折叠，点A落在点A'处，AP的长为 2﹣2或 ．
【分析】分两种情形①CA'＝CB，②A'C＝A'B，分别求解即可解决问题．
【解答】解：在菱形ABCD中，∵∠BAD＝60°，
∴AC＝4，
①当CA'＝BC＝4时，AA'＝AC﹣CA'＝4，
∵将△AEF沿EF折叠，点A落在点A'处，
∴AP＝AA'＝2．
②当A'C＝A'B时，
∵∠BAC＝∠ACB＝30°，
∴∠A'CB＝∠A'BC＝30°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABA'＝90°，
∴AA'＝，
∴AP＝AA'＝．
故答案为：5﹣2或．
【点评】本题考查菱形的性质、翻折变换、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（8分）解下列一元二次方程：
（1）x2+5x﹣24＝0；
（2）3x2＝2（2﹣x）．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）x2+5x﹣24＝5，
（x+8）（x﹣3）＝8，
∴x+8＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝3；
（2）4x2＝2（8﹣x），
3x2+8x﹣4＝0，
∵a＝4，b＝2，
∴Δ＝26﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是学会根据方程的特征确定解方程的方法，属于中考常考题型．
17．（8分）已知关于x的一元二次方程k2x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的一个实数根是2，求k的值．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围；
（2）把x＝2代入方程可求得k的取值，注意k的范围．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程k2x2+8（k﹣1）x+1＝3有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且k2≠5，
即4（k﹣1）6﹣4k2＞5，解得k＜，
∴k的取值范围为k＜且k≠0；
（2）∵方程的一个实数根为3，
∴4k2+4（k﹣1）+1＝8，
整理得4k2+7k﹣3＝0
解得k2＝﹣，k5＝，
∵k＜且k≠0；
即k的值为﹣．
【点评】本题主要考查方程根的判别式及根的定义，利用根的判别式得到关于k的不等式是解题的关键．
18．（8分）2022年虎年新春，中国女足3：2逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军：2022年国庆，时隔28年再夺世界杯亚军，展现了中国体育的风采！为了培养青少年体育兴趣、体育意识，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 100 名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是 36° ；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
【分析】（1）用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可．
（2）用选择“羽毛球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360°即可．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）本次被调查的学生人数为30÷30%＝100（名）．
选择“足球”的人数为35%×100＝35（名）．
补全条形统计图如下：
故答案为：100；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为 ×360°＝36°．
故答案为：36°．
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19．（7分）已知＝＝＝＝k，求k2﹣3k﹣4的值．
【分析】根据等比性质得出＝k，再分两种情况进行讨论，当a+b+c+d≠0时和a+b+c+d＝0时，分别求出k的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵＝＝＝＝k，
∴由等比性质可得：＝k，
当a+b+c+d≠0时，k＝＝，
当a+b+c+d＝4时，b+c+d＝﹣a，
∴k＝＝＝﹣8，
∴k2﹣3k﹣5＝（）8﹣3×﹣4＝﹣3﹣3k﹣4＝（﹣4）2﹣3×（﹣6）﹣4＝6．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
20．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，点M，N分别为AB，且AM＝CN，连接MN，BN．
（1）当AM＝3时，求证：四边形DMBN是菱形；
（2）填空：
①当AM＝ 4 时，四边形DAMN是矩形；
②当AM＝ 或 时，以MN为对角线的正方形的面积为．
【分析】（1）由矩形的性质得AB＝CD＝8，AB∥CD，∠A＝90°，而AM＝CN＝3，所以BM＝DN＝8﹣3＝5，则四边形DMBN为平行四边形，再根据勾股定理求得DM＝5，则BM＝DM，即可证明四边形DMBN为菱形；
（2）①当DN＝AM时，四边形DAMN矩形，由AM＝DN＝BM＝8﹣AM，求得AM＝4，即得到问题的答案；
②由以MN为对角线的正方形的面积为计算出MN＝5，作NE⊥AB于点E，则AE＝DN＝BM＝8﹣AM，EN＝AD＝4，所以EM＝AM﹣（8﹣AM）＝2AM﹣8，由勾股定理得（2AM﹣8）2+42＝52，求得AM＝或AM＝，于是得到问题的答案．
【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，
