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人教版七年级数学上册第四章几何图形初步（（B卷能力提升练））【单元测试】）含解析答案
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第四章几何图形初步（（B卷能力提升练））【单元测试】）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．四棱柱 C．圆柱 D．圆锥
2．如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=9，BD=2，若点E在直线AD上，且EA=1，求BE的长为（ ）
A．4 B．6或8 C．6 D．8
3．下列图形不能作为一个三棱柱的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，OB是北偏西50°方向的一条射线，若∠AOB=90°，则射线OA的方向是（ ）
A．西偏北50° B．东偏北40° C．北偏东40° D．北偏西40°
5．如图，已知为平角，，且，则的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．如图，是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线，若，则表示的方向是（ ）
A．北偏东 B．北偏东
C．北偏东 D．北偏东
7．如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（ ）
A． B．
C． D．
8．如图是正方体的一种展开图，表面上的语句为北京2022年冬奥会和冬残奥会的主题口号“一起向未来！”，那么在正方体的表面与“！”相对的汉字是（ ）
A．一 B．起 C．向 D．来
9．小王准备从A地去往B地，打开导航，显示两地距离为50km，但导航提供的三条可选路线长却分别为56km，66km，61km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点之间，直线最短
D．两点确定一条直线
10．下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ）
A．如图1所示，延长线段到点
B．如图2所示，射线不经过点
C．如图3所示，直线和直线相交于点
D．如图4所示，射线和线段没有交点
二、填空题
11．如图，线段共有 条，射线共有 条，射线AB与射线 是同一条射线．
12．将一个正方体纸盒沿棱剪开并展开，共有 种不同形式的展开图，下图中 不是正方形的展开图（填序号）．
13．如图，点C为线段AB的中点，点D在线段CB上，AB＝10，DB＝4，则CD＝ ．
14．如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上；同时，它又发现了客轮B；仿照表示灯塔方位的方法，客轮B在货轮的 方向．
15．一个长方体从左面看，上面看到的相关数据如图所示，则其从正面看到的图形面积是
16．小明用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的周长为 ．
17．如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体．在该几何体的表面（除最底层）喷上黄色的漆，若现在你手头还有一个相同的小正方体添上去，考虑颜色，要使从正面看、从左面看和从上面看到的形状图保持不变，则新添的正方体至少要在 个面上着色．
18．如图，点C是射线OA上一点，过C作，垂足为D，作，垂足为C，交OB于点E．给出下列结论：①是的余角；②；③图中互余的角共有3对；④．其中正确结论有 ．
三、解答题
19．点为数轴的原点，点在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，线段的长为线段长的倍，点C在数轴上．
(1)点B表示的数为
(2)若线段，求线段的长；
(3)在（2）的条件下，若点M为线段的中点，求出线段的长；
20．如图所示，图1为一个棱长为3的正方体，图2为图1的表面展开图（每个面表示的数字写在外表面上），请根据要求回答问题：
(1)如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则x= ，y= ；
(2)如果面“3”是上面，面“5”是后面，则右面是 （填0或或x或y）；
(3)图1中，点P为所在棱的中点，在图2中找到点P的位置，并直接写出图2中的面积．
21．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，回答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
长方体
8
6
12
正八面体
8
12
正十二面体
20
12
30
四面体棱数是 ；正八面体顶点数是 ．
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
(2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值．
22．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
(1)填空：A、B两点间的距离AB＝ ，线段AB的中点表示的数为 ；
(2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
(3)求当t为何值时，PQ＝AB；
(4)若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
23．如图，直线相交于点O。已知，在内部引一条射线，且，请解答下列问题：
(1)度数是___________；度数是___________；
(2)将射线绕点O逆时针旋转到
①如图2，当平分时，说明平分；
②当时，请求出α的度数
24．如图，，射线以的速度从位置出发，射线以的速度从位置出发，设两条射线同时绕点逆时针旋转．
(1)当时，求的度数；
(2)若．
①当三条射线、、构成的三个度数大于的角中，有两个角相等，求此时的值；
