2022-2023学年辽宁省丹东市凤城市八年级（下）期末数学试卷（含答案解析）

2022-2023学年辽宁省丹东市凤城市八年级（下）期末数学试卷

1.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.多项式的公因式是(    )

A. abc B.  C.  D.

3.等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是(    )

A.  B. 或 C. 或 D.

4.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于(    )

A.  B.  C.  D.

5.把分式中的分子、分母的x、y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值(    )

A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍 C. 缩小为原来的 D. 不改变

6.下列命题为真命题的是(    )

A. 若，则，
B. 两个锐角分别相等的两个直角三角形全等
C. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

7.已知，则的值等于(    )

A. 1 B. 0 C.  D.

8.若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是(    )

A.  B. 且
C.  D. 且

9.如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接若，，，则▱ABCD的面积为(    )

A.  B.  C.  D. 20

10.如图，为一副重叠放置的三角板，其中，BC与DF共线，将沿CB方向平移，当EF经过AC的中点O时，直线EF交AB于点G，若，则此时OG的长度为(    )

A. 3 B. 4 C.  D.

11.函数的自变量x的取值范围是__________.

12.因式分解：______ .

13.如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则不等式的解集为______ .

14.如图，、、、是五边形ABCDE的外角，且，则的度数是______ .

15.如图，M是的边BC的中点，AN平分，于点N，延长BN交AC于点D，已知，，，则的周长是______ .

16.如图，在中，，，，将沿射线BC方向平移2个单位后得到，连接DC，则DC的长为______ .

17.如图，在▱ABCD中，，，，垂足分别为点E，，则______ .

18.如图，在中，，，，点P为AB上一点，将线段PB绕点P顺时针旋转得线段PQ，点Q在射线BC上，当PQ的垂直平分线MN经过一边中点时，PB的长为______ .

19.解方程 

20.已知实数x，y满足，求代数式的值.

21.如图，正方形网格中每个小正方形边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，为三个顶点分别是，，
画出向左平移5个单位得到的；
画出绕点C逆时针旋转后得到的；
在平面上存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的所有点D的坐标.

22.如图，在中，，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于点
若，求的度数；
若的周长为43cm，BC的长为11cm，求的周长

23.如图，已知，A、C、F、E在一条直线上，，
求证：；
四边形BCDF是平行四边形．

24.为了能够更好地进行居家电路实验学习，某校九年级班在电商平台上购买小电动机和小灯泡.已知该平台上一个小电动机与一个小灯泡的价格之和是12元，同学们决定用30元购买小灯泡，45元购买小电动机，其中购买的小灯泡数量正好是小电动机数量的2倍.

分别求出每个小灯泡和小电动机的价格.

若九年级班决定购买小灯泡和小电动机共计90个，且满足小灯泡数量不超过小电动机数量的一半，请设计出更省钱的购买方案，并求出总费用的最小值.

25.如图1，在平面直角坐标系xOy中，有长方形OABC，其中点C坐标为，，点D是边OC的中点，点P是射线CA上的一个动点，请回答下面的问题：

若点P是线段AC的中点，直接写出______ .
如图2，过点P作轴，垂足是点E，若以C、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，求出点P的坐标.
连接BP，若是等腰三角形，求CP的长度.

26.如图1，为等边三角形，在AB、AC上分别取点E、D，使，连接

求证：是等边三角形.
点M、N分别是BE、CD的中点，连接MN，当绕A点旋转到如图2的位置时，求的度数.
在条件下，若，，，求AN的长.

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2.【答案】B 

【解析】解：多项式的公因式是：
故选：
直接利用公因式的定义分析得出答案．
此题主要考查了公因式，正确把握定义是解题关键．

3.【答案】B 

【解析】解：分两种情况讨论：①当的角为顶角时，底角为；
②当角为底角时，另一底角也为，顶角为；
综上所述：等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是或；
故选：
分两种情况讨论：①当的角为顶角时；②当角为底角时；容易得出结论．
本题是开放题目，考查了等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；注意分类讨论，避免漏解．

4.【答案】C 

【解析】解：从一个顶点可引对角线3条，
多边形的边数为
多边形的内角和
故选：
首先确定出多边形的边数，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
本题主要考查的是多边形的对角线和多边形的内角和公式的应用，掌握公式是解题的关键．

