专题7.拐点切线与拐点偏移的应用（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题7.拐点切线与拐点偏移的应用

一．基本原理

拐点是函数凸凹性发生转换的点，即由凸转凹，或者由凹转凸，即，当时，

或，当时，或.

1.拐点切线

如图，点为函数的拐点，做点处的切线，可以看到，具有单个拐点的函数可以看作是个凸函数和个凹函数通过拐点进行缝合，它们在缝合点处具有相同的切线，这条切线将平面分别两个半平面，一半包含一个凸函数，另一半包含一个凹函数

2.拐点偏移

近两年，双变量拐点偏移的问题陆续出现，不同于极值点偏移，拐点偏移的处理手法相对单一，主要集中于构造偏差函数.本节，我们来介绍以拐点偏移为背景的命题.

无偏移                                         偏移之后

所以，拐点偏移类的题目的命制特点便是：已知函数满足，证明：或者，读者应该注意其与极值点偏移在命题表述上的区别. 下面我们通过几个例题来展示拐点偏移类问题的解法，其依然是构造偏差函数来证明偏移.

二．典例分析

例1.已知函数在区间内各有一个极值点.

（1）求的最大值；

（2）当时，设函数在点处的切线为，若在点A处穿过

的图象（即动点在点A附近沿曲线运动，经过点A时，从的一侧进入

另一侧），求函数的表达式.

解析：（1）因为函数在区间内分别有一个极值点，

所以在区间内分别有一个实根，设两实根为，

（<），则，且，于是，

，且当，，即，时等号成立，故的最大值是16

（2）由知在点处的切线的方程是

，即，因为切线在点A处穿过的图象所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点，而，

且，若，则

和都是的极值点，所以，即，又由得

，故.

例2.已知函数，则过点恰能作曲线的两条切线的充分条件可以是（    ）

A． B．

C． D．

解析：（方法1）由，得，设切点为，则切线的斜率为，所以有，整理得

，由题意可知此方程有且恰有两个解，

令，，

，令，则，所以在上递增，因为，所以当时，，当时，，

①当，即时，当时，，则递增，当时，，则递减，当时，，则递增，所以只要或，

即或；

②当，即时，当时，，则递减，当时，，则递增，所以只要，即，而；

③当，即时，当时，，则递增，当时，，则递减，当时，，则递增，当时，，所以只要或，由，得，由得；

④当时，，所以在上递增，所以函数至多有一个零点，不合题意；

综上：时，；时，或；

时，或，故A正确，B错误，C错误，D正确.

故选：AD.

（方法2）注意到表示点在直线上，表示点在直线的下方，表示点在直线的上方.

由于的图像以及在拐点处的切线，得到

当时，过点恰能作曲线的两条切线，其中一条切线是

，另一条切线横坐标大于.

当时，比如，过点只能作曲线的一条切线.当时，过点能作曲线的三条切线，其中一条切线的切点横坐标大于且小于，另外两条切线的切点横坐标大于.当时，过点能

作曲线的两条切线，其中一条切线的切点横坐标且小于，另外一条切线的切点横坐标大于.

综上，过点恰能作曲线的两条切线的充分条件可以是和.选.

例3. 已知函数．

（1）若在处导数相等，证明：；

（2）若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．

解析：（1）．令，即关于的二次方程的两个相异根分别为，则，解得．

所以．

令，则在区间上恒成立．

所以在区间内单调递减，因此，得证．

（2）由（1）知，交点必存在，只证唯一性．

，得的拐点为．而的图象在拐点处的切线l方程为，即．此时切线l穿过的图象，与的图象只有一个交点，所以当时，直线与的图象只有一个交点．

例4．已知函数，其定义域为.（其中常数，是自然对数的底数）

（1）求函数的递增区间；

（2）若函数为定义域上的增函数，且，证明: .

解析：（2）∵函数为上的增函数，∴，即，

注意到，故，∴不妨设，

欲证，只需证，只需证，

即证，即证，

令，，只需证，

∴ ，

下证，即证，由熟知的不等式可知，当时，即，∴ ，易知当时，，∴，∴，∴，即单调递增，即，从而得证.