专题25.例谈解析几何中的齐次化技巧（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题25.例谈解析几何中齐次化技巧

一．基本原理

在解析几何计算与二次曲线“半径”（曲线上一点到坐标原点的连线）斜率有关的问题时，我们可以进行“1”代换的齐次化计算，即

一般计算步骤为：，整理可得：

中的几何意义为：直线与曲线的交点与原点的连线的斜率，即的斜率，设为，由韦达定理知，，从而能通过最初的二次曲线和直线相交，得出的性质，倒过来，我们也可以通过的性质与二次曲线得出的性质．下面通过例题予以分析.

二．典例分析

例1．已知双曲线的左右焦点分别为，，P是直线上不同于原点O的一个动点，斜率为的直线与双曲线交于A，B两点，斜率为的直线与双曲线交于C，D两点．

（1）求的值；

（2）若直线，，，的斜率分别为，，，，问是否存在点P，满足，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

解析：（1）由已知，，设，，

∴，，.

（2）由题意知直线，与双曲线方程联立得，同除以，令得，因此.

同理将直线与双曲线方程联立可得，所以，即.

由（1）知，令点，所以，所以解得，∴存在或满足题意．

例2. 如图，已知椭圆过点（1，），离心率为 ，左右焦点分别为．点为直线：上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为和为坐标原点．

（1） 求椭圆的标准方程；

（2）设直线、斜率分别为．

证明：

（ⅱ）问直线上是否存在一点，使直线的斜率

满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．

解析：（1）椭圆方程为 ．

（2）设的坐标为，方程为，

即

故. 同理，设坐标为，方程：，则，

故：.则，解得：的坐标为或，解得：的坐标为

三．习题演练

已知椭圆：的离心率为，右焦点为抛物线的焦点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）为坐标原点，过作两条射线，分别交椭圆于，两点，若，斜率之积为，求证：的面积为定值.

答案：（1）椭圆方程为；

（2）为定值.