2022-2023学年江苏省扬州市高邮市八年级（下）期末数学试卷（含答案解析）

这是一份2022-2023学年江苏省扬州市高邮市八年级（下）期末数学试卷（含答案解析），共18页。试卷主要包含了下列说法正确的是，5，则抽奖2次就能中奖等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省扬州市高邮市八年级（下）期末数学试卷
1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 矩形
2.下列说法正确的是(    )
A. “打开电视，播放广告”是必然事件
B. 为了了解全市中学生的视力情况，选择普查
C. 过十字路口，遇到绿灯是随机事件
D. 若抽奖的中奖概率为0.5，则抽奖2次就能中奖
3.我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示.下列统计图中，能凸显每个项目所占总体的百分比的是(    )
A. 条形图 B. 扇形图 C. 折线图 D. 频数分布直方图
4.在下列二次根式中，能与 2合并的是(    )
A. 4 B. 8 C. 12 D. 6
5.若方程x2−2x+m=0没有实数根，则m的值可以是(    )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 3
6.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，若添加一个条件，使四边BEFD为矩形，则下列添加的条件可以是(    )
A. AB=AC
B. AB=BC
C. ∠B=90∘
D. ∠C=90∘
7.若点A(2,y1)、B(m,y1+1)在反比例函数y=m2x(m≠0)的图象上，则m满足(    )
A. m>2 B. 02
8.如图，△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，点O是AB的中点，将直角三角板的直角顶点绕点O旋转，三角板的两条直角边分别与AC、BC分别交于点M、N(不与端点重合)，连接MN，设三角板与△ABC重叠部分的四边形OMCN的面积为S，则下列说法正确的是(    )

A. S变化，MN有最大值 B. S变化，MN有最小值
C. S不变，MN有最大值 D. S不变，MN有最小值
9.若分式1x−2在实数范围内有意义，则 x的取值范围是__________.
10.某校为了有效落实“双减”政策，切实减轻学生过重的作业负担，针对八年级500名学生每天做课后作业的总时间情况进行调查，从中随机抽取了50名学生进行每天做课后作业的时间情况的调查，该调查中的样本容量是______ .
11.为执行国家药品降价政策，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率.设平均每次降价的百分率为x，可列方程为______ .
12.如图，质地均匀的小立方体的一个面上标有数字1，两个面上标有数字2，三个面上标有数字3，抛掷这个小立方体，则向上一面的数字可能性最大的是______ .
13.若反比例函数y=m−2x的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是______.
14.如图，在矩形ABCD中，AB=4，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE=EO，则AD的长是______ .


15.关于x的分式方程mx−1+21−x=3有增根，则m的值是______ .
16.若a−6 2=(b+c 2)2，则bc的值为______ .
17.如图，已知点A在反比例函数y=kx的图象上，连接OA交反比例函数y=mx的图象于点B，分别过A、B两点分别作AD⊥x轴于点D、BC⊥x轴于点C，若直角梯形ABCD的面积为5，则k−m=______ .


18.如图，在平面直角坐标系中，点P是y轴正半轴上的一个动点，点A在x轴的正半轴上，OA=6，将点P绕点A顺时针旋转90∘至点P′，点M是线段AP′的中点，若点Q是x轴的正半轴上的一个动点(OQ>6)，且点N是AQ的中点，则线段MN长的最小值为______ .


19.计算：
(1) 12− 8+ 6；
(2)(2 5−3 2)(3 2+2 5).
20.先化简，再求值(1−2x+1)÷x3−2x2+xx+1，其中x2=x−1.
21.国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理.某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t(单位：h)进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
学生睡眠时间频数分布表
组别
睡眠时间分组
频数
频率
A
t<6
4
0.08
B
6≤t<7
8
0.16
C
7≤t<8
10
a
D
8≤t<9
21
0.42
E
t≥9
b
0.14
请根据图表信息回答下列问题：
(1)频数分布表中，a=______ ，b=______ ；
(2)扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是______ ；
(3)请估算该校800名八年级学生中睡眠不足7小时的人数.

