专题2.三角函数的图像与最值（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题2.三角函数求最值的六种类型

类型1. 与辅助角公式

1.辅助角公式: 形如的式子可做如下变换:

--------(1)

令

(1)式=,其中.

例1．已知.求的单调递增区间.

解析：化简得

，

令，，解得，

所以单调递增区间为，.

例2．已知函数，其中，且．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若，且，求的值．

解析：，，，解得：，又，，；令，解得：，的单调递增区间为；

（2）.

类型2.二次函数型

（1）把形如或的三角函数最值问题看成与或有关的二次函数解析式，再将其解析式变形转化为或，最后根据已知变量的范围求最值.

（2）对于和的形式，也可转化为二次函数来求解.

例3．函数的定义域为，值域为，则α的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

解析：由，令，得：，二次函数开口向下，对称轴为，因为，所以函数为递增函数，因为当时， ，当时， ，所以，即时，，使函数的值域为，所以由余弦函数图象与性质可知， ，所以的取值范围是：．故选：A

类型3.

如求三角函数的最值，可将看作，则原函数可变形为，该函数是我们熟悉的二次函数，可求它的最值.

例4．已知函数，则的最大值为（    ）．

A． B． C． D．

解析：，

令，

即，由，则.故选：A.

类型4.分式型

其中同名函数利用分离常数法，形如

非同名函数利用数形结合的方法，形如利用单位圆与直线相交相切来解决最值问题.

例5.求值域。

解：，故，则值域为.

例6.求函数的最大值和最小值。

解：法一：如图所示，表示过点的直线与单位圆有交点时，直线的斜率，令直线方程为，原点到直线的的距离为，故函数的最大值为，最小值为0.

法二：利用辅助角公式：计算，

，解得：.

类型5.三次函数

（1）形如：等均为三次函数.

（2）三倍角结构

这类函数虽然最后是借助导数来实现，但它的转化方向是一致的，结果就是三次函数！

例7．已知函数，则函数的最大值为_____.

解析：因为，

令，则，，令，解得，

当时，在上是减函数；当时，

在上是增函数；当时，在上是减函数，又，，由此，得在时取得最大值，最大值为，故的最大值为. 故答案为：

例8．函数的值域为____________．

解析：，设，，则，

，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，又，，，，所以值域为.

例9．函数在上的最大值为______.

解析：.又，故令，.，，当时，；当时，，在单调递增，在单调递减.. 故答案为：.

类型6.导数型

例10．（2018全国1卷）已知函数，则的最小值是__________．

解析：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.

例11．已知函数，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

解析：函数；显然，，函数值才取最小；由．令，可得：或．

当，可得；当，，，时，函数取得最小值为．故选：A．

例12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．的周期为 B．的图象关于对称

C．的最大值为 D．在区间在上单调递减

解析：由于，故A正确；

由于，

即的图象不关于对称，故B错误；

，当时，，函数单调递增；当或时，，函数单调递减；所以，故C正确；由C项分析可知，在上单调递减，故D正确；故选：ACD.