13.5 逆命题与逆定理 华东师大版数学八年级上册素养提升练(含解析)

第13章　全等三角形

13.5　逆命题与逆定理

基础过关全练

知识点1　互逆命题与互逆定理

1.(2023河北秦皇岛海港期末)下列命题的逆命题一定成立的是                                                                       (　　)

A.对顶角相等

B.若a>b,则a2>b2

C.若a=b,则|a|=|b|

D.同位角相等,两直线平行

2.(2023北京平谷期末)命题“等边对等角”是　　　　命题(填“真”或“假”),它的逆命题是　　　　　　　　. 

知识点2　线段的垂直平分线

3.如图,△ABC中,∠A=105°,AB的垂直平分线EF交BC于点D,BD=AC,则∠B的度数为                                                  (　　)

A.15°　　　　B.20°　　　　C.25°　　　　D.30°

4.【一题多变】(2023海南澄迈期中)如图,在△ABC中,AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F,若∠BAC=102°,则∠EAF为                   

(　　)

A.24°　　　　B.38°　　　　C.40°　　　　D.44°

[变式](2022吉林四平伊通期末)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线l1交AB于点M,交BC于点D,AC的垂直平分线l2交AC于点N,交BC于点E,l1与l2相交于点O,△ADE的周长为10.

(1)求BC的长;

(2)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上,并说明理由.

5.(2023吉林长春汽开区期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,直线DE是线段AB的垂直平分线,交BC于点E.已知△ABC的周长是24,AD的长是5.求△AEC的周长.

6.【新独家原创】如图,已知△ABC.通过尺规作图,得到直线DE和射线AF,且AE=EC,∠EAF=25°.求∠B的度数.

7.【中垂线模型】(2023福建厦门一中期中)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为线段CE的中点,且BE=AC.

(1)求证:AD⊥BC;

(2)若∠BAC=90°,DC=2,求BD的长.

知识点3　角平分线

8.(2023湖南长沙雅礼教育集团期末)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,AB=10,S△ABD=15,则CD的长为(　　)

A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6

9.【一题多变】【双外角平分线模型】如图,△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P,若点P到AC的距离为3,则点P到AB的距离为   (　　)

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4

[变式]如图,AB=AC,△ABC的内角∠ABC的平分线BD与△ACB的外角∠ACF的平分线交于点D,△ABC的外角∠MBC的平分线与CD的反向延长线交于点E,以下结论:①AD∥BC;②DB⊥BE;

③∠BDC+∠ABC=90°;④DB平分∠ADC;

⑤∠BAC+2∠BEC=180°.其中正确的结论有　　　　.(填序号) 

10.(2022福建龙岩期中)如图,已知AB∥CD,O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于E,且OE=2,则两平行线AB、CD间的距离等于　　　　. 

11.【尺规作图】电信部门要修建一座电视信号发射塔,如图,按照设计要求,发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条高速公路OM,ON的距离也必须相等,发射塔P应修建在什么位置?请你作出来.

能力提升全练

12.【新考法】(2022山东德州中考,11,★★☆)在△ABC中,根据下列尺规作图的痕迹,不能判断AB与AC大小关系的是        　(　　)

A            B          C           D

13.(2022吉林长春农安期末,16,★☆☆)命题“两直线平行,同位角相等”的逆命题是　　　　命题.(填“真”或“假”) 

14.(2022湖南衡阳中考,16,★☆☆)如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作圆弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交CB于点D,连结AD.若AC=8,BC=15,则△ACD的周长为　　　　. 

素养探究全练

15.【推理能力】如图,在四边形ABCD中,已知AD∥BC,E为CD的中点,连结AE并延长,交BC的延长线于点F.

(1)求证:CF=AD;

(2)若AD=2,AB=8,当BC的值为多少时,点B在线段AF的垂直平分线上?为什么?

16.【推理能力】在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B、C重合),连结AD.

(1)如图①,当D是BC边的中点时,S△ABD∶S△ACD=　　　　; 

(2)如图②,当AD是∠BAC的平分线时,若AB=m,AC=n,求S△ABD∶S△ACD的值(用含m、n的式子表示);

(3)如图③,AD平分∠BAC,延长AD到E,使得DE=AD,连结BE,如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,求S△ABC的值.