22.为某批篮球的质量检验结果如下：
抽取的篮球数n
100
200
400
600
800
1000
优等品的频数m
93
192
380
561
b
941
优等品的频率m/n
0.93
a
0.95
0.935
0.94
0.941
(1)此次调查方式为______ (填“普查”或“抽样调查”)；
(2)补全表中数据：a=______ ，b=______ ；
(3)从这批篮球中，任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值为______ (精确到0.01).
23.在“慈善一日捐”活动中，甲、乙两校教师各捐款30000元，若甲校教师比乙校教师人均多捐50元，给出如下三个信息：
①乙校教师的人数比甲校的教师人数多20%；
②甲、乙两校教师人数之比为5：6；
③甲校比乙校教师人均捐款多20%.
请从以上三个信息中选择一个作为条件，求甲、乙两校教师的人数各有多少人？你选择的条件是______ (填序号)，并根据你选择的条件给出求解过程.
24.在菱形ABCD中，对角线相交于点O，点E为AD的中点，连接OE，分别过点E、O作AB的垂线，垂足为F、G.
(1)求证：四边形OEFG为矩形；
(2)若OE=10，EF=8，求△OGB的面积.

25.如图，在矩形ABCD中(AD>AB).
(1)仅用直尺和圆规在矩形ABCD的边AD上找一点E，使EB平分∠AEC；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，CE−2AE=6，DC=6，求AE的长.

26.已知关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+m2+m=0.
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为x1，x2(x1>x2)，且x1+3x1为整数，求整数m所有可能的值.
27.如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线l，与反比例函数y=−4x的图象交于点A.把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“y=−4x的t镜像”.
(1)当OP=3时：
①点M(−12,−2)______ “y=−4x的l镜像”；(填“在”或“不在”)
②“y=−4x的l镜像”与x轴交点坐标是______ ；
(2)过y轴上的点Q(0,−1)作y轴垂线，与“y=−4x的l镜像”交于点B、C，若BQ=2CQ，求OP的长.

28.在正方形ABCD中，AB=6，E、F分别是BC、AB边上的动点，以DF、EF为边作平行四边形EFDG.

(1)如图1，连接AE，交DF于点O，若AF=BE.
①试说明EG与AE的关系；
②线段DG最小值是______ ；
(2)如图2，若四边形EFDG为菱形，判断线段BE与AF之间的数量关系，并说明理由.
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：A、不是轴对称图形．也不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D.
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】C 
【解析】解：A、“打开电视，播放广告”是随机事件，故选项A不符合题意；
B、为了了解全市中学生的视力情况，选择抽样调查，故选项B不符合题意；
C、过十字路口，遇到绿灯是随机事件，故选项C符合题意；
D、若抽奖的中奖概率为0.5，则抽奖2次不一定能中奖，故选项D不符合题意；
故选：C.
由随机事件、抽样调查以及概率的概念分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了抽样调查、随机事件以及概率等知识，熟练掌握抽样调查的随机事件的定义是解题的关键．
3.【答案】B 
【解析】解：统计图中，能凸显每个项目所占总体的百分比的是扇形图，
故选：B.
根据统计图的特点判定即可．
本题考查了统计图，熟练掌握各统计图的特点是解题的关键．
4.【答案】B 
【解析】解：A. 4=2，不能与 2合并，故本选项不符合题意，
B. 8=2 2，能与 2合并，故本选项符合题意，
C. 12=2 3，不能与 2合并，故本选项不符合题意，
D. 6不能与 2合并，故本选项不符合题意，
故选：B.
先根据二次根式的性质进行化简，再看看是否符合同类二次根式的定义即可．
本题考查了同类二次根式和二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，注意： a2=|a|=a(a≥0)−a(a<0).
5.【答案】D 
【解析】解：∵关于x的方程x2−2x+m=0没有实数根，
∴△=(−2)2−4×1×m=4−4m<0，
解得：m>1，
∴m只能为 3，
故选：D.
根据根的判别式和已知条件得出△=(−2)2−4×1×m=4−4m<0，求出不等式的解集，再得出答案即可．
本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)，①当△=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，②当△=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根，③当△=b2−4ac<0时，方程没有实数根．
6.【答案】C 
【解析】解：添加的条件可以是∠B=90∘，理由如下：
∵D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，
∴DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DF//BC，EF//AB，
∴四边形BEFD是平行四边形，
又∵∠B=90∘，
∴平行四边形BEFD为矩形，
故选：C.
由三角形中位线定理得DF//BC，EF//AB，则四边形BEFD是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
7.【答案】B 
【解析】解：∵k=m2>0，
∴反比例函数y=m2x(m≠0)的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A(2,y1)、B(m,y1+1)在反比例函数y=m2x(m≠0)的图象上，且y1 ∴0 故选：B.
根据反比例函数的性质解答即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
8.【答案】D 
【解析】解：如图，连接OC，