②在射线，转动过程中，射线始终在内部，且平分，当，求的值．
25．如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射线OP从OF处开始出发，绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度：射线OQ从OC处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线OQ旋转至与射线OF重合时，OP、OQ同时停止运动），旋转时间为t秒.（旋转速度÷旋转角度：旋转时间）
(1)当t＝ 秒，射线OP平分∠AOB时；
(2)若射线OQ的旋转速度为每秒4度时，请求出当∠POQ=60°时，射线OP旋转的时间；
(3)若射线OQ的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线OQ，OP，OB中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．
26．如图，射线OC在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC是的“倍分线”．
(1)如图，若，射线OC绕点O从OB位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转t秒，且．
①当秒时，OC______的“倍分线”；（填“是”或“不是”）
②若射线OA是的“倍分线”，求t的值；
(2)如图，射线AF绕点A从AB位置开始逆时针旋转，同时射线BG绕点B从BA的位置开始顺时针旋转，且，两条射线相交于点C．CD、CE分别是的高和角平线，是否存在CE是的“倍分线”的情况？若存在，请求出与应满足的数量关系；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．A
【解析】根据展开图的侧面与底面图形形状即可判断．
【详解】解：由于该几何体的展开图的三个侧面均是长方形，两个底面是三角形，因此可以判定该几何体是三棱柱．
故选：A
【点睛】本题考查了学生对常见几何体及其展开图的理解与辨别，解决本题的关键是牢记这些几何体的特征，考查了学生对图形的认识与分析的能力．
2．B
【分析】点B为CD的中点，根据中点的定义，得到CD=2BD，由BD=2便可求得CD=4，然后再根据AC=AD-CD，便可求出AC=5；由于E在直线AD上位置不明定，可分E在线段DA的延长线和线段AD上两种情况求解．
【详解】解：∵点B为CD的中点，BD=2，
∴ CD=2BD=4，
∵ AD=9，
∴ AC=AD−CD=9−4=5；
① 若E在线段DA的延长线，如图1，
∵ EA=1，AD=9，
∴ ED=EA+AD=1+9=10，
∵ BD=2，
∴ BE=ED−BD=10−2=8，
② 若E线段AD上,如图2，
EA=1，AD=9，
∴ ED=AD−EA=9−1=8，
∵BD=2，
∴ BE=ED−BD=8−2=6，
综上所述，BE的长为8或6．
【点睛】本题考查了求线段长度，依据点在直线上的位置分类讨论是解题关键．
3．A
【分析】三棱柱展开后，侧面是三个长方形，上下底各是一个三角形即可得出答案．
【详解】解：由图形可知作为一个三棱柱的展开图有B、C、D；
故不能作为一个三棱柱的展开图的是：A；
故选：A．
【点睛】此题考查了三棱柱的展开图,掌握三棱柱的展开图是解题的关键．
4．C
【分析】利用∠AOB的度数减去50°进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：
90°-50°=40°，
∴射线OA的方向是：北偏东40°，
故选：C．
【点睛】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
5．A
【分析】根据平角性质求出，由，设，列出方程求解即可得到答案．
【详解】由为平角，，得：
设
故选：A．
【点睛】本题考查平角的性质，根据题意得到对应方程并求解是关键．
6．C
【分析】根据题意求得∠AOB的度数，根据角的和差以及，可得∠DOC的度数，即可得出结论．
【详解】解：如图，
∵是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线，
∴，
∴，
∵，
，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查了方位角的表示，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
7．B
【分析】根据正方形展开图的特征，判断各个面的对面、邻面的特征即可．
【详解】解：由“相间Z端是对面”可知A、D不符合题意，而C折叠后，圆形在前面，正方形在上面，则三角形的面在右面，与原图不符，
只有B折叠后符合，
故选：B．
【点睛】此题考查的是正方体的展开图，掌握利用正方形展开图的特征判断各个面的对面、邻面的特征是解决此题的关键．
8．A
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【详解】解：对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，与“!”字相对的字是“一”．
故选：A．
【点睛】本题考查生活中的立体图形与平面图形，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
9．A
【分析】根据线段的性质：两点之间，线段最短，可得答案．
【详解】小王准备从A地去往B地，打开导航，显示两地距离为50km，但导航提供的三条可选路线长却分别为56km，66km，61km（如图）．能解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短．
故选A．
【点睛】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．
10．C
【分析】直接利用延长线段以及直线或射线相交和过一点画直线的作法分别分析得出答案．
【详解】解：A、如图1所示，延长线段到点C，几何图形与相应语言描述不相符；
B、如图2所示，应该为射线不经过点A，几何图形与相应语言描述不相符；
C、如图3所示，直线a和直线b相交于点A，几何图形与相应语言描述相符；
