2023-2024学年河南省郑州四中南校区九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省郑州四中南校区九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年河南省郑州四中南校区九年级（上）月考数学试卷（10月份）第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列各组中的四条线段成比例的是(    )A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，2.已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 3.如图，在长方形中，连接，以为圆心适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，画射线交于点若，则的大小为(    )A.
B.
C.
D. 4.下列说法错误的是(    )A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 平行四边形的对边相等
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D. 正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形5.某校办厂生产的某种产品，今年产量为件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到件，若设这个百分数为，则可列方程为(    )A.
B.
C.
D. 6.如图，、分别是的边、上的点，且，若，则的值(    )

 A.  B.  C.  D. 7.用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏红色和蓝色配成紫色，则配得紫色的概率是(    )
A.  B.  C.  D. 8.如图，有一块三角形余料，，高线，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点、分别在，上，若满足：：，则的长为(    )
 A.  B.  C.  D. 9.已知变量，满足函数关系现有牌面数字为，，，的卡片，它们除数字外完全相同把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上所标的数字积为的值，能使上述函数中的值随值的增大而增大的概率为(    )A.  B.  C.  D. 10.如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点为原点，，，交轴于点，连接，交于点，则点的坐标为(    )A.
B.
C.
D. 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.若，则______．12.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．13.在一个不透明的袋子里装有红球和白球共个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在左右，则袋子里白球可能是______个．14.如图，点是矩形的对角线的中点，，连接，若，，则矩形的面积为______ ．
 15.如图，正方形中，，是的中点，是线段上一点，射线交正方形的边于点，且，则的长可以为______ ．
 三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.本小题分
计算：；
化简：．17.本小题分
年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
这次被调查的同学共有______人；
扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为______；
现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．18.本小题分

如图，是直线上一点，，过点作于点，过点作于点．
求证：∽；
若，，求的长．
19.本小题分如图所示，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量操场旗杆的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与旗杆顶点在同一直线上，已知米，米，目测点到地面的距离米，到旗杆的水平距离米，求旗杆的高度．
 20.本小题分
在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．
若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度；
已知该工艺品的成本是元件，如果以单价为元件销售，那么每天可售出件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是元，根据销售经验，如果将销售单价降低元，每天可多售出件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为元．
 
 
 21.本小题分
已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形．
四边形的形状是______ ，证明你的结论．
连接四边形的对角线与，当与满足______ 条件时，图四边形是矩形；证明你的结论．

 22.本小题分
【问题发现】
如图，在等腰直角中，点是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为______ ；
【拓展延伸】
如图，在等腰中，，点是边上任意一点不与点，重合，在的右侧作等腰，使，，连接，则中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【归纳应用】
在的条件下，若，，点是射线上任意一点，请直接写出当时的长．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：根据两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
所给选项中，只有中，，四条线段成比例，
故选：．

理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘时，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等．2.【答案】 【解析】解：把代入，得
，
解得，
故选：．
将代入原方程，列出关于的新方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的解，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题是解题的关键．3.【答案】 【解析】解：在长方形中，，，
，
由作法得：平分，
，
，
，
故选：．
先利用矩形的性质得到，则利用平行线的性质可计算出，再由作法得平分，所以，然后根据三角形的内角和定理得到的度数．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了矩形的性质．4.【答案】 【解析】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；
B.平行四边形的对边相等，故本选项正确；
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项正确；
D.正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形，故本选项正确；
故选：．
依据矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定以及正方形的性质，即可得出结论．
本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定以及正方形的性质，解题时注意：对角线相等的平行四边形是矩形．5.【答案】 【解析】解：已设这个百分数为．
．
故选：．
根据题意：第一年的产量第二年的产量第三年的产量且今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数．
本题考查对增长率问题的掌握情况，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程．6.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．
证明：：，进而证明：：；证明∽，得到，借助相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】
解：：：，
：：；
：：；
，
∽，∽
，
：，
故选D．7.【答案】 【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中指向红色和蓝色的结果有种，
配得紫色的概率是．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及指向红色和蓝色的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．8.【答案】 【解析】解：如图，设交于点．
：：，
可以假设，．
四边形是矩形，
，
∽，
，，
，
，
，
解得，
．
故选：．
利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．9.【答案】 【解析】解：要使函数中的值随值的增大而增大，则，
画树状图如下：