答案全解全析

基础过关全练

1.D　A选项,逆命题为相等的角是对顶角,相等的角不一定是对顶角,逆命题不一定成立,不符合题意.B选项,逆命题为若a2>b2,则a>b.若a2>b2,则|a|>|b|,a不一定大于b,逆命题不一定成立,不符合题意.

C选项,逆命题为若|a|=|b|,则a=b.若|a|=|b|,则a=b或a=-b,逆命题不一定成立,不符合题意.D选项,逆命题为两直线平行,同位角相等,逆命题成立,符合题意.故选D.

2.答案　真;等角对等边

解析　“等边对等角”是等腰三角形的性质,是真命题,它的逆命题是“等角对等边”.

3.C　连结AD,如图,

∵直线EF是线段AB的垂直平分线,∴DA=DB,

∴∠B=∠DAB,

∴∠ADC=∠B+∠DAB=2∠B,

∵BD=AC,∴AD=AC,∴∠ADC=∠C=2∠B,

∵∠BAC=105°,∴∠B+∠C=180°-∠BAC=75°,

∴3∠B=75°,∴∠B=25°,故选C.

4.A　∵∠BAC=102°,∴∠B+∠C=180°-102°=78°,

∵直线GE是线段AB的垂直平分线,

∴EA=EB,∴∠EAB=∠B,

同理可得∠FAC=∠C,

∴∠EAB+∠FAC=∠B+∠C=78°,

∴∠EAF=102°-78°=24°,故选A.

[变式]解析　(1)∵l1是线段AB的垂直平分线,∴DB=DA,

∵l2是线段AC的垂直平分线,∴EA=EC,

∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=C△ADE=10.

(2)点O在边BC的垂直平分线上.

理由:连结AO,BO,CO,如图,

∵l1与l2分别是线段AB,AC的垂直平分线,

∴AO=BO,CO=AO,∴OB=OC,

∴点O在边BC的垂直平分线上.

5.解析　∵直线DE是线段AB的垂直平分线,AD=5,

∴AE=BE,AB=2AD=10,

∵C△ABC=AB+AC+BC=24,∴AC+BC=14,

∴△AEC的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=14.

6.解析　根据作图痕迹,知AF是∠EAC的平分线,

∴∠EAC=2∠EAF.

∵∠EAF=25°,∴∠EAC=50°.

∵AE=EC,∴∠C=∠EAC=50°,

∴∠AEC=180°-∠EAC-∠C=180°-50°-50°=80°.

由作图痕迹,知直线DE是线段AB的垂直平分线,

∴AE=BE,∴∠B=∠BAE.

∵∠AEC=∠B+∠BAE,

∴∠B=∠AEC=×80°=40°.

7.解析　(1)证明:连结AE,如图,

∵直线EF是线段AB的垂直平分线,∴BE=AE,

∵BE=AC,∴AE=AC,

∵D为线段CE的中点,∴AD⊥BC.

(2)∵BE=AE,∴∠EAB=∠B,

∴∠AEC=∠EAB+∠B=2∠B,

∵AE=AC,∴∠AEC=∠C,∴∠C=2∠B,

∵∠BAC=90°,∴∠C=60°,

∴△AEC为等边三角形,

∴AE=EC,∵AE=AC,AD⊥EC,

∴ED=DC=2,

∴AE=EC=4,

∴BE=AE=4,

∴BD=BE+ED=4+2=6.

8.A　如图,过点D作DE⊥AB于E,

∵∠C=90°,AD平分∠BAC,∴DE=CD,

∴S△ABD=AB·DE=×10·DE=15,

解得DE=3,∴CD=3.故选A.

9.C　如图,过点P作PF⊥直线AC于F,PG⊥BC于G,PH⊥直线AB于H,

∵BD是∠HBC的平分线,CE是∠FCB的平分线,

∴PG=PH,PF=PG=3,

∴PH=3,即点P到AB的距离为3.故选C.