D、如图4所示，因为射线可以延伸，会有交点，几何图形与相应语言描述不相符；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了直线、射线、线段，正确把握相关图形画法是解题的关键．
11． 3 6 AC
【分析】根据线段、射线的定义进行解答即可．
【详解】解：图中线段有AB、AC、BC共3条；
∵一个端点处有两个两条射线，
∴射线有条；
射线AB与射线是同一条射线．
故答案为：3；6；AC．
【点睛】本题主要考查了线段、射线的定义，熟练掌握射线和线段的定义，是解题的关键．
12． 11 ①②③⑤
【分析】可以逆向思考，若由6个正方形连接起来的一整张纸片能组成正方体之和，则保证有两个底面，四个侧面，据此将六个正方形进行排列即可解答．
【详解】解：将一个正方体纸盒的某些棱剪开后，可以将其平铺成一个“平面展开图”，也就是由6个正方形连接起来的一整张纸片．那么正方体的平面展开图一共有11种．
如下图：
由此可判断①②③⑤不是正方形的展开图，
故答案为：11，①②③⑤．
【点睛】此题主要考查了正方体展开图，熟练掌握正方体展开图的特点是解决问题的关键．
13．1
【分析】先根据线段中点的定义可得，再根据即可得．
【详解】解：点为线段的中点，且，
，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．
14．北偏东40°/东偏北50°
【分析】根据方位角的表示方法即可得到答案．
【详解】解：仿照表示灯塔方位的方法，客轮B在货轮的北偏东40°的方向上，
故答案为：北偏东40°
【点睛】此题考查了方位角，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键．
15．8
【分析】从正面看长方体看到的图形为长方形，根据从左面、上面看到的相关数据得出该长方形的长和宽，即可求解．
【详解】解：根据从左面、从上面看到图形的相关数据可得：
从正面看到的图形是长为4宽为2的长方形，
则从正面看到的图形面积是：．
故答案为：8．
【点睛】本题考查从不同方向观察长方体，掌握从不同方向看到图形之间的关系是解题的关键．
16．6
【分析】根据正方形对角线为2，则①和②的直角边为1，从而得出长方形的长和宽，进而得出答案．
【详解】解：∵正方形对角线为2，
∴①和②的直角边为1，
∴长方形的长为2，宽为1，
∴长方形的周长为2×（1+2）=6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，七巧板等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
17．2
【分析】分析几何体，找到可以保证几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图保持不变的正方体放置位置，计算正方体的着色面即可．
【详解】解：为保证几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图保持不变，正方体添加的位置如下图所示，
∵小正方体添加后，左面、底面和背面被遮挡且不从右面看，
∴至少需要在正面、顶部两个面上着色，
故答案为：2．
【点睛】本题考查几何体，解题的关键是找出小正方体的添加位置．
18．①②④
【分析】根据垂直可得直角，根据互余的定义，以及余角的性质，可得答案．
【详解】解：由，，
可得∠ODC=∠EDC=∠ECO=∠ECA=90°，
所以∠1+∠DCE=∠ECO=90°，∠1+∠AOB=180°-∠ODC=90°，
即∠1是的余角，，
故①②正确；
又因为∠CED+∠DCE=180°-∠EDC=90°，∠1+∠DCE =90°，
所以∠1=∠CED，
所以（等角的补角相等）
故④正确；
∠1与∠DCE互余，∠1与∠AOB互余，∠CED与∠DCE互余，∠AOB与∠CEO互余，
所以互余的角不止3对，
故③错误，
故答案为①②④
【点睛】本题考查余角的定义，余角和补角的性质，等量代换的运用是解题的关键．
19．(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据线段的长为线段长的倍，求出的长，进而求出结果；
（2）根据分类讨论，进而求出线段的长；
（3）分类讨论，分别根据点M为线段的中点，求出的长度，进而求出的长度；
【详解】（1）解：因为点A表示的数为；
所以
因为线段的长为线段长的倍；
所以
所以
所以点B表示的数为
（2）解：当点C在点B的左侧时，如图：
因为，；
所以；
当点C在点B的右侧时，如图：
因为，；
所以
综上所述：线段的长为或；
（3）解：当点C在点B的左侧时，如图：
因为点M为线段的中点，；
所以
所以；
当点C在点B的右侧，如图：
因为点M为线段的中点，；
所以
所以
综上所述：线段的长为或．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上的点所表示的数，有理数的加减，根据点C在数轴上位置的不同进行分类讨论是解题的关键．
20．(1)6，2
(2)
(3)图见解析，
【分析】（1 ）根据两个面相隔一个面是对面，对面的和是14，可得答案；
（2 ）根据临面，对面的关系，可得答案；
（3）根据展开图面与面的关系，可得P的位置，根据三角形的面积公式，可得答案．
【详解】（1）如果长方体相对面上的两个数字之和相等，则，
解得：；
故答案为：6，2；
（2）面“3”是上面，面“5”是后面，则右面是“”．
故答案为：；
（3）如图：
．
∴的面积为：．
【点睛】本题考查了正方体的相对两个面上的文字，三角形的面积，解题的关键是掌握正方体展开图中相隔一个面的两个面互为对面，相对的面不相邻以及三角形的面积公式．
21．(1)6；6；V+F-E=2
(2)12
(3)a+b=14．
【分析】（1）观察可得顶点数+面数-棱数=2；
（2）代入（1）中的式子即可得到面数；
（3）得到多面体的棱数，求得面数即为a+b的值．
【详解】（1）解：四面体的棱数为6；
正八面体的顶点数为6；
关系式为：V+F-E=2；
故答案为：6；6；V+F-E=2；
（2）解：∵一个多面体的面数比顶点数小8，
∴V=F+8，
∵V+F-E=2，且E=30，
∴F+8+F-30=2，
解得F=12；
故答案为：12；
