河南省南阳市淅川第一高级中学附属学校2023—2024学年上学期9月份月考九年级数学试卷

2023-2024学年河南省南阳市淅川第一高级中学附属学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列二次根式中，的同类二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列二次根式：
；；；中，
是最简二次根式有个．(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D.

3.用公式法解方程时，求根公式中的，，的值分别是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

4.的三边长分别为，，，另有一个与它相似的，其最长边为，则的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

5.已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.关于的一元二次方程的一个根是，则的值是(    )

A. 或 B.  C.  D.

7.如图是一块等腰三角形空地，已知点，分别是边，的中点，量得米，米，若用篱笆围成四边形来放养小鸡，则需要篱笆的长是(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

8.按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.如图，点是线段的中点，，下列结论中，与相似；与相似；；，其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于(    )

 

A.  B.  C. 或 D.  

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.计算的结果为______．

12.方程的解为          ．

13.设、是方程的两个实数根，则的值为______．

14.在设计人体雕像时，使雕像上部腰部以上与下部腰部以下的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为米的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是______米．

15.如图，在矩形中，动点从点出发，沿边向点匀速运动，动点从点出发，沿边向点匀速运动，连接动点，同时出发，点运动的速度为，点运动的速度为，且当点到达点时，，两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形若在某一时刻，点的对应点恰好与的中点重合，则的值为          ．
 

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
计算：；
解方程：．

17.本小题分
下表是小明填写的实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算小河的宽度．

18.本小题分
如图，在中，，，分别是，边上的点，且若，，当时，求的长．

19.本小题分

某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形土地做养鸡场．如图所示，养鸡场一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门不包括篱笆求这个养鸡场的长和宽．

20.本小题分
国庆节期间，康辉旅行社发布了“南召县五朵山风景区的旅游信息”，某企业组织一批优秀员工到该风景区参加一日游活动，依据一日游信息，该企业一共支付给康辉旅行社元．请你算一算该企业参加这次旅游的优秀员工一共有多少人？
南召县五朵山风景区一日游信息表仅限国庆节期间

21.本小题分
阅读下列材料：
已知实数、满足，试求的值．
解：设，
则原方程可化为，即；
解得．
，
．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替即换元，则能使复杂的问题简单化根据以上阅读材料为内容，解决下列问题：
已知实数、满足，求的值．
解方程．
若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为______ ．

22.本小题分

已知关于一元二次方程有两个不相等的实数根
求取值范围；
当最小的整数时，求抛物线的顶点坐标以及它与轴的交点坐标；
将中求得的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象请你画出这个新图象，并求出新图象与直线有三个不同公共点时值．

23.本小题分
综合与实践
问题情境：在中，，，直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，．
猜想证明：
如图，在三角板旋转过程中，当点为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；
问题解决：
如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长；
如图，在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
A、与被开方数相同，故是同类二次根式；
B、与被开方数不同，故不是同类二次根式；
C、与被开方数不同，故不是同类二次根式；
D、与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：．
先把每一个二次根式化为最简二次根式，然后找出与被开方数相同的二次根式．
本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．

2.【答案】 

【解析】解：是最简二次根式；
，故不是最简二次根式；
，故不是最简二次根式；
，故不是最简二次根式；
则最简二次根式是，共个．
故选：．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，对各项判断即可选出正确答案．
本题考查了最简二次根式的知识，属于基础题，要求同学们熟练掌握最简二次根式的概念．

3.【答案】 

【解析】解：将方程整理得：，
这里，，，
故选：．
方程整理为一般形式，找出，，的值即可．
此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．

4.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质的应用是解题关键．
设对应的边是，对应的边是，根据相似三角形的对应边的比相等列等式，解出即可；
【解答】
解：设对应的边是，对应的边是，
∽，
，
，，
的周长是；
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
解得，
，
．
故选：．
根据二次根式有意义的条件可得的值，进而得出的值，再根据平方差公式计算即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，正确求出的值是解答本题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：方程，
，
．
将代入，得：，
解得：不合题意，舍去，，
故选：．
根据一元二次方程的定义可得出，进而可得出，将代入原方程可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，代入求出的值是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：点，分别是边，的中点，米，
米，
米，米，
篱笆的长米．
故选：．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出的长，利用四边形的周长得到即可．
本题考查三角形的中位线定理，关键是利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质求解．

8.【答案】 

【解析】解：时，，且，
将再次输入，
，
，
输出结果是，
故选：．
将代入计算的值，判断结果小于，将再代入计算，再判断计算结果是否大于，即可得到答案．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意，掌握二次根式相关运算的法则．

