专题24.抛物线的焦半径与焦点弦（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

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专题24.抛物线的焦半径与焦点弦抛物线的焦点弦是抛物线中的高频考点，特别是对于考生而言，本节的结论既要注意把握推导过程，更应该注意对结论的熟悉程度，因为很多涉及到焦点弦的题目都会以选填的形式出现，如此，你便可以用相关结论快速做到，避免小题大做！一．重要结论抛物线的焦点弦具有丰富的性质，它是对抛物线定义的进一步考察，也是抛物线这节中最重要的考点之一，下面罗列出常见的抛物线焦点弦性质:假设抛物线方程为.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，其坐标分别为
.性质1.,.证明：性质1的证明很简单，由抛物线的定义即可证得.如上图，过向准线引垂线，垂足分别为.由定义可知：.代入坐标即可证得相关结论.性质2.抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：.证明：，则的方程为，整理可得：，即可得的方程为：.最后，由于直线过焦点，代入焦点坐标可得.再代入抛物线方程.一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么.于是，若恒过定点.性质3.已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则（1）.（2）.证明：设准线交轴于点，过点作轴于，作于，由抛物线定义可知：．其中，.所以，，故．同理，所以．性质4.抛物线的通径(1).通径长为.(2).焦点弦中，通径最短.(3).通径越长，抛物线开口越大.由性质3易得，略.性质5.已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若弦中点的坐标为，则.证明：设坐标为，由抛物线定义：，故.性质6.以焦点弦为直径的圆与准线相切.证明：设焦点弦的中点为，则到准线的距离为，由性质5可证得.性质7.如图，过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，自向准线作垂线，垂足分别为，则（1）；（2）记的面积分别为,,，.二．典例分析例1.已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为(       )A．16       B．14    C．12      D．10解析：法1:设,,直线方程为 取方程,得 ∴ 同理直线与抛物线的交点满足 由抛物线定义可知 当且仅当(或)时,取得等号． 法2:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为，根据焦点弦长公式有: ． 故选A． 法3:设点,则 设直线的方程为 联立直线与抛物线方程消去可得 所以,所以 同理 ，所以(当且仅当时等号成立)法4：可设直线，由抛物线焦点弦的性质3可得：，故，当且仅当时取到最小值，故选A.上述例2，在知晓背景的情况下解答是很容易的，这再次说明记住一些重要的二级结论可以优化运算，提升解题速度. 下例中，我们将看到有关面积的定值问题，从而为前面的重要结论做一个补充.例2．（2022新高考2卷）已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线与交于，两 点，点在第一象限，点，若，则直线的斜率为A．直线AB的斜率为2                     B．C．  D．解析：选项A：设中点为，则所以所以故选项B：所以所以 选项C：选项D：由选项A,B知所以所以为钝角；又所以为钝角；所以.故选ACD.例3.抛物线的焦点为，，是抛物线上两动点，若，则的最大值为A． B． C． D．解析：.在中,由余弦定理得：，又.所以的最大值为. 本题选择A选项.例4．（2022·广东·一模）已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，，，（且）满足，则下列结论中正确的是（    ）A．时，B．时，的最小值为9C．时，D．时，的最小值为8解析：当时，，此时不妨取 过焦点垂直于x轴，不妨取 ，则，故A错误；当时，，此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设, ， ，令 ，则，令 ，则，当时， ，递增，当时， ， 递减，故 ，故当 ，即 时，取到最小值9，故B正确；当时，，此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设,，即，故，，所以，故C正确；由C的分析可知：，当 时，取到最小值16，即最小值为16，故D错误；故选：BC例5.设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．解析：（1）设直线的方程为，且坐标为，联立方程可得：得．，故．所以．由题设知，解得：解得：，故的方程为.（2）由（1）可得中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，设所求圆的圆心坐标为，则解得或因此所求圆的方程为或．注：此题以焦点弦性质6为背景展开.例6．已知抛物线C：，过点且斜率为k的直线与抛物线C相交于P，Q两点.（1）设点B在x轴上，分别记直线PB，QB的斜率为.若，求点B的坐标；（2）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M，N两点，求的值.解析：由题意，直线的方程为，其中.设， 联立，消去得..，，即.，即.，，∴点的坐标为.（2）由题意，直线的方程为，其中，为倾斜角，则，设. 联立，消去得...例7．已知抛物线的焦点为为上一点，的最小值为1.（1）求抛物线的标准方程；（）过焦点作互相垂直的两条直线与抛物线相交于两点，与抛物线相交于两点.若分别是线段的中点，求的最小值.解析：（1）抛物线的标准方程为.（2）由（1）得，点，显然直线，的斜率都存在且不为0，设直线斜率为，则的斜率为，直线的方程为，由消去并整理得，，设，，则，所以线段中点，，同理，所以，令，当且仅当，即时等号成立.所以，且，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为16.例8．已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且；（1）求抛物线C的方程；（2）过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值.解析：（1）抛物线的方程为；（2）抛物线的方程为，即，设，，则切线PA，PB的斜率分别为，.所以切线PA：，∴，又，，同理可得切线PB的方程为，因为切线PA，PB均过点，所以，，所以直线AB的方程为.联立方程，消去x整理得，∴，∴.∴，由抛物线定义可知，，所以∵，∴，令∴原式，即最大值.