（3）解：∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2=36条棱，
那么24+F-36=2，
解得F=14，
∴a+b=14．
【点睛】本题考查了欧拉公式和数学常识，注意多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
22．(1)10，3
(2)t＝2，相遇点表示的数为4
(3)t＝1或3
(4)不变，5
【分析】（ 1）根据题意即可得到结论；
（2 ）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t＝2，于是得到当t＝2时，P、Q相遇，即可得到结论；
（3 ）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，列方程即可得到结论；
（4 ）由点M表示的数为 ＝ ﹣2，点N表示的数为 ＝ +3，即可得到结论．
【详解】（1）解：A、B两点间的距离AB＝|﹣2﹣8|＝10，线段AB的中点表示的数为：＝3．
故答案是：10，3；
（2）解：∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等
∴﹣2+3t＝8﹣2t，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，P、Q相遇，
此时，﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4，
∴相遇点表示的数为4；
（3）解：∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，
又∵PQ＝ AB＝ ×10＝5，
∴|5t﹣10|＝5，
解得：t＝1或3，
∴当t＝1或3时，PQ＝ AB；
（4）解：MN的长度不变，理由如下：
∵点M表示的数为 ＝ ﹣2，
点N表示的数为 ＝ +3，
∴MN＝|（ ﹣2）﹣（ +3）|＝| ﹣2﹣ ﹣3|＝5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
23．(1)；
(2)①见解析；②当时，α的度数为或者
【分析】（1）根据，，即可得出答案；
（2）①求出与的度数，进行比较即可证得结论；
②考虑到有两种情况即可，即为在如图所示位置与在上方位置．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
∵，
∴；
故答案为：；；
（2）解：①当平分时，
∵，
又∵
∴，
∴平分．
∴当平分时是平分．
②当时，且OF在下方时，
∵，
∴，
当时，且在上方时，相当于比在下方时多旋转了，
∴．
综上所述：当时，α的度数为或者．
【点睛】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
24．(1)
(2)①或；②
【分析】（1）根据题意求得OD与OA重合，∠AOC＝20°，即可得到∠COD的度数；
（2）①分三种情况，列出方程，解方程即可得到答案；②先证明运动至外部．由，，可以得到，又因为平分，则，从而求出，再求得，即可求得答案．
【详解】（1）解：依题意，当时，射线运动的度数为，
∵，
∴此时与重合，
射线运动的度数为，
即，
∴当时，．
（2）①若时，分下面三种情形讨论：
（i）如图1，
当时，，
∴，符合．
（ii）如图2，
当时，，
∴，符合．
（iii）如图3，
当时，，
∴，不在范围内，舍去．
综上所得或．
②如图4，
∵，
∴，，
∴最大度数为，最大度数为．
∵，
∴当时，，
∴，即，
∴运动至外部．
此时，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又，
∴．
【点睛】此题主要考查了与角平分线有关的计算、图形的旋转、角之间计算、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是找到等量关系列方程．
25．(1)10；
(2)或秒；
(3)或；
【分析】（1）作出角平分线，求出OP运动到OG时的时间即可．
（2）动点问题需要分类讨论，第一种OP、OQ还没有相遇时，第二种OP、OQ相遇之后，画图利用角度列出等式．
（3）分别一其中一条作为角平分线来分析，画出图像之后列等式求时间．
【详解】（1）解：作∠AOB的角平分线OG
∵∠AOB=60°，
∴∠AOG=∠AOB=30°，
∴∠FOG=∠FOA+∠AOG=20°+30°=50°，
此时OP的运动时间t=（秒）；
故答案为：10；
（2）解：∵∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，
∴∠FOC=90°
由题意可得，∠FOP=5t°，∠COQ=4t°
①如图所示：
∴4t+60+5t=90，
∴t=；
②如图所示：
此时 4t+5t-60=90，
∴t=
∵OQ停止运动时间t=，
∴以上两种情况均符合
∴当∠POQ=60°时，OP的旋转时间为或秒；
（3）解：存在；
①当OQ平分∠BOP时，则∠BOQ=∠POQ，如图：
则，
解得：；
②当OP平分∠BOQ时，则∠BOP=∠POQ，如图：
则，
解得：；
综合上述，或；
【点睛】主要考查角平分线的计算，角度的和差倍分问题，解题的关键是掌握所学的知识，运用分类讨论的思想，利用图象找关系．
26．(1)①是；②6或12或8
(2)存在是的“倍分线”的情况，理由见解析，与应满足的数量关系为：或或
【分析】（1）①设∠BOC=15t，当t=2时，∠BOC=30°，且∠AOB=60°=2∠BOC，符合题意．
②设∠BOC=15t，则OA分成的三个角为∠AOB=60°，∠BOC=15t，∠AOC=15t-∠AOB，分类计算即可．
（2）运用定义和分类思想计算即可．
【详解】（1）①当时，在内部，且，
，
是的“倍分线”，
故答案为：是；
②（Ⅰ）当在内部且时，
，
，
；
（Ⅱ）当在内部且时，如图：
，
，
；
（Ⅲ）当在内部且时，如图：
，
，
综上所述，的值为6或12或8；
（2）存在是的“倍分线”的情况，理由如下：
（2）存在是的“倍分线”的情况，理由如下：
如图：
由已知可得：，，
，
当时，如图：
，
，
当时，如图：
，
整理得：，
当时，如图：
，
整理得，
综上所述，与应满足的数量关系为：或或．