∴AB＝CD＝7，AB∥CD，
∵AM＝CN＝3，
∴AB﹣AM＝CD﹣CN，
∴BM＝DN＝8﹣3＝5，
∵BM∥DN，
∴四边形DMBN为平行四边形，
∵DM＝＝＝5，
∴BM＝DM，
∴四边形DMBN为菱形．
（2）解：①如图6，∵DN∥AM，
∴当DN＝AM时，四边形DAMN是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴当DN＝AM时，四边形DAMN矩形，
由（1）得BM＝DN，
∴8﹣AM＝DN，
∴8﹣AM＝AM，
∴AM＝3，
∴当AM＝4时，四边形DAMN矩形，
故答案为：4．
②如图3，以MN为对角线的正方形是正方形MFNG，
∵FG＝MH，FG⊥MH，
∴S正方形MFNG＝FG•MN＝2＝，
∴MN＝5，
作NE⊥AB于点E，则∠AEN＝∠A＝∠ADN＝90°，
∴四边形ADNE是矩形，
∴AE＝DN＝BM＝8﹣AM，EN＝AD＝8，
∴EM＝AM﹣AE＝AM﹣（8﹣AM）＝2AM﹣6，
∵∠MEN＝90°，
∴EM2+EN2＝MN6，
∴（2AM﹣8）2+42＝52，
解得AM＝或AM＝，
∴当AM＝或AM＝，
故答案为：或．
【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定、勾股定理、一元二次方程的解法等知识与方法，证明四边形DMBN为平行四边形是解题的关键．
21．（8分）2018﹣2020年注定是不平凡的三年，2018年非洲猪瘟疫情爆发，2019年中国猪肉价格持续高涨，目前各行各业都存在潜在的变化，例如2019年猪肉价格持续高涨，据统计，2019年1月精品瘦肉的售价为32元/千克，生猪减少，市场对猪肉的需求量持续增加，已知2020年1月猪肉的售价比2019年1月上涨了5a%，市民王大爷2020年1月18号在双福镇永辉超市购买4.5千克的精品瘦肉花了324元．
（1）求a的值；
（2）双福镇永辉超市将进价为52元/千克的精品瘦肉，按2020年1月18号的价格出售，平均每天能售出150千克，猪肉价格有所下降，经市场调查发现，其日销量就增加10千克，双福镇永辉超市为实现销售精品瘦肉每天有3040元的利润，精品瘦肉的售价应为多少元？
【分析】（1）根据在双福镇永辉超市购买4.5千克的精品瘦肉花了324元得：32×（1+5a%）×4.5＝324，解方程可得a的值为25；
（2）设精品瘦肉的售价应为x元，2020年1月18号的价格为32×（1+）＝72（元/千克），根据每天有3040元的利润得（x﹣52）[150+10×（72﹣x）]＝3040，解方程并检验可得精品瘦肉的售价应为每千克68元．
【解答】解：（1）根据题意得：
32×（1+5a%）×3.5＝324，
解得a＝25，
∴a的值为25；
（2）设精品瘦肉的售价应为x元，
2020年1月18号的价格为32×（2+）＝72（元/千克），
根据题意得：（x﹣52）[150+10×（72﹣x）]＝3040，
解得x＝71或x＝68，
∵尽可能让消费者得到实惠，
∴x取68，
答：精品瘦肉的售价应为每千克68元．
【点评】本题考查一元二次方程，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
22．（8分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，点E的位置随着点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE BP＝CE ；CE与AD的位置关系是 CE⊥AD ；
（2）如图2，当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；
（3）如图3，当点P在线段BD的延长线上时，若AB＝1，请直接写出四边形ACDE的面积．
【分析】（1）连接AC，延长CE交AD于F，根据SAS证△APB≌△AEC，即可得出BP＝CE，∠ACE＝∠ABP＝30°，得出∠CFA＝90°即可；
（2）连接AC，同（1）证△APB≌△AEC，然后根据等边三角形三线合一得出AD⊥CE即可；
（3）根据（2）的结论知，AD⊥CE，CE＝BP，则四边形ACDE的面积等于对角线乘积的一半，即可得到答案．
【解答】解：（1）连接AC，延长CE交AD于F，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴△ABC、△ACD是等边三角形，
∴AB＝AC，AC＝CD，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠EAC，
即∠BAP＝∠CAE，
在△BAP与△CAE中，
，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ACE＝∠ABP＝∠ABC＝30°，
∴CE平分∠ACD，
∴CE⊥AD，
故答案为：BP＝CE，CE⊥AD；
（2）BP＝CE，CE⊥AD还成立
连接AC，如图：
∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴△ABC、△ACD是等边三角形，
∴AB＝AC，AC＝CD，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAC+∠PAC＝∠PAE+∠PAC，
即∠BAP＝∠CAE，
在△BAP与△CAE中，
，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ACE＝∠ABP＝∠ABC＝30°，
∴CE平分∠ACD，
∴CE⊥AD；
（3）如图：
由（2）知，AD⊥CE，
∴S四边形ACDE＝AD•CE＝，
∵AB＝8，BP＝3，
∴四边形ACDE的面积为×1×3＝．
【点评】本题主要考查四边形的综合知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、菱形的性质等知识是解题的关键．
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