2023届湖南省株洲市高三教学质量统一检测（一）数学试题

这是一份2023届湖南省株洲市高三教学质量统一检测（一）数学试题，共12页。试卷主要包含了 选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


株洲市 2023 届高三年级教学质量统一检测(一)
数学试题答案及评分标准
本试卷分第 Ⅰ 卷(选择题)和第 Ⅱ 卷(非选择题) 两部分．
满分 150 分 ，考试时间 120 分钟
第 Ⅰ卷
一、 选择题 (本题共 8 小题， 每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求 的.)
二、 选择题 (本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得5 分， 有选错的得0 分，部分选对的得2 分.)
第Ⅱ卷
三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13 、2 14、5 (大于等于 5 的正整数均可) 15 、1 16 、
四、解答题(本题共 6 小题， 共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17 ． (本小题满分10 分)
【解】 (Ⅰ) 在△ABD 中， 由勾股定理得BD = AB2 + AD2 = 2 ， ………………………1分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
C
D
C
B
C
C
题号
9
10
11
12
答案
AC
AD
ACD
ABC
AD 2 AB
sin三ABD = = , cs三ABD = = ，
BD 7 BD 7
cs三DBC = cs (60 − 三ABD) = cs60 cs三ABD+ sin60 sin三ABD
= + = ；
1 21 3 2 7 3 21
2 7 2 7 14
…………………………3分
…………………………5 分
(Ⅱ) (法一) 因为三DCB = 90，所以BC = BD . cs三DBC = 3 ，
在 ABC 中， 由余弦定理得：AC = AB2 + BC2 − 2AB . BCcs三ABC = . …………………10 分
(法二)依题意 三DAB = 三DCB = 90知， A、B、C、D 四点共圆， 且直径2R=BD = 2 7 ，
sin 三ADC sin120 2
在 ADC ，由正弦定理 AC = AC = 2R = 2 ，所以AC = 2 = . ………10 分
18 ． (本小题满分12 分)
【解】设“甲没有获得门票”为事件M0 ，“甲获得开幕式门票”为事件M1 ，“甲获得赛事门票”为事件M2 ，
“乙获得i 张赛事门票”为事件Ni (i = 0,1,2)
1 1 1 3
(Ⅰ) P(M0 ) = (1 − ) . (1 − ) . = ， ………………………2 分
5 4 2 10
1 1 1
P(N0 ) = . = ………………………4 分
2 2 4
“甲乙都没有获得门票”为事件M0 N0 ，则P(M0N0 ) = P(M0 )P(N0 ) = ………………………6 分
1 4 1 2 1
(Ⅱ) 依题意P(M1 ) = + . = ， P(M2 ) = ， ………………………7 分
5 5 4 5 2
1 1 1 1 1 1 1 1
P(N1 ) = . + . = ， P(N2 ) = . = ………………………8 分
2 2 2 2 2 2 2 4
“乙获得门票数比甲多”为事件M0N1 + M0N2 + M1N2 + M2N2 ，所以
P(M0N1 + M0N2 + M1N2 + M2N2)=P(M0N1)+ P(M0N2)+ P(M1N2)+ P(M2N2)
3 1 3 1 2 1 1 1 9
= 10 . 2 + 10 . 4 + 5 . 4 + 2 . 4 = 20 ………………………12 分
19. (本小题满分12 分)
【解】 (Ⅰ) 连接DO ，因为DA = DC ， O 为AC 的中点，所以DO ⊥ AC ； ………………1 分
设菱形ABCD的边长为 2，又因为 三ABC = 900 ，所以AC = 2 ，连接BO，则 BO = ，
又因为 AD = DC = 2，AC = 2 ，所以AD2 + DC2 = AC2 ，所以AD ⊥ DC ，所以DO = ，
又因为BD = 2，所以DO2 + BO2 = DB2 ，所以 DO ⊥ BO ； ……………………4 分
又 AC n BO = O ，所以DO ⊥ 平面ABC ，所以点O 是点D在平面ABC 上的射影； ……………6 分
(Ⅱ) 方法一(等体积法)设点 A到平面BCD 的距离为h ，设菱形 ABCD 的边长为 2，
则 BCD 的面积为 ，所以 VA-BCD = h = h ；
ABC 的面积为 2，由(Ⅰ)知 DO ⊥ 平面ABC ，DO =
所以 VD-ABC = 2 = h ，所以 h = ，
………………………8 分
………………………10 分
……………………8 分
AD ， BD BC
|(m . CD = 0
D
l|− 2y + = 0 ly = z
即〈 一〈 ，
|( − 2y = 0 (x = y
y
x C
A
B
O
设直线AD与平面BCD所成角为 θ ，
2 6
h 3 6 ，所以
则 csθ = . ………………………12 分
sinθ = = =
AD 2 3
方法二(向量法)由(Ⅰ)知 DO T 平面ABC ，以 O 为原点， OC,OB,OD所在的直线为x,y,z 轴建立空 间直角坐标系(如图)，
设菱形ABCD的边长为 2，则
所
A(− 2,0,0), B(0, 2,0),C( 2,0,0), D(0,0，2)；
= ( 2,0 2), = (0, − 2, 2), = ( 2, − 2,0)
z
〈 ，
l|m . BD = 0
设平面BCD的法向量为 m = (x, y, z)，则
令x = y = z = 1 ，则 m = (1,1,1) ， …………………10 分
设直线AD与平面BCD 所成角为 θ ，
2 +
…………………12 分
人 2 3 3
所以sinθ = cs AD, m = = ，所以 csθ = .