【点睛】本题考查了新定义角的计算问题，正确理解定义，熟练掌握分类计算的标准是解题的关键．
第四章几何图形初步（（B卷能力提升练））【单元测试】）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．四棱柱 C．圆柱 D．圆锥
2．如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=9，BD=2，若点E在直线AD上，且EA=1，求BE的长为（ ）
A．4 B．6或8 C．6 D．8
3．下列图形不能作为一个三棱柱的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，OB是北偏西50°方向的一条射线，若∠AOB=90°，则射线OA的方向是（ ）
A．西偏北50° B．东偏北40° C．北偏东40° D．北偏西40°
5．如图，已知为平角，，且，则的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．如图，是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线，若，则表示的方向是（ ）
A．北偏东 B．北偏东
C．北偏东 D．北偏东
7．如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（ ）
A． B．
C． D．
8．如图是正方体的一种展开图，表面上的语句为北京2022年冬奥会和冬残奥会的主题口号“一起向未来！”，那么在正方体的表面与“！”相对的汉字是（ ）
A．一 B．起 C．向 D．来
9．小王准备从A地去往B地，打开导航，显示两地距离为50km，但导航提供的三条可选路线长却分别为56km，66km，61km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点之间，直线最短
D．两点确定一条直线
10．下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ）
A．如图1所示，延长线段到点
B．如图2所示，射线不经过点
C．如图3所示，直线和直线相交于点
D．如图4所示，射线和线段没有交点
二、填空题
11．如图，线段共有 条，射线共有 条，射线AB与射线 是同一条射线．
12．将一个正方体纸盒沿棱剪开并展开，共有 种不同形式的展开图，下图中 不是正方形的展开图（填序号）．
13．如图，点C为线段AB的中点，点D在线段CB上，AB＝10，DB＝4，则CD＝ ．
14．如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上；同时，它又发现了客轮B；仿照表示灯塔方位的方法，客轮B在货轮的 方向．
15．一个长方体从左面看，上面看到的相关数据如图所示，则其从正面看到的图形面积是
16．小明用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的周长为 ．
17．如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体．在该几何体的表面（除最底层）喷上黄色的漆，若现在你手头还有一个相同的小正方体添上去，考虑颜色，要使从正面看、从左面看和从上面看到的形状图保持不变，则新添的正方体至少要在 个面上着色．
18．如图，点C是射线OA上一点，过C作，垂足为D，作，垂足为C，交OB于点E．给出下列结论：①是的余角；②；③图中互余的角共有3对；④．其中正确结论有 ．
三、解答题
19．点为数轴的原点，点在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，线段的长为线段长的倍，点C在数轴上．
(1)点B表示的数为
(2)若线段，求线段的长；
(3)在（2）的条件下，若点M为线段的中点，求出线段的长；
20．如图所示，图1为一个棱长为3的正方体，图2为图1的表面展开图（每个面表示的数字写在外表面上），请根据要求回答问题：
(1)如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则x= ，y= ；
(2)如果面“3”是上面，面“5”是后面，则右面是 （填0或或x或y）；
(3)图1中，点P为所在棱的中点，在图2中找到点P的位置，并直接写出图2中的面积．
21．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，回答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
长方体
8
6
12
正八面体
8
12
正十二面体
20
12
30
四面体棱数是 ；正八面体顶点数是 ．
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
(2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值．
22．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
(1)填空：A、B两点间的距离AB＝ ，线段AB的中点表示的数为 ；
(2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
(3)求当t为何值时，PQ＝AB；
(4)若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
23．如图，直线相交于点O。已知，在内部引一条射线，且，请解答下列问题：
(1)度数是___________；度数是___________；
(2)将射线绕点O逆时针旋转到
①如图2，当平分时，说明平分；
②当时，请求出α的度数
24．如图，，射线以的速度从位置出发，射线以的速度从位置出发，设两条射线同时绕点逆时针旋转．
(1)当时，求的度数；
(2)若．
①当三条射线、、构成的三个度数大于的角中，有两个角相等，求此时的值；
②在射线，转动过程中，射线始终在内部，且平分，当，求的值．