由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中能使上述函数中的值随值的增大而增大的结果数有，
上述函数中的值随值的增大而增大的概率为，
故选：．
先根据一次函数的性质得到，再画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到满足的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
本题主要考查了一次函数的性质，树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图是解题的关键．10.【答案】 【解析】解：菱形的顶点为原点，，
，
，
和都是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
直线解析式为，直线的解析式为，
联立方程组：，
解得：，
点的坐标为
故选：．
根据菱形的性质证明和都是等边三角形，求出直线解析式为，直线的解析式为，联立方程组即可求出点的坐标．
本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，一次函数的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．11.【答案】 【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据已知，用表示、表示、表示，代入分式计算即可．
本题考查了比例的性质，掌握比例的基本变形是解决本题的关键．12.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得．
故答案为：．
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．13.【答案】 【解析】解：由题意可得，
个，
即袋子中白球的个数最有可能是个，
故答案为：．
分析：
根据白球出现的频率和球的总数，可以计算出白球的个数．
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出白球的个数．14.【答案】 【解析】解：，，
，
点是的中点，
，
是的中位线，
，
点是的中点，，
，
，
矩形的面积，
故答案为：．
由三角形中位线定理可求的长，由直角三角形的性质可求的长，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形的性质等知识，分别求出，的长是解题的关键．15.【答案】或写出一个即可 【解析】解：正方形中，，是的中点，
，
，
当点在上时，如图，

在和中，，
≌，
，
，
，
，
，
，
；
当点在上时，连接，如图，

在和中，
，
≌，
，
，且，
四边形是矩形，
，
综上所述，的长为或．
故答案为：或写出一个即可．
利用勾股定理列式求出，再分当点在上时，利用“”证明≌，根据全等三角形对应角相等可得，证明，利用三角形的面积公式列式求解即可得到的长；当点在上时，利用“”证明≌，根据全等三角形对应边相等可得，则四边形是矩形，再根据矩形的对角线相等且互相平分解答．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，难点在于分情况讨论，作出图形更加形象直观．16.【答案】解：


；



． 【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分的混合运算，实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．17.【答案】解：；
；
列表如下： 甲乙丙丁甲一乙，甲丙，甲丁，甲乙甲，乙一丙，乙丁，乙丙甲，丙乙，丙一丁，丙丁甲，丁乙，丁丙，丁一共有种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有种，
选中甲、乙，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为． 【解析】【分析】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数；
用乘以篮球的学生所占的百分比即可；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】
解：根据题意得：
人，
答：这次被调查的学生共有人；
故答案为：；
根据题意得：
，
答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：；
见答案．18.【答案】证明：，，
，
，
，
，
∽；
解：在中，，
∽，
：：，
：：，
． 【解析】由余角的性质得到，又，即可证明问题；
由勾股定理求出的长，由相似三角形的性质即可求出的长．
本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是掌握相似三角形的判定和性质．19.【答案】解：由题意可得：，，米，
∽，
则，
米，米，米，
，
解得：，
故AB米，
答：旗杆的高度为米． 【解析】根据题意可得：∽，进而利用相似三角形的性质得出的长，即可得出答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，得出∽是解题关键．20.【答案】解：设条带的宽度为，
根据题意，得．
整理，得，
解得，舍去．
答：丝绸条带的宽度为．
设每件工艺品降价元出售，
由题意得：．
解得：．
所以售价为元．
答：当售价定为元时能达到利润元． 【解析】设出条带的宽，利用面积关系即可列出方程求解；
设每件工艺品降价元出售，则降价元后可卖出的总件数为，每件获得的利润为，此时根据获得的利润卖出的总件数每件工艺品获得的利润，列出方程，求解即可．
此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出一元二次方程模型，难度不大．21.【答案】平行四边形；垂直 【解析】解：四边形的形状是平行四边形．理由如下：
如图，连结．
、分别是、中点，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形；

当四边形的对角线满足互相垂直的条件时，四边形是矩形．理由如下：
如图，连结、．
、、、分别为四边形四条边上的中点，
，，
，
，
又四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形；
连接，根据三角形的中位线定理得到，，，，推出，，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形；
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形的对角线满足的条件时，四边形是矩形；
本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定等知识点的理解和掌握，熟练掌握各定理是解决此题的关键．22.【答案】相等 【解析】解：相等，和都是等腰直角三角形，
，，，
，
即，
≌，
，
故答案为：相等；
成立，
理由：，
，
，
，
，
，
，∽，
，
∽，
；
如图，，
，
，
，
，
，
，∽，
，
∽，
，
，，，
，
．
如图，，
，
，
，
，
，
，∽，
，
∽，
，
，，，
，
．
综上所述，为或．
利用证明≌，得；
根据等腰三角形的性质得到，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
如图，根据等腰三角形的性质得到，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练证明∽是解题的关键．