[变式]答案　①②③⑤

解析　如图,过点D作DG⊥BF于G,DH⊥AB交BA的延长线于H,DP⊥AC于P,过点A作AQ⊥BC于Q,

∵BD平分∠ABC,∴DH=DG,

∵CD平分∠ACF,∴DG=DP,∴DH=DP,

∴AD平分∠CAH,

即∠CAD=∠HAD=∠CAH,

∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,

∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∠CAD+∠HAD+∠BAC=180°,

∴∠CAD=∠ACB,∴AD∥BC,

因此①正确;

∵BE平分∠CBM,BD平分∠ABC,∠CBM+∠ABC=180°,

∴∠DBE=∠ABC+∠CBM=×180°=90°,

∴BD⊥BE,因此②正确;

∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,

∵CD平分∠ACF,∴∠ACD=∠FCD,

∵∠ACF=∠BAC+∠ABC,∠DCF=∠BDC+∠DBC,

∴∠BDC=∠BAC,

∵AQ⊥BC,AB=AC,

∴∠BAQ=∠CAQ=∠BAC,

∵∠BAQ+∠ABC=90°,

∴∠BDC+∠ABC=90°,

因此③正确;

∵AD∥BC,

∴∠ADB=∠DBC=∠ABC=×

=45°-∠BAC,

又∠BDC=∠BAC,

∴∠ADB与∠BDC不一定相等,

因此④不正确;

∵BE⊥BD,∴∠E+∠BDC=90°,

∵∠BDC=∠BAC,

∴∠E+∠BAC=90°,

∴2∠E+∠BAC=180°,

因此⑤正确.

综上所述,正确的结论有①②③⑤.

10.答案　4

解析　如图,过点O作MN⊥AB于M,交CD于N,

∵AB∥CD,∴MN⊥CD,

∵AO是∠BAC的平分线,OM⊥AB,OE⊥AC,OE=2,

∴OM=OE=2,

∵CO是∠ACD的平分线,OE⊥AC,ON⊥CD,

∴ON=OE=2,∴MN=OM+ON=4,

即AB与CD之间的距离是4.

11.解析　如图,作AB的垂直平分线,作∠MON和∠QON的平分线与AB的垂直平分线交于P1,P2,发射塔应修建在P1或P2处.

能力提升全练

12.D　A.由作图痕迹可知AC>AB,所以A选项不符合题意;

B.由作图痕迹可知AC>AB,所以B选项不符合题意;

C.如图,连结BD,

由作图痕迹可知直线DE是线段BC的垂直平分线,

所以DB=DC,

因为AD+DB>AB,

所以AC=AD+DC=AD+DB>AB,

所以C选项不符合题意;

D.由作图痕迹不能判断AB与AC的大小关系,所以D选项符合题意.故选D.

13.答案　真

解析　原命题的逆命题是“同位角相等,两直线平行”,是真命题.

14.答案　23

解析　由尺规作图可知直线MN是线段AB的垂直平分线,∴AD=BD,

∴△ACD的周长为AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=8+15=23.

素养探究全练

15.解析　(1)证明:∵AD∥BC,∴∠ECF=∠EDA.

∵E为CD的中点,∴CE=DE,

在△FEC与△AED中,

∴△FEC≌△AED,∴CF=AD.

(2)当BC=6时,点B在线段AF的垂直平分线上.

理由:∵BC=6,AD=2,AB=8,

∴AB=BC+AD,

又∵CF=AD,BC+CF=BF,∴AB=BF,

∴点B在线段AF的垂直平分线上.

16.解析　(1)如图,过A作AE⊥BC于E,

∵D是BC边的中点,∴BD=DC,

∴S△ABD∶S△ACD=∶=1∶1.

(2)如图,过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,

∵AD为∠BAC的平分线,∴DE=DF,

∵AB=m,AC=n,

∴S△ABD∶S△ACD=∶=m∶n=.

(3)∵AD=DE,∴由(1)知S△ABD∶S△EBD=1∶1,

∵S△BDE=6,∴S△ABD=6,

∵AC=2,AB=4,AD平分∠CAB,

∴由(2)知S△ABD∶S△ACD=AB∶AC=4∶2=2∶1,

∴S△ACD=3,∴S△ABC=S△ACD+S△ABD=3+6=9.