25．如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射线OP从OF处开始出发，绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度：射线OQ从OC处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线OQ旋转至与射线OF重合时，OP、OQ同时停止运动），旋转时间为t秒.（旋转速度÷旋转角度：旋转时间）
(1)当t＝ 秒，射线OP平分∠AOB时；
(2)若射线OQ的旋转速度为每秒4度时，请求出当∠POQ=60°时，射线OP旋转的时间；
(3)若射线OQ的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线OQ，OP，OB中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．
26．如图，射线OC在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC是的“倍分线”．
(1)如图，若，射线OC绕点O从OB位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转t秒，且．
①当秒时，OC______的“倍分线”；（填“是”或“不是”）
②若射线OA是的“倍分线”，求t的值；
(2)如图，射线AF绕点A从AB位置开始逆时针旋转，同时射线BG绕点B从BA的位置开始顺时针旋转，且，两条射线相交于点C．CD、CE分别是的高和角平线，是否存在CE是的“倍分线”的情况？若存在，请求出与应满足的数量关系；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．A
【解析】根据展开图的侧面与底面图形形状即可判断．
【详解】解：由于该几何体的展开图的三个侧面均是长方形，两个底面是三角形，因此可以判定该几何体是三棱柱．
故选：A
【点睛】本题考查了学生对常见几何体及其展开图的理解与辨别，解决本题的关键是牢记这些几何体的特征，考查了学生对图形的认识与分析的能力．
2．B
【分析】点B为CD的中点，根据中点的定义，得到CD=2BD，由BD=2便可求得CD=4，然后再根据AC=AD-CD，便可求出AC=5；由于E在直线AD上位置不明定，可分E在线段DA的延长线和线段AD上两种情况求解．
【详解】解：∵点B为CD的中点，BD=2，
∴ CD=2BD=4，
∵ AD=9，
∴ AC=AD−CD=9−4=5；
① 若E在线段DA的延长线，如图1，
∵ EA=1，AD=9，
∴ ED=EA+AD=1+9=10，
∵ BD=2，
∴ BE=ED−BD=10−2=8，
② 若E线段AD上,如图2，
EA=1，AD=9，
∴ ED=AD−EA=9−1=8，
∵BD=2，
∴ BE=ED−BD=8−2=6，
综上所述，BE的长为8或6．
【点睛】本题考查了求线段长度，依据点在直线上的位置分类讨论是解题关键．
3．A
【分析】三棱柱展开后，侧面是三个长方形，上下底各是一个三角形即可得出答案．
【详解】解：由图形可知作为一个三棱柱的展开图有B、C、D；
故不能作为一个三棱柱的展开图的是：A；
故选：A．
【点睛】此题考查了三棱柱的展开图,掌握三棱柱的展开图是解题的关键．
4．C
【分析】利用∠AOB的度数减去50°进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：
90°-50°=40°，
∴射线OA的方向是：北偏东40°，
故选：C．
【点睛】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
5．A
【分析】根据平角性质求出，由，设，列出方程求解即可得到答案．
【详解】由为平角，，得：
设
故选：A．
【点睛】本题考查平角的性质，根据题意得到对应方程并求解是关键．
6．C
【分析】根据题意求得∠AOB的度数，根据角的和差以及，可得∠DOC的度数，即可得出结论．
【详解】解：如图，
∵是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线，
∴，
∴，
∵，
，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查了方位角的表示，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
7．B
【分析】根据正方形展开图的特征，判断各个面的对面、邻面的特征即可．
【详解】解：由“相间Z端是对面”可知A、D不符合题意，而C折叠后，圆形在前面，正方形在上面，则三角形的面在右面，与原图不符，
只有B折叠后符合，
故选：B．
【点睛】此题考查的是正方体的展开图，掌握利用正方形展开图的特征判断各个面的对面、邻面的特征是解决此题的关键．
8．A
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【详解】解：对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，与“!”字相对的字是“一”．
故选：A．
【点睛】本题考查生活中的立体图形与平面图形，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
9．A
【分析】根据线段的性质：两点之间，线段最短，可得答案．
【详解】小王准备从A地去往B地，打开导航，显示两地距离为50km，但导航提供的三条可选路线长却分别为56km，66km，61km（如图）．能解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短．
故选A．
【点睛】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．
10．C
【分析】直接利用延长线段以及直线或射线相交和过一点画直线的作法分别分析得出答案．
【详解】解：A、如图1所示，延长线段到点C，几何图形与相应语言描述不相符；
B、如图2所示，应该为射线不经过点A，几何图形与相应语言描述不相符；
C、如图3所示，直线a和直线b相交于点A，几何图形与相应语言描述相符；
D、如图4所示，因为射线可以延伸，会有交点，几何图形与相应语言描述不相符；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了直线、射线、线段，正确把握相关图形画法是解题的关键．
