人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质复习练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质复习练习题，共11页。试卷主要包含了已知，，则，之间的大小关系是，设，，下列不等式中一定成立的是，设且，，设，是正整数， ，，，，，设，令等内容，欢迎下载使用。
2.1等式性质与不等式性质一．选择题（共3小题）1．已知，，则，之间的大小关系是　　A． B． C． D．无法比较2．设，，下列不等式中一定成立的是　　A． B． C． D．3．已知两两不相等的，，，，，，同时满足①，，；②；③，以下哪个选项恒成立　　A． B． C． D．二．填空题（共3小题）4．设，，，，则，，的大小关系是　　．5．已知，，，，，若，，能作为三角形的三边长，则正实数的范围是　 　．6．设，，是互不相等的正数，则在四个不等式：（1）；（2）；（3）；（4）其中恒成立的有　　（把你认为正确的答案的序号都填上）     三．解答题（共4小题）7．设且，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求证：在数轴上，介于与之间，且距较远；（Ⅲ）在数轴上，与之间的距离是否可能为整数？若有，则求出这个整数；若没有，说明理由．8．设，是正整数， ，．（1）证明：；（2）比较与的大小，并给出证明．  9．，，．（1）比较与的大小；（2）解关于的不等式：．      10．设，令．（1）证明介于、之间；（2）求、中哪一个更接近于；（3）你能设计一个比更接近于的一个吗？并说明理由．
一．选择题（共3小题）1．已知，，则，之间的大小关系是　　A． B． C． D．无法比较【分析】可设，则可得出，，从而得出，，然后即可得出，的大小关系．【解答】解：设，则，，，，即．故选：．【点评】本题考查了通过构造函数解决问题的方法，不等式的性质，考查了计算能力，属于难题．2．设，，下列不等式中一定成立的是　　A． B． C． D．【分析】利用不等式的基本性质即可判断出．【解答】解：：将不等式转化为恒成立，对．，错：将不等式转化为不一定大于等于0，错．：如果想要用基本不等式，需要满足，错．故选：．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．3．已知两两不相等的，，，，，，同时满足①，，；②；③，以下哪个选项恒成立　　A． B． C． D．【分析】设，，，根据题意，则有，可得，通过求解，可得，可得正确，错误；利用作差法可得，而上面已证，因无法知道的正负，可得该式子的正负无法恒定，即无法判断，即可得解．【解答】解：设，，，，根据题意，应该有，且，则有，则，因为，所以，所以项正确，错误．，而上面已证，因为不知道的正负，所以该式子的正负无法恒定．故选：．【点评】本题主要考查不等关系与不等式的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．二．填空题（共3小题）4．设，，，，则，，的大小关系是　故答案　．【分析】因为，，，，所以利用作差比较得，，所以【解答】解：因为，，，，所以，，则，所以，即，且，所以，即，故，，大小关系为，故答案【点评】考查作差比较法和不等式比较大小的性质，题目比较基础．（当然在真正应试的时候，也可以直接取特殊值代入也可以选出正确答案．5．已知，，，，，若，，能作为三角形的三边长，则正实数的范围是　　．【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边即可得出．【解答】解：，，，，，．，，能作为三角形的三边长，且，即，．由，可得左边，．由，，，．综上可得：．故答案为：．【点评】本题考查了三角形任意两边之和大于第三边、不等式的解法、分母有理化，考查了推理能力和计算能力，属于难题．6．设，，是互不相等的正数，则在四个不等式：（1）；（2）；（3）；（4）其中恒成立的有　（1）（2）（4）　（把你认为正确的答案的序号都填上）【分析】本题主要考查不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全题干，必须结合选择支，才能得出正确的结论．可运用排除法．【解答】解：（1），故（1）恒成立（2）由于由于函数在，单调递减，在，单调递增，当时，，（a）即，，当，，（a）即，当，，故（2）恒成立；（3）若，则该不等式不成立，故（3）不恒成立；（4）由于，．故（4）恒成立．故答案为 （1）（2）（4）．【点评】本题主要考查了不等式比较大小，基本不等式的应用放缩法证明不等式等．要灵活运用公式，牢记公式成立的条件．三．解答题（共4小题）7．设且，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求证：在数轴上，介于与之间，且距较远；（Ⅲ）在数轴上，与之间的距离是否可能为整数？若有，则求出这个整数；若没有，说明理由．【分析】用反证法即可证明；利用已知只要证明，就可以证明在数轴上，介于与之间．当，只要证明；当，只要证明即可．使用反证法：假设存在整数为与之间的距离，不妨设，，化为，利用求根公式解得，只要证明不存在整数满足即可．【解答】证明：（Ⅰ）假设，则，化为，解得，这与且相矛盾，假设是错误的，因此．（Ⅱ）且，．，或，或．在数轴上，介于与之间．若，则，，，，．．距较远；当时，同理可证明．（Ⅲ）假设存在整数为与之间的距离，不妨设，则，，化为，解得，，且任意两个整数的平方差不可能为4，只有时满足，，解得或．这与矛盾．在数轴上，与之间的距离不可能为整数．【点评】本题考查了反证法、一元二次不等式的解法、与实数（有理数）有关的问题，属于难题．8．设，是正整数， ，．（1）证明：；（2）比较与的大小，并给出证明．【分析】（1），，又，作差即可比较出大小关系．（2）时，；时，由（1）可得：．时，，．令，，且，．代入化简即可得出大小关系．【解答】（1）证明：，，又，则，．（2）解：时，；时，由（1）可得：．时，，．令，，且，．于是，，，．综上可得：时，；时，．时，．【点评】本题考查了作差法、乘法公式、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．，，．（1）比较与的大小；（2）解关于的不等式：．【分析】（1）2个函数作差可得：，即可得解．（2）由得，利用一元二次不等式的解法分类讨论即可得解．【解答】解：（1），．（2）由得，①当时，解集为或，②当时，解集为，③当时，解集为或．【点评】一元二次不等式的核心还是求一元二次方程的根，然后在结合图象判定其区间．要求能熟练掌握，争取基础分不要丢，本题属于中档题．10．设，令．（1）证明介于、之间；（2）求、中哪一个更接近于；（3）你能设计一个比更接近于的一个吗？并说明理由．【分析】（1）中，只要证明即可．（2）用来刻画与的接近程度．（3）由前两题的规律，找出相应满足条件的数．【解答】（1）证明：．介于、之间．（2）解：．比更接近于．（3）解：令，则比更接近于．由（2）知．【点评】本题中，对于大小比较时，主要是作差的方法．第三小问的处理，是在前两问的基础上观察得到的规律．