中考数学二轮复习核心考点专题7二次函数的实际应用含解析答案

专题7�二次函数的实际应用

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．抛物线形拱桥具有取材方便，造型美观的特点，被广泛应用到桥梁建筑中，如图是某公园抛物线形拱桥的截面图．以水面所在直线为轴，为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．点到点的距离（单位：），点到桥拱顶面的竖直距离（单位：）．，近似满足函数关系．通过取点，测量，得到与的几组对应值，如下表：

(1)桥拱顶面离水面的最大高度为___________；

(2)根据上述数据，求出满足的函数关系和水面宽度的长．

2．攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．

(1)某天这种芒果售价为28元/千克．求当天该芒果销售量；

(2)设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？

3．如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．

（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？

（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．

4．卡塔尔世界杯鏖战正酣．足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用吊射战术（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），一般来说，吊战术中足球的轨迹往往是一条抛物线．摩洛哥与葡萄牙比赛进行中，摩洛哥一位球员在离对方球门30米的O处起脚吊射，假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米，已知球门的高度为米，在没有对方球员和门将阻挡的前提下，球是否会进球门？如果葡萄牙的球员C罗站在起脚吊射球员前米处，而C罗跳起后最高能达到米，那么他能否在空中截住这次吊射？

5．在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD=2.6m．求OD的长．

6．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为12m，宽为4m，按照如图所示建立平面直角坐标系，抛物线可以表示为

（1）求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶E到地面BC的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后，高6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过?

（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米?

7．年春节期间，新型冠状病毒肆虐，突如其来的疫情让大多数人不能外出，网络销售成为这个时期最重要的一种销售方式。某乡镇贸易公司因此开设了一家网店，销售当地某种农产品。已知该农产品成本为每千克元，调查发现，每天销售量与销售单价（元）满足如图所示的函数关系（其中）

（1）求与之间的函数关系式并标出自变量的取值范围；

（2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

8．某公司研发了一款成本为元的新型玩具，投放市场进行试销售．按照物价部门规定，销售单价不低于成本且不高于元，调研发现在一段时间内，每天的销售量（个）与销售单价（元）满足一次函数关系如图：

(1)求与之间的函数关系式；

(2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

9．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：

（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；

（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？

（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

10．某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为100元，若每件售价为160元，则平均每个月可售出100件，经调查发现，每件衬衫每降价2元，商场平均每月可多售出10件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，设每件衬衫降价x元．

(1)用含x的代数式表示每月可售出的衬衫件数为______；

(2)若商场每月要盈利7875元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？

11．如图，在足够大的空地上有一段长为的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了木栏．

(1)若，所围成的矩形菜园的面积为，求所利用旧墙的长；

(2)求矩形菜园面积的最大值．

12．某公司的商品进价每件60元，售价每件130元，为了支持“抗新冠肺炎”，每销售一件捐款4元．且未来30天，该商品将开展每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，市场调查发现，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件，y与x满足一次函数数关系，其对应数据如表：

（1）直接写出y与x的函数关系式；

（2）在这30天内，哪一天去掉捐款后的利润是6235元？

（3）设第x天去掉捐款后的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少元？

参考答案：

1．(1)

(2)米

【分析】（1）把，分别代入，待定系数法求解析式，然后化为顶点式即可求解；

（2）令，解方程即可求解．

【详解】（1）解：把，分别代入得

解得：

即抛物线的解析式为：

即

∴桥拱顶面离水面的最大高度为米，

故答案为：

（2）由（1）得

令，即

解得：

∴（米）．

【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得二次函数解析式是解题的关键．

2．(1)芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克；

(2)，这天芒果的售价为20元．

【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的函数关系式，然后将代入求出相应的y的值即可；

（2）根据题意和中的函数解析式，可以写出获利m与售价x之间的函数关系式，然后将代入求出相应的x的值即可，注意x的取值范围．

【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，

，

解得，

即一次函数的解析式为，

当时，，

答：芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克；

（2）解：由题意可得，

当时，，

解得，

∵，

∴，

答：获利m与售价x之间的函数关系式是，如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为20元．

【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，列出相应的方程．

3．（1）长15米，宽10米；（2）不能，理由见解析

【分析】（1）设养鸡场的宽为xcm，根据题意列出方程求解即可；

（2）根据题意列出一元二次方程，根据根的情况判断即可；

【详解】解：（1）设养鸡场的宽为xcm，根据题意得：

，

解得：，，

当时，，

当时，（舍去），

∴养鸡场的长15米，宽10米；

（2）设养鸡场的宽为xcm，根据题意得：

，

整理得：，

∴，

∵方程没有实数根，

∴不能否达到200m2．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．

4．球会进球门；C罗能在空中截住这次吊射

【分析】设抛物线解析式为，再根据题意将抛物线的解析式求出来，分别根据题意将和代入进行求解判断．

【详解】解：设抛物线解析式为，

∵抛物线过点，

∴，

∴解析式为，

由题意得，抛物线过顶点，

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为，

根据题意得，将代入得，

∴球回进球门，

将代入得，

∵C罗跳起后最高能达到米，

∴C罗能在空中截住这次吊射．

【点睛】本题考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．

5．（1）；（2）OD=1m．

【分析】（1）设（），将A（0，3）代入求解即可得出答案；

（2）把代入（1）所求得的解析式中，解方程求出，即可得出OD的长．

【详解】（1）设（），

把A（0，3）代入得，，

解得，

∴抛物线的函数表达式为；

（2）①把代入，

化简得，

解得（舍去），，

∴．

【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及能将实际问题转化为二次函数问题求解．

6．（1）抛物线的表达式为，拱顶E到地面BC的距离为10m；（2）这辆货车能安全通过；（3）两排灯的水平距离最小是米．

【分析】（1）先确定D点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，根据解析式可得出拱顶E到地面BC的距离；