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
又，
∽，故结论正确．
．
是线段的中点，
．
．
又，
∽，故结论正确．
，，故结论正确．
故选：．
先利用三角形的内角和、平角及已知，说明，利用相似三角形的判定方法说明∽，再利用相似三角形的性质和判定方法说明∽，最后利用相似三角形的性质判断．
本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握判定两个三角形相似的方法及相似三角形的性质是解决本题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：设交于，交于点

由平移的性质知，，
四边形是平行四边形，
，，
是等腰直角三角形，
同理，也是等腰直角三角形，
设，则阴影部分的底长为，高，
，
．
即．
故选：．
根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，与都是等腰直角三角形，则若设，则阴影部分的底长为，高，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
此题考查了平移的性质，正方形的性质，解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程的思想方法解题．

11.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则按照二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】
解：原式．
故答案为：．

12.【答案】， 

【解析】解：，
，
，
解得：，．
故答案为：，．
方程利用因式分解法求出解即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，掌握解方程的方法是解本题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：是方程的实数根，
，
即，
，
、是方程的两个实数根，
，
．
故答案为：．
先利用一元二次方程解的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了一元二次方程的解．

14.【答案】 

【解析】解：雕像上部腰部以上与下部腰部以下的高度比等于下部与全部的高度比，
该雕像的下部设计高度，
故答案为：．
根据黄金分割的定义可得：该雕像的下部设计高度全部高度，然后进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
如图，设交于点设利用勾股定理求出用表示，再利用相似三角形的性质求出用表示，可得结论．
【解答】
解：如图，设交于点设．

，
可以假设，，
四边形是矩形，
，，，
在中，，
，
，
，，
由翻折的性质可知，
，，
，
，
∽，
：：：：：：，
，
，
，，
∽，
：：：：：：，
设，则，
，
，
，
，
故答案为：．

16.【答案】解：原式

；
，
，
则，
或，
解得，． 

【解析】先利用完全平方公式和二次根式的除法法则计算，再去括号，计算加减即可；
先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

17.【答案】解：，
∽，
则，
即，
解得：，
答：小河的宽度为米． 

【解析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．

18.【答案】解：，
，
，
，
且，
且，
∽，
即，
，
，即，
，
，
． 

【解析】证明∽列出，根据，列出，等量代换代入数据可得长．
本题考查了相似三角形的判定和性质，利用比例关系求线段长是解答本题的关键．

19.【答案】解：设，则．
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：这个养鸡场的长是，宽是． 

【解析】设，则，利用矩形的面积计算公式，结合养鸡场的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙长，即可确定养鸡场的长和宽．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

20.【答案】解：设该企业参加这次旅游的优秀员工一共有人，
，
．
根据题意得：，
解得：，．
当时，，
当时，，舍去．
答：该企业参加这次旅游的优秀员工一共有人． 

【解析】设该企业参加这次旅游的优秀员工一共有人，由可得出，根据总价单价人数，列出一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

21.【答案】，，， 

【解析】解：设．
，
，
，
，
，
；

，
，
设，则，
，
或，
，，
或，
，，，；

设最小数为，则，
即：，
设，则，
，，
为正整数，
，
，舍去，
这四个整数为，，，，
故答案为：，，，．
由已知等式得出，结合可得答案；
设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质得出答案；
根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解．
本题考查了解一元二次方程，多项式的乘法，平方差公式与求方程的解，关键把代数式看作一个整体，通过换元求解．

22.【答案】解：由题意，得，
，
的取值范围为；

，且取最小的整数，．
，
则抛物线的顶点坐标为，
的图象与轴相交，
，
解得：或，
抛物线与轴相交于，；

翻折后所得新图象如图所示．
平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点．
当直线位于时，此时过点，
，即．
当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点，
方程，
即有两个相等实根，
，
即．
当时，满足，
由知或． 

【解析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知根的判别式，即可求出的取值范围；
根据的取值范围可得当时，为最小的整数，进而可求出顶点坐标以及它与轴的交点坐标；
画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有个交点，可以有两种情况：
直线经过原二次函数与轴的交点即左边的交点，可将点坐标代入直线的解析式中，即可求出的值；
原二次函数图象轴以下部分翻折后，所得部分图象仍是二次函数，该二次函数与原函数开口方向相反、对称轴相同、与轴的交点坐标相同，可据此判断出该函数的解析式，若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于的一元二次方程，那么该方程的判别式，根据这一条件可确定的取值．
此题考查了二次函数图象与坐标轴交点及顶点坐标的求法、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．

23.【答案】解：四边形是矩形，理由如下：
点是的中点，点是的中点，
，
，
，
，
，
四边形是矩形；
如图，过点作于，
，，，
，
点是的中点，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
，
；
如图，连接，，过点作于，

，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
． 

【解析】由三角形中位线定理可得，可证，即可求解；
由勾股定理可求的长，由中点的性质可得的长，由锐角三角函数可求解；
通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，由直角三角形的性质可求的长，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．