初中数学华师大版九年级上册23.4 中位线导学案

23.4 中位线

学习目标：

1．理解三角形中位线的概念与性质．（重点）

2．能够利用三角形中位线解决实际问题．（难点）

                        自主学习

一、新知预习

如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出他需要篱笆的长度吗？

合作探究

一、探究过程

探究点1：三角形的中位线及其性质

【典例精析】

例1  如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若DE=1.5，则BC的长是（　　）

A．3        B．4        C．2       D．1

                   图1                         图2

【归纳总结】我们把连接三角形两边_____的线段叫做三角形的中位线，并且有：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的_____．

【针对训练】1.如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（　　）        

A.8       B.10       C.12         D.14

【典例精析】

例2 如图3，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为(　　)

A．80°   B．90°    C．100°     D．110°

  图3                              图4

【针对训练】

2.如图4，△ABC中，AB=AC， AD平分∠BAC， DE∥AC交AB于E， 则S△EBD∶S△ABC=（　　） 

A.1∶2    B.1∶4    C.1∶3     D.2∶3

【归纳总结】三角形中位线容易和其他知识联系在一起，如例2中中位线与平行线结合求角度问题；针对训练中中位线与相似结合，由中位线知相似比进而求面积比.中位线还可以结合更多知识一起考察，比如结合角平分线等等.

探究点2：三角形的重心

【探究活动】   如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G.

求证：.

【探究】如果在图中，取AC的中点F，假设BF与AD交于G′，那么我们同理有，所以有，即两图中的点G与G′是重合的.于是，我们有以下结论：　

【归纳总结】三角形三条边上的_____交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的_____.

【针对训练】

3.如图，△ABC中，D是△ABC的重心，连接AD并延长，交BC于点E．若AD=8，则DE=（　　）

A．3     B．3.5       C．4     D.4.5

二、课堂小结

当堂检测

1.如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若AD＝3，EF=1,则AB的长为(　 　)　　　　　　　　　　

A.2            B．4            C．8              D．12

               第1题图                         第2题图

2.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（　　）

A．点D           B．点E          C．点F            D．点G

3.如果△ABC的两边长分别为3和5，那么连接△ABC三边中点D、E、F所得的△DEF的周长可能是（　　）       

A.3               B.4              C.5               D.6

4.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E .求证：四边形DGFE是平行四边形．

   ​  

参考答案

自主学习

一、新知预习

解：∵点E，F分别是边AB，AC的中点，∴.∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC.∴∠AEF=∠B,.∵EF=5米，∴BC=2EF=10米.∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴BE=CF=BC=5米.∴篱笆的长=BE+BC+CF+EF=5+10+5+5=25(米)．

合作探究

一、探究过程

【典例精析】

例1  A

【归纳总结】中点   一半

【针对训练】   1. C    

【典例精析】

例2   A

【针对训练】   2.B

【探究活动】

证明: 如图，连接ED.∵　D、E分别是边BC、AB的中点.

∴　DE∥AC，（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）.

∴△DEG∽△ACG.∴　.

∴　.

【归纳总结】中线  

【针对训练】  3.C  

二、课堂小结     

中位线     一半     中线

当堂检测 

1.C   2.A   3.D  

4.证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC，且DE=BC，同理，GF∥BC，且GF=BC，∴DE∥GF.又∵DE=GF，∴四边形DGFE是平行四边形．