设AC=BC=a，
∵∠ACB=90∘，
∴∠B=45∘，
∵点O为AB的中点，
∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45∘，
∵设将直角三角板的直角顶点绕点O旋转α，三角板的两条直角边分别与AC、BC分别交于点M、N(不与端点重合)，
∴∠COM=∠BON=α，
在△COM和△BON中，
∠MCO=∠BCO=BO∠MOC=∠NOB，
∴△COM≌△BON(ASA)，
∴CM=BN，S△COM=S△BON，
∴四边形CNOM的面积S=S△COB=12S△ABC=a24；
故S不变；
设CM=BN=x，则CN=a−x，
在Rt△CMN中，
MN2=CM2+CN2=x2+(a−x)2=2(x−a2)2+34a2，
∵M、N(不与端点重合)，
∴x≠0，故没有最大值；
当x=a2时，MN有最小值，
故选：D.
(1)连接OC，由于∠ACB=90∘，设AC=BC=a，根据等腰直角三角形的性质得∠B=90∘，再根据O为AB的中点得到OC=OB，∠ACO=∠BCO=45∘，根据旋转的性质得∠COM=∠BON=α，于是可根据“ASA”判断△COM≌△BON，所以CM=BN，S△COM=S△BON，则可计算出四边形CNOM的面积=S△COB=12S△ABC=a24；设CM=BN=x，则CN=a−x，利用勾股定理得到MN2=CM2+CN2=2(x−a2)2+34a2，从而确定出MN有最小值．
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形，作出辅助线构建全等三角形是解答本题的关键．
9.【答案】x≠2 
【解析】解：∵分式1x−2在实数范围内有意义，
∴x的取值范围是：x≠2.
故答案为：x≠2.
直接利用分式有意义的条件为分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
10.【答案】50 
【解析】解：某校为了有效落实“双减”政策，切实减轻学生过重的作业负担，针对八年级500名学生每天做课后作业的总时间情况进行调查，从中随机抽取了50名学生进行每天做课后作业的时间情况的调查，该调查中的样本容量是50，
故答案为：50.
根据总体、个体、样本、样本容量的意义，即可解答．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
11.【答案】100(1−x)2=64 
【解析】解：根据题意得：100(1−x)2=64，
故答案为：100(1−x)2=64.
设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格×(1−降价的百分率)，则第一次降价后的价格是100(1−x)，第二次降价后的价格是100(1−x)2，据此即可列方程求解．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
12.【答案】3 
【解析】解：∵小立方体的一个面上标有数字1，两个面上标有数字2，三个面上标有数字3，
∴向上一面的数字可能性最大的是3；
故答案为：3.
根据概率公式即可得出答案．
此题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】m<2 
【解析】解：∵反比例函数y=m−2x的图象经过第二、四象限，
∴m−2<0，
得：m<2.
故答案为：m<2.
由反比例函数图象经过第二、四象限，所以m−2<0，求出m范围即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟记“k>0时，图象位于一、三象限；k<0时，图象位于二、四象限”是解题关键．
14.【答案】4 3 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90∘，OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE=EO，AE⊥BD，
∴AB=AO，
∴OA=AB=OB=4，
∴BD=8，
∴AD= BD2−AB2= 82−42=4 3，
故答案为：4 3.
由矩形的性质得OA=OB，再由线段垂直平分线的性质得AB=AO，则OA=AB=OB=4，得BD=8，然后由勾股定理即可求解．
本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，求出BD=8是解题的关键．
15.【答案】2 
【解析】解：方程两侧同乘(x−1)得：m−2=3(x−1)，
将x=1代入整式方程得：m=2.
根据有增根，即x=1是增根，代入整式方程解出m值即可．
本题考查了分式方程的增根，增根是整式方程的解但不是分式方程的解．
16.【答案】−3 
【解析】解：∵a−6 2=(b+c 2)2=b2+2bc 2+2c2=b2+2c2+2bc 2，
∴2bc=−6，
∴bc=−3.
故答案为：−3.
先利用完全平方公式得到a−6 2=b2+2c2+2bc 2，所以2bc=−6，从而得到bc的值．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和完全平方公式是解决问题的关键．
17.【答案】−10 
【解析】解：∵点A在反比例函数y=kx的图象上，点B在反比例函数y=mx的图象上，
∴S△ADO=12lkl，S△BCO=12lml，
∴S梯ABCD=S△ADO−S△BCO=12lkl−12lml，
∵S梯ABCD=5，
∴12(lkl−lml)=5，
∴lkl−lml=10，
∵点A点B在第二象限，
∴k<0，m<0，
∴lkl−lml=−k−(−m)=10，
∴k−m=−10.
故答案为：−10.
根据反比例函数k的几何意义，表示出S梯ABCD，再利用绝对值的意义求出结论即可．
本题考查了反比例函数k的几何意义及绝对值的意义，熟练运用反比例函数k的几何意义是解题的关键．
18.【答案】3 
【解析】解：过点P′作x轴垂线，垂足为点H，

