专题20. 圆锥曲线中的双切线三大应用情境（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

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专题20.解析几何中双切线问题的三大应用情境情境1.圆的双切线模型及应用圆的双切线模型是圆中常见的一类考题，由于其结论丰富，变化多端，颇受命题人的热爱，2020年的理数全国一卷的选择题11题就是一个典例应用. 对于圆的双切线，我的建议就是多推导，遇到最值就往切线长上转化！如图1，从圆外任一点向圆引两条切线，圆心，两切点，我们把线段的长度叫做切线长，设圆的半径为，则四边形具有如下的性质：1.；.2.切线长的计算：,当半径给定，切线长最小等价于最小.3.四点共圆，的外接圆以为直径（托勒密定理）.4.平分.5.，当半径给定，四边形最小等价于最小.6. 假设且.由基本的三角恒等关系可知：，故可得：.对使用均值不等式可得最小值.        图1  7.假设，圆的方程为（）则切点弦的方程为：.例1.已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ）A． B． C． D．解析：综合考察性质3，5,7.圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，当直线时，， ，此时最小．∴即 ，由解得， ．所以以为直径的圆的方程为，即 ，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．例2.（2022深圳二模）P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，A，B为切点，则（       ）A．弦长的最小值为 B．存在点P，使得C．直线经过一个定点 D．线段的中点在一个定圆上解析：依题意，即，设，则为的中点，且，所以，所以，，又，所以，，所以，，故A正确，B不正确；设，则，所以以为直径的圆的方程为，则，即，所以直线的方程为，所以直线过定点，故C正确；又，，所以的中点在以为直径的圆上，故D正确；故选：ACD情境2.圆锥曲线的双切线1.知识要点.如何合理的处理双切线，我总结如下：已知曲线外一点,向二次曲线引两条切线，设.第1步：分别写出切线的方程（注意斜率）；第2步：联立与曲线的方程，利用相切条件，得到代数关系①，②式从而以的或坐标为参数，进一步构造点横或纵坐标满足的同构方程方程③；第3步：利用方程③根与系数的关系判断与曲线的位置关系，或完成其他问题.常见案例1.彭赛列闭合例3．已知抛物线C：，点.（1）设斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，若的面积为，求直线l的方程；（2）是否存在定圆M：，使得过曲线C上任意一点Q作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点A，B时，总有直线AB也与圆M相切？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由.解析：（1）直线的方程．（2）假设存在．取，圆，设切线为，由，解得，①，将直线代入抛物线方程，解得，，直线的方程为，若直线和圆相切，可得②由①得,由①②解得，．下证时，对任意的动点，直线和圆相切．理由如下：设，当时,上面假设已经说明成立;当,一条切线与轴平行,不能与抛物线交于另一点,故,以下就且情况下证明.过的直线为， ，由，可得，，，又直线与曲线相交于 ，，由，代入抛物线方程可得，可得，，则，是方程的两根，即有，即，同理．则有，，直线，即为，则圆心到直线的距离为，由，代入上式，化简可得，则有对任意的动点，存在实数，使得直线与圆相切．常见案例2：蒙日圆曲线的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆.证明：当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是，或.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是且，所以可设曲线的过点P的切线方程是. 由，得由其判别式的值为0，得因为是这个关于的一元二次方程的两个根，所以由此，得例4．已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）经过圆：上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，，直线，分别与圆相交于异于点的，两点.（i）求证：；（ii）求的面积的取值范围.解析：（1）椭圆的标准方程为.（2）（i）设点.①当直线，的斜率都存在时，设过点与椭圆相切的直线方程.由，消去，得..令，整理得.设直线，的斜率分别为，.∴.又，∴.∴，即为圆的直径，∴.②当直线或的斜率不存在时，不妨设，则直线的方程为.∴，，也满足.综上，有.（ii）设点，.当直线的斜率存在时，设直线的方程为.由，消去，得..令，整理得.则∴直线的方程为.化简可得，即.经验证，当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，也满足.同理，可得直线的方程为. ∵在直线，上，∴，.∴直线的方程为.由，消去，得.∴，.∴.又点到直线的距离.∴.令，.则.又，∴的面积的取值范围为.情境3：抛物线阿基米德三角形 知识要点：如图，假设抛物线方程为， 过抛物线准线上一点向抛物线引两条切线，切点分别记为，其坐标为. 则以点和两切点围成的三角形中，有如下的常见结论:结论1.直线过抛物线的焦点.证明：参见下面的例1.                                      结论2.直线的方程为.进一步，还有（1）过抛物线上一点的切线方程为：；（2）过抛物线上一点的切线方程为：；（3）过抛物线上一点的切线方程为：；（4）过抛物线上一点的切线方程为：．结论3.过的直线与抛物线交于两点，以分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点的轨迹即为抛物线的准线.证明：过点的切线方程为，过点的切线方程为，两式相除可得：.这就证明了该结论.结论4..证明：由结论3，，.那么.结论5..证明：,则.由抛物线焦点弦的性质可知，代入上式即可得，故.结论6.直线的中点为，则平行于抛物线的对称轴.证明：由结论3的证明可知，过点的切线的交点在抛物线准线上.且的坐标为，显然平行于抛物线的对称轴.例5．（2021高考全国乙卷理21）已知抛物线的焦点为，且与圆上的点的距离的最小值．（1）求；（2）若点在圆上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．解析：（1）抛物线的焦点为，，∴与圆上点的距离的最小值为，解得．（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，设点，，，直线的方程为，即，即，同理可知，直线的方程为，由于点为这两条直线公共点，则，∴点的坐标满足方程，∴直线的方程为，联立可得，由韦达定理可得，，，点到直线的距离为，∴，，由已知可得，∴当时，的面积取最大值．注：对于抛物线，设，是的两条切线，，是切点，则阿基米德三角形的面积为：．例6.已知抛物线的焦点为,是热线上的两动点，且过两点分别作抛物线的切线，设其交点为．（1）证明为定值；（2）设的面积为，写出的表达式，并求S的最小值．解：（1）点的坐标为 设点的坐标为   点的坐标为由可得，因此过点的切线方程为 (1)   过点的切线方程为 (2)解（1）（2）构成的方程组可得点M的坐标,从而得到=0  即为定值. （2）=0可得三角形面积 所以当且仅当时取等号