2024届人教A版高考数学一轮复习函数与方程课件

这是一份2024届人教A版高考数学一轮复习函数与方程课件，共30页。PPT课件主要包含了函数的零点，考点1，实数x，零点存在定理，连续不断，考点2，考向扫描，考向1，判断函数的零点个数，考向2等内容，欢迎下载使用。

1.函数零点的概念对于函数y=f(x),x∈D,我们把使f(x)=0的 叫作函数y=f(x),x∈D的零点.注意 零点不是点,是满足f(x)=0的实数x.2.三个等价关系
注意 (1)函数的零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点.(2)对于连续函数f(x),在[a,b]上,f(a)·f(b)<0是f(x)在[a,b]上存在零点的充分不必要条件.
f(a)·f(b)<0
规律总结 (1)若图象连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则函数f(x)至多有一个零点.(2)图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
用二分法求方程的近似解
给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:(1)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε.(2)求区间(a,b)的中点x1.(3)计算f(x1).a.若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;b.若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1));c.若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)).(4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b),否则重复(2)(3)(4).
理解自测判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(　　)(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0.(　　)(3)二次函数y=ax2+bx+c在b2-4ac≤0时没有零点.(　　)(4)函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实根.(　　)
判断函数的零点所在的区间
1.典例 函数f(x)=lg3x+x-2的零点所在的区间为 (　　)　　　　　　　　　　　　　A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
解析 解法一(定理法)　函数f(x)=lg3x+x-2的定义域为(0,+∞),并且f(x)在(0,+∞)上单调递增.由题意知f(1)=-1<0, f(2)=lg32>0,根据零点存在性定理可知,函数f(x)=lg3x+x-2有唯一零点,且零点在区间(1,2)内.故选B.
解法二(图象法)　将判断函数f(x)的零点所在的区间转化为判断函数g(x)=lg3x,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数图象如图所示,可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.
方法技巧 函数零点所在区间的判断方法及适用情形
解析 (1)f(x)=2sin x-2sin xcs x=2sin x(1-cs x),令f(x)=0,则sin x=0或cs x=1,所以x=kπ(k∈Z),又x∈[0,2π],所以x=0或x=π或x=2π.故选B.
方法技巧 判断函数零点个数的方法1.直接法:令f(x)=0,解方程可得.2.利用函数的零点存在定理:利用函数的零点存在定理结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)判断.3.图象法:将判断函数f(x)零点个数转化为判断函数f(x)的图象与x轴交点的个数,或将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差的形式,判断函数y=h(x)和y=g(x)的图象的交点个数.
解析 f(x)=2(1+cs x)sin x-2sin x-|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x+1)|,其中x>-1,函数f(x)的零点个数即函数y1=sin 2x(x>-1)与y2=|ln(x+1)|(x>-1)的图象的交点个数.分别作出两个函数的图象,如图,可知有2个交点,则 f(x)有2个零点.
角度1　根据函数零点情况求参数取值范围
解析　函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,(等价转化)作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a≤1,解得a≥-1,故选C.
方法技巧 已知函数零点情况求参数取值范围的方法
角度2　求函数零点(或方程根)的和
解析　由函数f(x)是偶函数,可得函数f(x)的图象关于y轴对称.又由f(2-x)=f(x)知,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以函数f(x)是周期函数,且周期为2.由题设知,函数g(x)的图象也关于直线x=1对称,当x>1时,
由图可知,函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象有6个交点,即函数h(x)=f(x)-g(x)有6个零点,从小到大依次设为x1,x2,x3,x4,x5,x6,则x1+x6=2,x2+x5=2,x3+x4=2,所以函数h(x)=f(x)-g(x)所有零点的和为x1+x2+x3+x4+x5+x6=6.故选D.
方法技巧 求解函数零点(或方程的根)的和的问题,一般用函数图象的对称性求解.
解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),因为函数y=ln x与y=x2在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)=ln x+x2+a-1在(0,+∞)上单调递增,(增+增=增)则由函数f(x)在区间(1,e)内有零点知f(1)f(e)<0,(由函数零点存在定理和函数单调性可得)即a(e2+a)<0,解得-e27.典例 函数y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]上的图象分别如图（1）（2）所示.
给出下列四个命题:①方程f(g(x))=0有且仅有6个根;②方程g(f(x))=0有且仅有3个根;③方程f(f(x))=0有且仅有5个根;④方程g(g(x))=0有且仅有4个根.其中正确命题的个数是　　（ ）　　　　　　　　　　　　A.4B.3C.2D.1
解析 由图象可得-2≤g(x)≤2,-2≤f(x)≤2. (先根据图象判断f(x)与g(x)的范围)对于①,观察f(x)的图象,可知满足方程f(g(x))=0的g(x)有三个不同的值,一个值在-2与-1之间,一个值为0,一个值在1与2之间.如图,由图象知,g(x)的值在-2与-1之间时对应了2个x值,g(x)=0时对应了2个x值,g(x)的值在1与2之间时对应了2个x值,故方程f(g(x))=0有且仅有6个根,故①正确.(将g(x)的值与f(x)=0的根一一对应判断)
对于②,观察g(x)的图象,可知满足g(f(x))=0的f(x)有两个不同的值,一个值处于-2与-1之间,另一个值处于0与1之间.如图,由图象知f(x)的值在-2与-1之间时对应了1个x值,f(x)的值在0与1之间时对应了3个x值,所以方程g(f(x))=0有且仅有4个根,故②不正确.(将f(x)的值与g(x)=0的根一一对应判断)
对于③,观察f(x)的图象,可知满足方程f(f(x))=0的f(x)有3个不同的值,一个值在-2与-1之间,一个值为0,一个值在1与2之间.如图,由图象知f(x)的值在-2与-1之间时对应了1个x值,f(x)=0时对应了3个x值,f(x)的值在1与2之间时对应了1个x值,故方程f(f(x))=0有且仅有5个根,故③正确.(将f(x)的值与f(x)=0的根一一对应判断)
对于④,观察g(x)的图象,可知满足方程g(g(x))=0的g(x)有2个不同的值,一个值在-2与-1之间,一个值在0与1之间.如图,由图象可知g(x)的值在-2与-1之间时对应了2个x值,g(x)的值在0与1之间时对应了2个x值,故方程g(g(x))=0有且仅有4个根,故④正确. (将g(x)的值与g(x)=0的根一一对应判断)综上所述,正确命题的个数是3.
方法技巧 破解判断复合函数的零点个数问题的关键:一是注意观察图象,即认真观察两个函数的图象特征;二是将外层函数的定义域和内层函数的值域准确对接.
解法一　当x≥0时,f(x)=6x3-9x2+1,则f＇(x)=18x2-18x=18x(x-1).当x∈(0,1)时,f＇(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f＇(x)>0.因此函数f(x)=6x3-9x2+1在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,且f(0)=1,f(1)=-2,当x→+∞时,f(x)→+∞,作出函数f(x)在[0,+∞)上的图象,如图中的实线所示.