因为点M，N分别是AP′和AQ的中点，
所以MN是△AP′Q的中位线，
则MN=12P′Q，
所以P′Q取得最小值时，MN即取得最小值．
令P(0,a)，则OP=a，
易证△APO≌△P′AH.
则AH=OP=a，P′H=OA=6，
故P′(a+6,6).
即点P′在直线y=6上．
所以当P′Q⊥x轴，即点Q在点H处时，P′Q有最小值，
此时P′Q=6，
所以MN的最小值为：3.
故答案为：3.
根据∠PAP′=90∘，过点P′作x轴垂线，构造出K型全等．又由M，N分别为AP′和AQ中点可知MN是△AP′Q的中位线，P′Q最小，则MN最小．最后根据垂线段最短得出MN长的最小值．
本题考查了利用全等将线段进行转化，同时考查了中位线的有关结论，找出点P′的纵坐标是定值，即点P′在直线y=6上是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=2 3−2 2+ 6；
(2)原式=(2 5)2−(3 2)2
=20−18
=2. 
【解析】(1)先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可；
(2)利用平方差公式进行计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1−2x+1)÷x3−2x2+xx+1
=x+1−2x+1÷x(x−1)2x+1
=x−1x+1⋅x+1x(x−1)2
=1x(x−1)
=1x2−x，
∵x2=x−1，
∴x2−x=−1，
当x2−x=−1时，原式=1−1=−1. 
【解析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
21.【答案】0.2772 
【解析】解：(1)本次调查的同学共有：8÷0.16=50(人)，
a=10÷50=0.2，b=50−4−8−10−21=7，
故答案为：0.2，7；
(2)扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的大小是360∘×1050=72∘，
故答案为：72；
(3)800×4+850=192(人)，
答：估计该校800名八年级学生中睡眠不足7小时的人数有192人．
(1)根据B组人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，再根据频数分布表中的数据，即可计算出a、b的值；
(2)根据C组的频率可计算出扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的大小；
(3)根据每天睡眠时长低于7小时的人数所占比例可以计算出该校学生每天睡眠时长低于7小时的人数．
本题考查扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】抽样调查  0.967520.94 
【解析】解：(1)此调查方式为抽样调查，
故答案为：抽样调查；
(2)a=192÷200=0.96，b=800×0.94=752，
故答案为：0.96，752；
(3)从这批篮球中，任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值为0.94，
故答案为：0.94；
(1)根据抽样调查的概念可得答案；
(2)根据频率=频数÷总数计算即可；
(3)利用频率估计概率求解即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
23.【答案】①或②或③ 
【解析】解：选择的条件是①或②或③，理由如下：
选择①，设甲校教师有x人，则乙校教师有1.2x人，
根据题意得：30000x=300001.2x+50，
解得：x=100，
经检验，x=100是原方程的解，
则1.2x=120，
答：甲校教师有100人，乙校教师120人．
选择②，设甲校教师有5k人，则乙校教师有6k人，
根据题意得：300005k=300006k+50，
解得：k=20，
经检验，k=20是原方程的解，
则5k=100，6k=120，
答：甲校教师有100人，乙校教师120人．
选择③，设乙校教师有x人，则乙校人均捐款30000x元，甲校人均捐款30000x×1.2元，
根据题意得：30000x×1.2=30000x+50，
解得：x=120，
经检验，x=120是原方程的解，
则30000x×1.2=300，
甲校教师为：30000300=100(人)；
答：甲校教师有100人，乙校教师120人．
故答案为：①或②或③．
选择①，设甲校教师有x人，则乙校教师有1.2x人，由题意：甲、乙两校教师各捐款30000元，若甲校教师比乙校教师人均多捐50元，列出方程，解方程即可；
选择②，设甲校教师有5k人，则乙校教师有6k人，由题意：甲、乙两校教师各捐款30000元，若甲校教师比乙校教师人均多捐50元，列出方程，解方程即可；
