专题16.外接（内切）球中的十大解题模型（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

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专题16.外接（内切）球中的十大解题模型一．基本原理1．三角形的外心: .注：等边三角形的外心，直角三角形的外心，正方形，长方形的外心.三．正方体，长方体的外接球.正长体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点二．典例分析一．四面体模型1.1正四面体：由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等.1.2 正四面体的外接球和内切球.假设正四面体棱长为,其外接球半径为，内切球半径为，则.例1．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（       ）A． B． C． D．解析：如图，四面体是正四面体，棱长，将其补形成正方体，则正方体的棱长，此正方体的体对角线长为，正四面体与正方体有相同的外接球，则正四面体的外接球半径，所以正四面体的外接球体积为．故选：A二．等腰四面体（正棱锥）例2．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（       ）A． B． C． D．解析：∵ 球的体积为，所以球的半径，设正四棱锥的底面边长为，高为，则，，所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，，所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是．故选：C．三．棱台模型例3．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）A． B． C． D．解析：设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．四．对棱相等：补成长方体例4．在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为　　A． B． C． D．解：如下图所示，将四面体放在长方体内，设该长方体的长、宽、高分别为、、，则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为，由勾股定理得，上述三个等式全加得，所以，该四面体的外接球直径为，因此，四面体的外接球的表面积为，故选：．五．直棱柱1.基本定义：棱柱：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱.直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.正棱柱是侧棱都垂直于底面，且底面是正多边形的棱柱.2.外接球球心：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.正棱柱外接球的球心是上下底面中心连线的中点。3.计算公式：设底面小圆的半径为，棱柱高为，则.例5．在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为2，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______．解析：设BC的中点为D，的中点为，，由题，得三棱柱外接球的球心在线段的中点O处，由三棱柱的体积为2，得，即，由题，得，所以，外接球表面积．故答案为：六．墙角模型 墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）         方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出例6．已知是球面上的四个点，平面，，，则该球的表面积为（       ）A． B． C． D．解：因为平面，所以，又，所以，又，所以平面；同理平面，则两两互相垂直，将三棱锥补形成以为长宽高的长方体，如下图所示，又是球面上的四个点，所以球的直径为该长方体的体对角线，又，，所以该长方体的体对角线长为，即球的直径，其中是球的半径；所以球的表面积为.故选:B.七．最值问题例7．已知是边长为3的等边三角形，三棱锥全部顶点都在表面积为的球O的球面上，则三棱锥的体积的最大值为（       ）．A． B． C． D．解：球O的半径为R，则，解得：，由已知可得：，其中，球心O到平面ABC的距离为，故三棱锥的高的最大值为3，体积最大值为．故选：C．例8．三棱锥的顶点都在以PC为直径的球M的球面上，．若球M的表面积为，，则三棱锥的体积的最大值为（       ）A．24 B． C．27 D．解析：因为三棱锥的顶点都在以PC为直径的球M的球面上，所以，又，，故面，又 ，故面，又面，故.球M的表面积为，设球的半径为，则，解得，即，所以，，三棱锥的体积为，要使体积最大，即最大，又，当且仅当时取等，故体积的最大值为.故选：A.八．外接球综合模型例9．是边长为的等边三角形，、分别为、的中点，，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为A． B． C． D．解析：由题,取中点,连接,因为是边长为的等边三角形,故均为边长为的等边三角形.连接交于.易得为中点,且.. 又四棱锥的外接球的表面积最小时球半径最小,且球心到的距离相等.故球心在过且与平面垂直的直线上.故当球心为时,球半径取得最小值.此时有.在中由余弦定理可得.因为,故平面.故到平面的距离.又底面.故选：D九.等体积法解决内切球即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第1步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第2步：设内切球的半径为，建立等式：第3步：解出2.轴截面法：做出轴截面利用相似三角形求解.例10.已知正三棱锥的高为，底面边长为，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．解析：如图，球是正三棱锥的内切球，到正三棱锥四个面的距离都是球的半径．是正三棱锥的高，即．是边中点，在上，的边长为，∴，∴，所以，，由等体积法，，∴，解得：，∴该球的表面积为，该球的体积为．故答案为：；.十．轴截面法解决内切球例11.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 解析：（轴截面法）由三角形相似可得：由则其体积：.