（2）由于抛物线的对称轴为y轴，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为（4，0）或（-4，0），然后计算自变量为-4或4的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断．

（3）将y=8代入函数求得x，再结合函数的对称性即可求得最小距离．

【详解】解：（1）∵矩形的长为12m，宽为4m，

∴,

代入得，解得，

∴抛物线的表达式为，拱顶E到地面BC的距离为10m；

（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OC的交点为，与OB的交点为

将或代入到得，

所以这辆货车能安全通过．

（3）将y=8代入得，解得，

所以两排灯的水平距离最小是米．

【点睛】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．

7．（1）（2）单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元

【分析】（1）由图象知，当10＜x≤14时，y＝640；当14＜x≤30时，设y＝kx+b，将（14，640），（30，320）解方程组即可得到结论；

（2）求得函数解析式为W＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，根据二次函数的性质即可得到结论．

【详解】解：（1）由图象知，当时，

当时，设

将，代入

得，

解得

与之间的函数关系式为

综上所述，

（2）设每天的销售利润为W元

当10＜x≤14时，W＝640×（x﹣10）＝640x﹣6400，

∵k＝640＞0，

∴W随着x的增大而增大，

∴当x＝14时，W＝4×640＝2560元；

当14＜x≤30时，W＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，

∵a＝﹣20＜0，开口向下

∴W有最大值

∵14＜x≤30，

∴当x＝28时，W最大＝6480

当x＝28时，W最大＝6480（元）

答：当销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元

【点睛】本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法．

8．(1)

(2)销售单价为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元

【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式；

（2）设每天获得的利润为元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案．

【详解】（1）解：设，

将点代入得：

解得：

∴与的函数关系式为：；

（2）设每天获得的利润为元，由题意得

，

∵按照物价部门规定，销售单价不低于成本且不高于85元，

∴

∵，抛物线开口向下，

∴当时，随着的增大而增大，

∴有最大值，当时，，

∴销售单价为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质．

9．（1）；（2）60元/千克或80元/千克；（3）70元/千克；800元

【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；

（2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；

（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．

【详解】解：（1）设y与x之间的函数表达式为（），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：

，

解得：，

∴y与x之间的函数表达式为；

（2）由题意得：，

整理得，

解得，

答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；

（3）设当天的销售利润为w元，则：

，

∵﹣2＜0，

∴当时，w最大值=800．

答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．

10．(1)（100+5x）件

(2)每件衬衫应降价25元

【分析】（1）根据题意可以用含x的代数式表示每天可售出的衬衫；

（2）以利润为等量关系列出方程解答即可．

【详解】（1）每件衬衫每降价2元，商场平均每月可多售出10件，

∴每件衬衫降价x元，每月可售出衬衫件数为（100+5x）件．

故答案为：（100+5x）件；

（2）每件衬衫降价x元，由题意得，

（160﹣x﹣100）（100+5x）＝7875

解得x1＝25，x2＝15

∵要尽快减少库存

∴x＝25

答：每件衬衫应降价25元．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

11．(1)

(2)

【分析】（1）设 ，则 ，由0求解．

（2）设A ，矩形菜园的面积为，通过配方法求解．

【详解】（1）解：设 ，则 ．

根据题意得，

解得．

当时，，不合题意，舍去；

当时，．

答：的长为．

（2）解：设 ，矩形菜园的面积为S ，

则．，

∵，

∴图像开口向下，当时，随x的增大而增大，

当时，有最大值，为．

【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出方程和函数关系式是解题的关键．

12．（1）y＝5x+30；（2）第23天去掉捐款后的利润是6235元；（3）W＝﹣5（x﹣30）2+6480，第30天的利润最大，最大利润是6480元．

【分析】（1）设函数解析式为y＝kx+b（k≠0），从表中取两个点（1，35），（3，45），把两点坐标代入函数解析式中，求得k、b即可解决；

（2）设第x天去掉捐款后的利润为6235元，根据等量关系：一件的利润×销量=总利润，列出方程，解方程即可；

（3）根据：总利润=一件的利润×销量，即可得出W与x之间的二次函数关系式，然后求出此二次函数最大值即可．

【详解】（1）设y与x满足的一次函数数关系式为y＝kx+b（k≠0），

将（1，35），（3，45）分别代入y＝kx+b中，得：，

解得：，

∴y与x的函数关系式为y＝5x+30；

（2）设第x天去掉捐款后的利润为6235元

根据题意得：（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）＝6235，

整理得：x2﹣60x+851＝0，

解得：x＝23或x＝37（舍），

∴在这30天内，第23天去掉捐款后的利润是6235元；

（3）由题意得：W＝（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）＝﹣5x2+300x+1980

即W与x之间的函数关系式为W＝﹣5x2+300x+1980

∵W＝﹣5x2+300x+1980＝﹣5（x﹣30）2+6480，且a＝﹣5＜0，

∴当x＝30时，W有最大值，最大值为6480元．

∴W与x之间的函数关系式是W＝﹣5x2+300x+1980，第30天的利润最大，最大利润是6480元．

【点睛】本题是函数与方程的综合性问题，考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，求二次函数的最值等知识，本题首先要正确理解题意，熟悉售价、进价、利润三者间的关系，其次要求有较好的运算能力．