选择③，设乙校教师有x人，则乙校人均捐款30000x元，甲校人均捐款30000x×1.2元，由题意：甲校教师比乙校教师人均多捐50元，列出方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，
∵点E为AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE//AB，
∵EF⊥AB，OG⊥AB，
∴∠EFG=90∘，EF//OG，
∴四边形OEFG是平行四边形，
又∵∠EFG=90∘，
∴平行四边形OEFG为矩形；
(2)解：由(1)可知，OE是△ABD的中位线，四边形OEFG为矩形，
∴AB=2OE=2×10=20，OG=EF=8，FG=OE=10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=20，
∵点E为AD的中点，
∴AE=10，
∵EF⊥AB，OG⊥AB，
∴∠EFA=∠OGB=90∘，
∴AF= AE2−EF2= 102−82=6，
∴BG=AB−AF−FG=20−6−10=4，
∴S△OGB=12BG⋅OG=12×4×8=16. 
【解析】(1)由三角形中位线定理得OE//AB，再证EF//OG，则四边形OEFG是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；
(2)由三角形中位线定理和矩形的性质得AB=2OE=20，OG=EF=8，FG=OE=10，再由菱形的性质得AD=AB=20，然后由勾股定理得AF=6，则BG=AB−AF−FG=4，即可解决问题．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)点E即为所求作的点；
(2)设AE=x，
∵CE−2AE=6，
∴CE=2x+6，
由(1)知：BC=CE=2x+6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2x+6，
∴DE=AD−AE=x+6，
∵CE2=DE2+CD2，
∴(2x+6)2=(x+6)2+62，
∴x=2(舍去负值).
∴AE=2. 
【解析】(1)以C为圆心BC的长为半径画弧交AD于E，点E即为所求；
(2)设AE=x，得到DE=AD−AE=x+6，由勾股定理得到(2x+6)2=(x+6)2+62，求出x=2(舍去负值)，得到AE的长．
本题考查矩形的性质，勾股定理，尺规作图，关键是由勾股定理列出关于AE的方程．
26.【答案】(1)证明：∵Δ=[−(2m+1)]2−4×(m2+m)=1>0，
∴无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)解：∵x2−(2m+1)x+m2+m=0，即(x−m)[x−(m+1)]=0，
解得：x=m或x=m+1.
∴一元二次方程x2−(2m+1)x+m2+m=0的两根为m，m+1，
∵x1>x2，
∴x1=m+1，
∴x1+3x1=m+4m+1=1+3m+1，
如果1+3m+1为整数，则m=−4或−2或0或2，
∴整数k的所有可能的值为−4或−2或0或2. 
【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=1>0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
(2)解方程求出方程的两根为m，m+1，得出x1+3x1=m+4m+1=1+3m+1，然后利用有理数的整除性确定m的整数值．
本题考查了根的判别式、解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”；(2)利用解方程求出m的整数值．
27.【答案】在  (−23,0) 
【解析】解：(1)①由反比例函数y=−4x知：当x=−12时，y=8.
∵OP=3且过点P作y轴的垂线l.
∴关于直线l：y=3对称点坐标为(−12,−2).
由“y=−4x的t镜像”定义得：点M(−12,−2)在“y=−4x的t镜像”上．
故答案为：在．
②∵“y=−4x的l镜像”与x轴相交点纵坐标为0.
∴关于直线l：y=3对称点在反比例函数y=−4x上点纵坐标为6.
∴y=6时，x=−23.
∴“y=−4x的l镜像”与x轴交点坐标是(−23,0).
故答案为：(−23,0).
(2)如图，①∵过y轴上的点Q(0,−1)作y轴垂线，与“y=−4x的l镜像”交于点B、C.
∴点B，C纵坐标为−1.
∵点C在反比例函数y=−4x图象上．
∴点C坐标(4,−1).
∴CQ=4.
∵BQ=2CQ.
∴BQ=8.
∴点B坐标为(−8,−1).
∴当x=−8时，反比例函数y=−4x的值y=12.
∴点(−8,−1)与点(−8,12)关于直线l：y=−14对称．
由“y=−4x的t镜像”定义得：OP=14.
∴OP的长为14.
②当点B，C位置交换时，同理得OP的长为12.
∴OP的长为14或12.