5.【答案】D 

【解析】解：，
故选：
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．

6.【答案】C 

【解析】解：A、若，则a、b同号，错误，是假命题；
B、两个锐角分别相等的两个直角三角形相似但不一定全等，错误，是假命题；
C、在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，是真命题；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，错误，是假命题；
故选：
利用不等式的性质、三角形全等的判定、角平分线的性质及平行四边形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质、三角形全等的判定、角平分线的性质及平行四边形的判定等知识，难度不大．

7.【答案】C 

【解析】解：，且，
，
，
故选：
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算和化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

8.【答案】B 

【解析】【分析】

此题主要考查了分式方程的解以及不等式的解法有关知识，直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案.

【解答】

解：去分母得：， 

整理得：， 

解得： 

关于x的方程的解为正数， 

， 

解得：

当时，分式无意义，， 

解得：

故m的取值范围是：且

故选

9.【答案】A 

【解析】解：由题意可得，BE为的平分线，
，
四边形ABCD为平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，
，
▱ABCD的面积为
故选：
由题意可得，BE为的平分线，则，根据平行四边形的性质可得，，，进而可得，则，，由勾股定理得，则▱ABCD的面积为
本题考查尺规作图、角平分线的性质、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的性质和平行四边形的性质是解答本题的关键．

10.【答案】C 

【解析】解：如图，
，
，
，
，
，
，，
，
点O是AC的中点，
，
过O作于H，
，，
，
，
，
故选：
如图根据已知条件得到，求得，根据含的直角三角形的性质得到，过O作于H，进而求得OH，根据勾股定理即可得到结果．
本题考查了平移的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握特殊角直角三角形的边边关系是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】【分析】

根据分母不等于0列不等式求解即可．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； 
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

【解答】

解：由题意得，，
解得
故答案为：

12.【答案】 

【解析】解：，
，

先提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，注意分解要彻底．

13.【答案】 

【解析】解：当时，，
解得，，
由图象得：不等式的解集为：，
故答案为：
先利用正比例函数解析式确定P点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线落在直线的下方，于是可得到不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值小于的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线落在直线下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

14.【答案】 

【解析】解：，
，

故答案为：
根据多边形的外角和求出的度数，然后根据邻补角的和等于列式求解即可．
本题考查了多边形的外角和等于的性质以及邻补角的和等于的性质，是基础题，比较简单．

15.【答案】43 

【解析】解：平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
是的边BC的中点，，
，
，
的周长为：
故答案为：
证明≌，得到，，根据三角形中位线定理求出CD，计算即可．
本题考查的是三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

16.【答案】4 

【解析】【分析】
本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．
根据平移的性质可得，，，然后根据等边三角形的判定与性质即可得解．
【解答】
解：沿射线BC方向平移2个单位后得到，
，，，
是等边三角形，
，
故答案为

17.【答案】5 

【解析】解：在▱ABCD中，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，

故答案为：
由平行四边形的性质可求得，再利用含角的直角三角形的性质求解AD，BC，BE的长，进而可求解CE的长，
本题主要考查平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质，求解BC，CE的长是解题的关键．

18.【答案】2或3或5 

【解析】解：，，，
，，
PQ的垂直平分线MN经过一边中点，可分为以下三种情况：经过AB的中点D；经过AC的中点E；经过BC的中点
当MN经过AB的中点D时，交BC于点G，如图：，

绕点P顺时针旋转得线段PQ，
，
，
是的外角，
，
垂直平分PQ，
，
是等边三角形，
，
，
；
当MN经过AC的中点E时，交BC于点G，如图：，

，MN垂直PQ，
，
，
在中，，
，
，
点G在MN上，
，
，
是的外角，
，
，
，
在中，，
，
由勾股定理得：；
当MN经过BC的中点F时，交BC于点，如图：，

同理可证：，
在中，，，

综上：PB的长为：2或5或
故答案为：2或3或
本题需考虑MN经过各边中点，共三种情况，依次讨论即可．
本题综合考查了垂直平分线，含角的直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点．分类讨论思想是解题的关键，同时也是本题的易错点．