11． 3 6 AC
【分析】根据线段、射线的定义进行解答即可．
【详解】解：图中线段有AB、AC、BC共3条；
∵一个端点处有两个两条射线，
∴射线有条；
射线AB与射线是同一条射线．
故答案为：3；6；AC．
【点睛】本题主要考查了线段、射线的定义，熟练掌握射线和线段的定义，是解题的关键．
12． 11 ①②③⑤
【分析】可以逆向思考，若由6个正方形连接起来的一整张纸片能组成正方体之和，则保证有两个底面，四个侧面，据此将六个正方形进行排列即可解答．
【详解】解：将一个正方体纸盒的某些棱剪开后，可以将其平铺成一个“平面展开图”，也就是由6个正方形连接起来的一整张纸片．那么正方体的平面展开图一共有11种．
如下图：
由此可判断①②③⑤不是正方形的展开图，
故答案为：11，①②③⑤．
【点睛】此题主要考查了正方体展开图，熟练掌握正方体展开图的特点是解决问题的关键．
13．1
【分析】先根据线段中点的定义可得，再根据即可得．
【详解】解：点为线段的中点，且，
，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．
14．北偏东40°/东偏北50°
【分析】根据方位角的表示方法即可得到答案．
【详解】解：仿照表示灯塔方位的方法，客轮B在货轮的北偏东40°的方向上，
故答案为：北偏东40°
【点睛】此题考查了方位角，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键．
15．8
【分析】从正面看长方体看到的图形为长方形，根据从左面、上面看到的相关数据得出该长方形的长和宽，即可求解．
【详解】解：根据从左面、从上面看到图形的相关数据可得：
从正面看到的图形是长为4宽为2的长方形，
则从正面看到的图形面积是：．
故答案为：8．
【点睛】本题考查从不同方向观察长方体，掌握从不同方向看到图形之间的关系是解题的关键．
16．6
【分析】根据正方形对角线为2，则①和②的直角边为1，从而得出长方形的长和宽，进而得出答案．
【详解】解：∵正方形对角线为2，
∴①和②的直角边为1，
∴长方形的长为2，宽为1，
∴长方形的周长为2×（1+2）=6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，七巧板等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
17．2
【分析】分析几何体，找到可以保证几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图保持不变的正方体放置位置，计算正方体的着色面即可．
【详解】解：为保证几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图保持不变，正方体添加的位置如下图所示，
∵小正方体添加后，左面、底面和背面被遮挡且不从右面看，
∴至少需要在正面、顶部两个面上着色，
故答案为：2．
【点睛】本题考查几何体，解题的关键是找出小正方体的添加位置．
18．①②④
【分析】根据垂直可得直角，根据互余的定义，以及余角的性质，可得答案．
【详解】解：由，，
可得∠ODC=∠EDC=∠ECO=∠ECA=90°，
所以∠1+∠DCE=∠ECO=90°，∠1+∠AOB=180°-∠ODC=90°，
即∠1是的余角，，
故①②正确；
又因为∠CED+∠DCE=180°-∠EDC=90°，∠1+∠DCE =90°，
所以∠1=∠CED，
所以（等角的补角相等）
故④正确；
∠1与∠DCE互余，∠1与∠AOB互余，∠CED与∠DCE互余，∠AOB与∠CEO互余，
所以互余的角不止3对，
故③错误，
故答案为①②④
【点睛】本题考查余角的定义，余角和补角的性质，等量代换的运用是解题的关键．
19．(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据线段的长为线段长的倍，求出的长，进而求出结果；
（2）根据分类讨论，进而求出线段的长；
（3）分类讨论，分别根据点M为线段的中点，求出的长度，进而求出的长度；
【详解】（1）解：因为点A表示的数为；
所以
因为线段的长为线段长的倍；
所以
所以
所以点B表示的数为
（2）解：当点C在点B的左侧时，如图：
因为，；
所以；
当点C在点B的右侧时，如图：
因为，；
所以
综上所述：线段的长为或；
（3）解：当点C在点B的左侧时，如图：
因为点M为线段的中点，；
所以
所以；
当点C在点B的右侧，如图：
因为点M为线段的中点，；
所以
所以
综上所述：线段的长为或．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上的点所表示的数，有理数的加减，根据点C在数轴上位置的不同进行分类讨论是解题的关键．
20．(1)6，2
(2)
(3)图见解析，
【分析】（1 ）根据两个面相隔一个面是对面，对面的和是14，可得答案；
（2 ）根据临面，对面的关系，可得答案；
（3）根据展开图面与面的关系，可得P的位置，根据三角形的面积公式，可得答案．
【详解】（1）如果长方体相对面上的两个数字之和相等，则，
解得：；
故答案为：6，2；
（2）面“3”是上面，面“5”是后面，则右面是“”．
故答案为：；
（3）如图：
．
∴的面积为：．
【点睛】本题考查了正方体的相对两个面上的文字，三角形的面积，解题的关键是掌握正方体展开图中相隔一个面的两个面互为对面，相对的面不相邻以及三角形的面积公式．
21．(1)6；6；V+F-E=2
(2)12
(3)a+b=14．
【分析】（1）观察可得顶点数+面数-棱数=2；
（2）代入（1）中的式子即可得到面数；
（3）得到多面体的棱数，求得面数即为a+b的值．
【详解】（1）解：四面体的棱数为6；
正八面体的顶点数为6；
关系式为：V+F-E=2；
故答案为：6；6；V+F-E=2；
（2）解：∵一个多面体的面数比顶点数小8，
∴V=F+8，
∵V+F-E=2，且E=30，
∴F+8+F-30=2，
解得F=12；
故答案为：12；
（3）解：∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2=36条棱，
那么24+F-36=2，
解得F=14，
∴a+b=14．