(1)①根据函数“y=−4x的l镜像”定义知：反比函数图象沿着直线l翻折前后部分关于直线l对称，当x=−12时，反比例函数值y=8，则点(−12,8)关于直线y=3对称点为(−12,−2)得出点M在“y=−4x的l镜像”；②“y=−4x的l镜像”与x轴交点纵坐标是0，根据直线l：y=3对称点在反比例函数y=−4x图象上纵坐标应为y=6时x=−23，“y=−4x的l镜像”与x轴交点坐标是(−23,0).
(2)(图见解答)由过y轴上的点Q(0,−1)作y轴垂线，与“y=−4x的l镜像”交于点B、C知：点B，C纵坐标y=−1，点C(4,−1)，CQ=4，故BQ=8，点B坐标为(−8,−1)，点B关于直线l对称点坐标为(−8,12)，OP=1−122=14.当点B，C位置交换时，OP=12.
本题考查了反比例函数和函数对称性的知识．
28.【答案】3 2 
【解析】解：(1)EG=AE，且EGIAE.
∵四边形ABCD为正方形，
∵AD=AB，∠DAF=∠ABE=90∘，
在△ADF和△BAE中，
AD=BA∠DAF=∠ABEAF=BE，
∴△ADF≌△BAE(SAS)，
∴DF=AE，∠ADF=∠BAE，
∵∠BAE+∠EAD=90∘，
∴∠EAD+∠ADF=90∘，
∴AE⊥DF，
∵四边形EFDG是平行四边形．
∴DF//EG，DF=EG，
∴AE⊥EG，且AE=EG：
(2)当E、F分别为AB、BC的中点时，EF最小，即DG最小，
此时EF是三角形的中位线，EF=12AC=3 2；
故答案为：3 2.
(3)存在，理由如下：
设AF=x，
∵AB=6，
∴AD=BC=6.
∴BF=6−AF=6−x，
∵点E为BC中点，
∴BE=12BC=3.
∵四边形DFEG为菱形，
∴DF=EF，
由勾股定理可得AD2+AF2=BF2+BE2，即62+x2=(6−x)2+32，
解得x=34，
∴F在AB边上存在AF=34时，使得四边形EFDG为菱形．
(1)根据正方形ABCD的性质，得出AD=AB (2)当E、F分别为AB、BC的中点时，EF最小，即DG最小，根据勾股定理求出EF即可；
(3)先判断存在，设AF=x，再根据点E为BC中点菱形DFEG的性质，通过勾股定理即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定、平行四边形和姜形的性质，勾股定理．