19.【答案】解：方程的两边同乘，得：，
解得：，
经检验：当时，，
是原分式方程的增根，故原分式方程无解． 

【解析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．

20.【答案】解：，
，
，，
原式，
当，时，
原式 

【解析】根据得，，将进行化简得，把，代入进行计算即可得．
本题考查了二次根式，完全平方公式，整式化简求值，解题的关键是掌握这些知识点，准确计算．

21.【答案】解：如图即为所求；
如图即为所求；
设，
当AC为对角线时，则，
解得，
则D的坐标为：；
当BC为对角线时，则，
解得，
则D的坐标为：；
当AB为对角线时，则，
解得，
则D的坐标为：；
符合条件的点D的坐标为：或或 

【解析】利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
设，分三种情况：当AC为对角线时，当BC为对角线时，当AB为对角线时，借助中点坐标公式即可求解．
本题考查作图-平移变换，旋转变换，中点坐标公式，解题的关键是正确作出图形，牢记中点坐标公式．

22.【答案】解：垂直平分AB
，
又，
，
而，
，
；

的周长为43cm，
，
又垂直平分AB
，
的周长为： 

【解析】由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出，则可求得的度数，又由，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得的度数，继而求得答案；
求出AC和BC的值，再根据线段垂直平分线的性质得出，求出的周长，代入求出即可．
此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质，能求出是解此题的关键，此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

23.【答案】证明：

又，


，

，
四边形BCDF是平行四边形 

【解析】由题意由“HL”可判定
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形BCDF是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是灵活运用性质和判定解决问题．

24.【答案】解：设每个小灯泡的价格是x元，则每个小电动机的价格是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，

答：每个小灯泡的价格是3元，每个小电动机的价格是9元；
设购买m个小灯泡，则购买个小电动机，
根据题意得：，
解得：
设购买小灯泡和小电动机的总费用为w元，则，
即，
，
随m的增大而减小，
当时，w取得最小值，最小值，此时
答：更省钱的购买方案为：购买30个小灯泡，60个小电动机，总费用的最小值为630元． 

【解析】设每个小灯泡的价格是x元，则每个小电动机的价格是元，利用数量=总价单价，结合用30元购买小灯泡的数量正好是用45元购买小电动机数量的2倍，可得出关于x的分式方程，解之经检验后可得出每个小灯泡的价格，再将其代入中，即可求出每个小电动机的价格；
设购买m个小灯泡，则购买个小电动机，根据购买小灯泡数量不超过小电动机数量的一半，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购买小灯泡和小电动机的总费用为w元，利用总价=单价数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．

25.【答案】 

【解析】解：长方形OABC中，，，，
，，
，，
，
点D是边OC的中点，点P是线段AC的中点，
是的中位线，
，
故答案为：；

轴，
，
若以C、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则
点P的纵坐标绝对值是，
设直线AC的解析式为，把、代入得，
，
解得：，
直线AC的解析式为，
若点P在线段AC上，纵坐标是，
则，
解得：，
此时，点P的坐标为，
若点P在线段CA的延长线上，纵坐标是，
则，
解得：，
此时，点P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或；

①当时，如图：过点P作于点Q，

，
，
点P在线段BC的垂直平分线上，
，
，
，
，
；
②当时，；

③当时，过点B作于点H，如图：

，，
在中，，，
，
，

综上，若是等腰三角形，CP的长度为或3或
根据含角的直角三角形的性质以及勾股定理得，根据三角形中位线定理即可求解；
由轴得，若以C、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则点P的纵坐标绝对值是，求出直线AC的解析式为，分两种情况：若点P在线段AC上，纵坐标是；若点P在线段CA的延长线上，纵坐标是，分别求出点P的坐标即可；
分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质即可求解．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，一次函数的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．

26.【答案】证明：是等边三角形，
，
又，
是等边三角形．
解：是等边三角形

，
，
≌
，
点M、N分别是BE、CD的中点，


，
≌，
，，
，
，
为等边三角形，
；
解：如图，作于点F，在中，

，，，
，，
，
点M是BE的中点，作于点H，
，，
取AB中点P，连接MP，
则，，
，，
在中，，
，
在中，
 

【解析】根据等边三角形 的判定即可解决问题；
先证明≌，再证明≌，可得，即可证明结论．
作于点F，可得，作于点H，点M是BE的中点，，在中，利用勾股定理即可解决问题．
本题考查全等三角形，等边三角形的判定及应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与应用以及勾股定理是解题的关键．