【点睛】本题考查了欧拉公式和数学常识，注意多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
22．(1)10，3
(2)t＝2，相遇点表示的数为4
(3)t＝1或3
(4)不变，5
【分析】（ 1）根据题意即可得到结论；
（2 ）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t＝2，于是得到当t＝2时，P、Q相遇，即可得到结论；
（3 ）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，列方程即可得到结论；
（4 ）由点M表示的数为 ＝ ﹣2，点N表示的数为 ＝ +3，即可得到结论．
【详解】（1）解：A、B两点间的距离AB＝|﹣2﹣8|＝10，线段AB的中点表示的数为：＝3．
故答案是：10，3；
（2）解：∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等
∴﹣2+3t＝8﹣2t，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，P、Q相遇，
此时，﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4，
∴相遇点表示的数为4；
（3）解：∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，
又∵PQ＝ AB＝ ×10＝5，
∴|5t﹣10|＝5，
解得：t＝1或3，
∴当t＝1或3时，PQ＝ AB；
（4）解：MN的长度不变，理由如下：
∵点M表示的数为 ＝ ﹣2，
点N表示的数为 ＝ +3，
∴MN＝|（ ﹣2）﹣（ +3）|＝| ﹣2﹣ ﹣3|＝5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
23．(1)；
(2)①见解析；②当时，α的度数为或者
【分析】（1）根据，，即可得出答案；
（2）①求出与的度数，进行比较即可证得结论；
②考虑到有两种情况即可，即为在如图所示位置与在上方位置．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
∵，
∴；
故答案为：；；
（2）解：①当平分时，
∵，
又∵
∴，
∴平分．
∴当平分时是平分．
②当时，且OF在下方时，
∵，
∴，
当时，且在上方时，相当于比在下方时多旋转了，
∴．
综上所述：当时，α的度数为或者．
【点睛】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
24．(1)
(2)①或；②
【分析】（1）根据题意求得OD与OA重合，∠AOC＝20°，即可得到∠COD的度数；
（2）①分三种情况，列出方程，解方程即可得到答案；②先证明运动至外部．由，，可以得到，又因为平分，则，从而求出，再求得，即可求得答案．
【详解】（1）解：依题意，当时，射线运动的度数为，
∵，
∴此时与重合，
射线运动的度数为，
即，
∴当时，．
（2）①若时，分下面三种情形讨论：
（i）如图1，
当时，，
∴，符合．
（ii）如图2，
当时，，
∴，符合．
（iii）如图3，
当时，，
∴，不在范围内，舍去．
综上所得或．
②如图4，
∵，
∴，，
∴最大度数为，最大度数为．
∵，
∴当时，，
∴，即，
∴运动至外部．
此时，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又，
∴．
【点睛】此题主要考查了与角平分线有关的计算、图形的旋转、角之间计算、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是找到等量关系列方程．
25．(1)10；
(2)或秒；
(3)或；
【分析】（1）作出角平分线，求出OP运动到OG时的时间即可．
（2）动点问题需要分类讨论，第一种OP、OQ还没有相遇时，第二种OP、OQ相遇之后，画图利用角度列出等式．
（3）分别一其中一条作为角平分线来分析，画出图像之后列等式求时间．
【详解】（1）解：作∠AOB的角平分线OG
∵∠AOB=60°，
∴∠AOG=∠AOB=30°，
∴∠FOG=∠FOA+∠AOG=20°+30°=50°，
此时OP的运动时间t=（秒）；
故答案为：10；
（2）解：∵∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，
∴∠FOC=90°
由题意可得，∠FOP=5t°，∠COQ=4t°
①如图所示：
∴4t+60+5t=90，
∴t=；
②如图所示：
此时 4t+5t-60=90，
∴t=
∵OQ停止运动时间t=，
∴以上两种情况均符合
∴当∠POQ=60°时，OP的旋转时间为或秒；
（3）解：存在；
①当OQ平分∠BOP时，则∠BOQ=∠POQ，如图：
则，
解得：；
②当OP平分∠BOQ时，则∠BOP=∠POQ，如图：
则，
解得：；
综合上述，或；
【点睛】主要考查角平分线的计算，角度的和差倍分问题，解题的关键是掌握所学的知识，运用分类讨论的思想，利用图象找关系．
26．(1)①是；②6或12或8
(2)存在是的“倍分线”的情况，理由见解析，与应满足的数量关系为：或或
【分析】（1）①设∠BOC=15t，当t=2时，∠BOC=30°，且∠AOB=60°=2∠BOC，符合题意．
②设∠BOC=15t，则OA分成的三个角为∠AOB=60°，∠BOC=15t，∠AOC=15t-∠AOB，分类计算即可．
（2）运用定义和分类思想计算即可．
【详解】（1）①当时，在内部，且，
，
是的“倍分线”，
故答案为：是；
②（Ⅰ）当在内部且时，
，
，
；
（Ⅱ）当在内部且时，如图：
，
，
；
（Ⅲ）当在内部且时，如图：
，
，
综上所述，的值为6或12或8；
（2）存在是的“倍分线”的情况，理由如下：
（2）存在是的“倍分线”的情况，理由如下：
如图：
由已知可得：，，
，
当时，如图：
，
，
当时，如图：
，
整理得：，
当时，如图：
，
整理得，
综上所述，与应满足的数量关系为：或或．
【点睛】本题考查了新定义角的计算问题，正确理解定义，熟练掌握分类计算的标准是解题的关键．
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