云南省大理白族自治州民族中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

大理州民族中学2023-2024学年高二上学期10月月考

数学试卷

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的.

1.直线的倾斜角的大小为（    ）

A.    B.    C.    D.

2.设集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.若复数满足，则（    ）

A.    B.10    C.20    D.

4.甲､乙两人独立地破译一份密码，已知个人能破译的概率分别是，求密码被成功破译的概率（    ）

A.    B.    C.    D.

5.已知向量满足，且，则（    ）

A.    B.    C.5    D.4
6.已知，若，则（    ）

A.    B.

C.    D.

7.已知点.若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，则球的表面积为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（    ）

A.-2    B.-1    C.1    D.2
10.关于函数，下列命题是真命题的是（    ）

A.函数的周期为

B.直线是的一条对称轴

C.点是的图像的一个对称中心

D.函数的最大值为2

11.已知圆，直线，则下列结论正确的是（    ）

A.直线恒过定点

B.当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离都等于1

C.圆与曲线恰有三条公切线，则

D.当时，直线上动点向圆引两条切线，其中为切点，则直线经过点

12.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，平面平面，点在线段上，交于点，则下列结论正确的是（    ）

A.若平面，则为的中点

B.若为的中点，则三棱锥的体积为

C.锐二面角的大小为

D.若，则直线与平面所成角的余弦值为

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若直线和直线互相垂直，则实数的值为__________.

14.若，则的值是__________.

15.命题：“”为假命题，则的取值范围是__________.

16.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为__________.

四､解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）已知三角形的三个顶点，求：

（1）边所在直线的方程

（2）边上中线所在直线的方程.

18.（本题满分12分）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，.

（1）试用向量表示向量；

（2）若，求的值.

19.（本题满分12分）为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，记第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如上频率分布直方图：

（1）求出频率分布直方图中的值和这200人的年龄的中位数及平均数；

（2）从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组别的概率.

20.（本题满分12分）中，有，其中分别为角的对边.

（1）求角的大小；

（2）（279班，283班同学完成）设点是的中点，若，求的面积.

（2）（物理方向同学完成）设点是的中点，若，求的取值范围.

21.（本题满分12分）如图所示，正四棱锥为侧棱上的点，且.

（1）求证：；

（2）（279班，283班同学完成）求二面角的大小.

（2）（物理方向同学完成）在侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

22.（本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知，以原点为圆心的圆与线段相切.

（1）求圆的标准方程；

（2）（279班，283班完成）若直线与圆相交于两点，且，求的值；

（2）（物理方向同学完成）在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有（为常数）？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.

大理州民族中学2023-2024学年上学期（高二数学）10月月考卷

参考答案

一､单项选择题：

二､多项选择题：

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

四､解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17.【解】（1），

直线的截距式方程为，化简得

即边所在直线的方程为：；

（2），

中点为，

直线的斜率为

因此，直线的方程为，

化简得，即为边上中线所在直线的方程.

18.【解】（1）因为，所以，

所以，

因为点为的中点，所以

.

（2）因为，

所以

.

19.【解】（1）由频率分布直方图性质知：

，解得：；

，

中位数位于，设中位数为，

则，解得：，即中位数为；

平均数为.

（2）第1，2组的频率之比为，

抽取的5人中，第1组应抽取2人，记为；第2组应抽取3人，记为，

则从5人中随机抽取2人，有，

，共10个基本事件；

其中满足两人恰好属于同一组别的有，共4个基本事件；

两人恰好属于同一组别的概率.

20.【解】：（1）在中，因为，

由正弦定理可得，因为，则，

所以，，则，

所以，，故.

（2）（279班，283班同学完成）

因为，所以

所以①

又②

由①，②得：，所以

（2）（物理方向同学完成）解：如图，延长到满足，连接，

则为平行四边形，则，

，

在中，由余弦定理得：

，

则，可变形为，即，

由基本不等式可得，即，

可得，当且仅当时，等号成立，

由三角形三边关系可得，则，故的取值范围是.

21.【解析】证明：（1）连，设交于，由题意.

在正方形中，有，又，

平面，得；

（2）（279班，283班完成）（1）因为四边形是正方形，所以点是的中点，

因为，

所以平面，

所以平面；

因为四边形是正方形，，

所以，由（1）知，

以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方

向，建立如图所示的空间直角坐标系，

，

则，

易知平面的法向量为，

设平面的法向量为，

由，得，则，

令，得，则，

所以，

由图可知二面角的平面角为锐角，

所以二面角的大小为.

（2）（物理方向同学完成）

因为四边形是正方形，设，所以，

因为，

所以平面，

所以平面；

以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

，

假设在侧棱上存在一点，使得平面，

设，则，

因为，所以，

设平面的法向量为，

由，得，则，

令，得，则，

由，得，解得，

所以在侧棱上存在一点，使得平面.

22.【解】：（1）由于，则线段与轴平行，且与圆相切.

所以圆的圆心为，半径为1，

所以圆的方程为.

（2）（279班，283班完成）由于，所以，

由于三角形是等腰直角三角形，所以到直线的距离为，

所以.

（2）（物理方向同学完成）直线的方程为，假设存在符合题意的点，设，则①，

由于的任意性，不妨设或，代入①得，

，解得或（舍去），

所以（负根舍去），

将代入①得，

整理得，则在圆上.

所以，这样的点是存在的，坐标为，此时.