河北省沧州市运东七县联考2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

2023~2024学年度第一学期高二年级9月份月考

数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知点，在直线上，则直线的倾斜角的大小为

A. B. C. D.

2.在棱柱中，

A. B. C. D.

3.若直线与直线垂直，则

A. B. C. D.

4.如图所示，在平行六面体中，为与的交点，为的中点，若，，，则

A.  B.

C.  D.

5.已知点，分别是直线：与直线：上的点，则的最小值为

A.0 B. C. D.

6.已知点，，过点的直线与线段相交，则的斜率的取值范围为

A. B.

C. D.

7.已知圆：与圆：外切，则实数的值为

A.1 B. C.1或 D.或5

7.已知，直线：与轴的交点为，：与轴的交点为，与的交点为，则四边形的面积的最小值为

A. B.16 C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知，，是空间中三个向量，则下列说法错误的是

A.对于空间中的任意一个向量，总存在实数，，，使得

B.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底

C.若，，则

D.若，，所在直线两两共面，则，，共面

10.已知直线与直线平行，且与圆：相切，则直线的方程是

A.  B.

C.  D.

11.已知直线过点，若与，轴的正半轴围成的三角形的面积为，则的值可以是

A.9 B.7 C.5 D.3

12.如图，在正四棱锥中，，，分别是，的中点，则下列说法正确的是

A.

B.直线和所成角的余弦值是

C.点到直线的距离是

D.点到平面的距离是2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在空间直角坐标系（为坐标原点）中，点关于轴的对称点为点，则______.

14.在空间直角坐标系中，点，，，的坐标分别是，，，，若，，，四点共面，则______.

15.2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程的最小值为______.

15.已知直线：与直线：相交于点，动点，在圆：上，且，则的取值范围是______.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

已知，.

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的值.

18.（本小题满分12分）

已知三条直线：，：和：.

（1）若，求实数的值；

（2）若三条直线相交于一点，求实数的值.

19.（本小题满分12分）

已知的顶点为，，.

（1）求边上高所在直线的方程；

（2）求的外接圆的方程.

20.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

21.（本小题满分12分）

已知圆：.

（1）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；

（2）若直线过点且与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.

22.（本小题满分12分）

如图，菱形和正方形所在平面互相垂直，，.

（1）求证：平面；

（2）若是线段上的动点，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围.

2023~2024学年度第一学期高二年级9月份月考·数学

参考答案、提示及评分细则

1.C  直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以.故选C.

2.D  .故选D.

3.B  由题意可知，即.故选B.

4.B  因为为与的交点，所以，故.故选B.

5.C  由题意可知直线，所以当且时，有最小值，其最小值为平行直线与的距离，直线的方程可化为，所以.故选C.

6.A  易求直线和直线的斜率分别为和，当的斜率不存在时，直线与线段相交，故的斜率的取值范围为.故选A.

7.C  圆：的圆心为，半径，圆：的圆心为，半径，因为两圆外切，所以，解得或.故选C.

8.A  直线：，：都过点，即点的坐标是.在中，令，得，所以，同理可得，所以，当且仅当，即时等号成立.所以当时，四边形的面积取最小值为.故选A.

9.ACD  由空间向量基本定理，可知只有当，，不共面时，，，才能作为基底，才能得到，故A错误；若是空间的一个基底，则，，不共面，，，也不共面，所以也是空间的一个基底，故B正确；若，，则，不一定平行，故C错误；若，，所在直线两两共面，则，，不一定共面，故D错误.故选ACD.

10.BD  由直线与直线平行，可设直线的方程为，圆的圆心为，半径，点到直线的距离.因为直线与圆相切，所以，解得或，所以直线的方程是或.故选BD.

11.AB  由题意知直线在，轴上的截距存在且大于0，可设的方程为，由直线过点，得，所以，当且仅当，即，时，等号成立，即，所以.故选AB.

12.ABC  连接交于点，连结，由题意，得平面，因为平面，所以，因为四边形是正方形，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，故A正确；以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为，所以，，所以，，，，，，，所以，，所以，所以直线和所成角的余弦值是，故B正确；，，与同向的单位向量为，所以点到直线的距离，故C正确；设为平面的法向量，则即令，得，点到平面的距离，故D错误.故选ABC.

13.  因为点关于轴的对称点为，所以.

14.6  ，，，又，，，四点共面，则存在，使得，即，即解得.

15.  由题可知，在的同侧，设点关于直线的对称点为，则解得即，所以“将军饮马”的总路程的最小值为.

16.  因为，所以直线与直线垂直，直线过定点，过定点，所以点的轨迹是以为直径的圆，即点的轨迹方程是，所以点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，因为圆的方程为，所以圆心，半径，取的中点，连接，则，所以点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，所以，因为，即，所以的取值范围是.

17.解：（1），，

若，则，

即，，，

解得，.

（2），，

若，则，

即，

化简可得，解得或.

18.解：（1）因为：，：，且，

所以，解得.

经检验，时，.

（2）由解得

即与的交点为，

因为三条直线相交于一点，所以点在上，

所以，解得.

19.解：（1）直线的斜率，

设边上的高所在直线的斜率为，则

所以所求直线为，即

（2）设外接圆的方程为

则

解得

故外接圆的方程为

20.（1）证明：由直棱柱的性质得平面，

又平面，所以.

因为，所以

因为，，平面，所以平面

因为平面，所以平面平面.

（2）解：由（1）可知，，，两两垂直，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，，

设为平面的法向量，则

即令，得，

设直线与平面所成角为，

则，

即直线与平面所成角的正弦值为.

21.解：（1）圆的圆心坐标为，半径，

因为直线被圆截得的弦长为，

所以由勾股定理得到圆心到直线的距离.

①当直线的斜率不存在时，：，显然不满足；

②当直线的斜率存在时，设：，即，

由圆心到直线的距离，得，即，

解得或，

故直线的方程为或.

（2）因为直线过点且与圆相交，所以直线的斜率一定存在，

设直线的方程为，即，

则圆心到直线的距离为，

又的面积，

所以当时，取最大值8.

由，得，解得或，

所以直线的方程为或.

22.（1）证明：因为四边形是菱形，所以，

因为平面，平面，所以平面.

因为四边形是正方形，所以，

因为平面，平面，所以平面.

因为，，平面，所以平面平面

因为平面，所以平面

（2）解：设交于点，取的中点，连结，易证，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

因为，平面，所以，

因为，所以，，两两垂直，以点为坐标原点，，，所在直线分别轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，所以是等边三角形，

所以，，，，，

所以，，，.

设为平面的法向量，

则即

令，得.

设为平面的法向量，

则，即

令，得.

设平面与平面的夹角为，

则，

令，所以，

则，

令，则，所以.

所以当时，取得最大值，

因为，所以当时，取得最小值，

所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围是.