(说明：学生在其它位置建系的请酌情给分)
20. (本小题满分12 分)
………………………1 分
【解】 (Ⅰ) 2bn = an +1 ，：bn = lg2 (an +1) ，b1 = lg2 (3 +1) = 2 ，
由已知可得an+1 = aEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),n) + 2an ，：an+1 +1 = aEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),n) + 2an +1 = (an +1)2 ，
：lg2 (an+1 +1) = 2 lg2 (an +1) ，： = = 2 ，
所以数列恳bn } 是以2 为首项，2 为公比的等比数列；
………………………2 分
………………………4 分
………………………5 分
(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得bn = 2n ，所以 cn = +1 = +1，设dn = ，数列恳dn } 的前n 项和为Sn ，
则Sn = + + + + + ①，
S = + + + + + ②，
1 1 2 3 n−1 n
2 n 22 23 24 2n 2n+1
………………………6 分
………………………7 分
|ly = 4x
①− ②得Sn = + + + + + − = − = 1 − ，…………………9 分
所以Sn = 2 − ，所以 Tn = Sn + n = n + 2− < 100(n= N* )，
当n = 1 时， 2n < n + 2 ，
当n = 2 时， 2n = n + 2 ，
当n > 3 时， 2n = (1 +1)n > CEQ \* jc3 \* hps10 \\al(\s\up 3(0),n) + CEQ \* jc3 \* hps10 \\al(\s\up 3(1),n) + CEQ \* jc3 \* hps10 \\al(\s\up 3(n),n) = n + 2 ，即 0 < < 1 ，
所以n+1 < n+ 2 − < n+ 2 ，所以n+ 2 三 100 ，n 三 98 ，
n+ 2
2n
所以满足Tn < 100 的最大整数n 为98 .
21. (本小题满分12 分)
【解】由已知得曲线N 的方程为y2 = 4x
(Ⅰ) 不妨设A1 为原点，则A1A2 的方程为x = y ，
………………………12 分
…………………2 分
联立〈 2 ，解得 A2 (12, 4 ) ，于是A3 (12, −4 )
(|x = y
所以编A1A2 A3 的面积为S编A1A2 A3 = 根12 根 8 = 48 . …………………4 分
(Ⅱ) 设Ai (xi , yi )(i = 1,2,3) ，则有xi = ，不妨设直线A1A2 ，A1A3 与曲线M 相切， 直线A1A2 的方程为y − y1 = (x − x1 ) ，化简为4x − (y1 + y2 )y + y1y2 = 0 ，
联立〈( x2 = 4y 得y1 + y2 x2 − 4x − y1y2 = 0 ， …………………6 分
l4x − (y1 + y2 )y + y1y2 = 0 4
编 = 16 + (y1 + y2 )y1y2 = 0 ① 同理16 + (y1 + y3 )y1y3 = 0 ②， …………………8 分
由①②得： (y1 + y2 + y3 )(y2 − y3 ) = 0 ，因为y2 才 y3 ，所以 y1 + y2 + y3 = 0 ， …………………9 分
直线A2 A3 的方程为4x − (y2 + y3 )y + y2y3 = 0 ，
联立〈( x2 = 4y 得 y2 + y3 x2 − 4x − y2y3 = 0 ， ………………10 分
l4x − (y2 + y3 )y + y2y3 = 0 4
编 = 16 + (y2 + y3 )y2y3 = 16 − y1y2y3 = 16 + (y1 + y2 )y1y2 = 0
所以直线A2 A3 也与曲线M 相切. …………………12 分
22. (本小题满分12 分)
【解】(Ⅰ) f(x) = aex − x ，
由f (x) = 0得：
x
a = ex ，
令g(x) = ，则直线y = a与曲线y = g(x)有两个不同交点， g(x) = x ，所以 g(x) 在(−,1)上递增，在 (1, +)上递减；
且当x > 1时， 0 < g(x) < ，所以 0 < a < ，同时0 < x1 <1< x2 ，
…………………1分
…………………2 分
…………………4 分
依题意f (x1 ) = aex1 − 1 x12 − 3 = 0，又因为aex1 − x1 = 0，所以 1 x12 − x1 + 3 = 0 ，
2 8 2 8
解得x1 = 或x1 = (舍去) ，所以a = = …………………6 分
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 可知：aex1 = x1 ，aex2 = x2 ，所以 ex2 − x1 = …………………7 分
令t = (t > 2)，则 x2 = tx1 ，ex2 −x1 = e(t−1)x1 = t ，则 x1 = …………………8 分
令h(t) = (t > 2)，则 h(t) = ，
令 Q(t) = 1 − − ln t(t > 2)，则 Q(t) = 0
所以 Q(t )在[2, + )上单调递减， 所以 Q(t ) Q(2) = − ln 2< 0 ， …………………10 分
所以h(t )在[2, + )上单调递减， 所以h(t ) h(2) = ln 2 ，故 0 x1 ln 2
a = ，g(x) = 在(0,ln 2]上单调递增，所以0< a . …………………12 分