河南省信阳市息县2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

2022-2023学年河南省信阳市息县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式中一定是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一直角三角形的两边分别是和，则第三边是(    )

A. 或 B.  C.  D. 或

4.  如图，在▱中，一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，在中，，点，分别为，的中点，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  依据所标数据，下列一定为平行四边形的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  关于菱形的性质，以下说法不正确的是(    )

A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 是中心对称图形

8.  如图在中，，，，是的平分线，，垂足为，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈一丈尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____．

12.  计算： ______ ．

13.  如图，在矩形中，点，分别在，上，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是______ 写出一个即可．

14.  如图，在平面直角坐标系中，菱形对角线的交点坐标是，点的坐标是，且，则点的坐标是______ ．

15.  沐沐用七巧板拼了一个对角线长为的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形如图所示，则长方形的对角线长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
化简：
；；；；
；；；．

17.  本小题分
计算下列各题：
；
．

18.  本小题分
如图是一个滑梯的示意图，若将滑道水平放置，则刚好与一样长．已知滑梯的高度，，求滑道的长．

19.  本小题分
如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图保留作图痕迹．
在图中作的角平分线；
在图中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等．
 

20.  本小题分
如图，在正方形中，，，，图中有几个直角三角形，说出你的理由．

21.  本小题分
观察下列各式：

通过计算判断以上三个式子是否成立？填“成立”或“不成立”
类比上述式子，请再写出一个这样的式子．
这些式子蕴藏着某种规律，请用字母表示这个具有一般性的规律．
请你证明这个规律的正确性．

22.  本小题分
如图，平行四边形纸片中，，，过点作，垂足为，沿剪下，将它平移至的位置，拼成四边形，则四边形的形状为_____

   平行四边形菱形矩形   正方形

如图，在中的四边形纸片中，在上取一点，使，剪下，剪下，将它平移至的位置，拼成四边形求证：四边形是菱形．

 

23.  本小题分
在中，，为内一点，连接，，延长到点，使得．
如图，延长到点，使得，连接，若，求证：；
连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

答案和解析

1.【答案】 

解析：解：、是最简二次根式，符合题意；
B、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

2.【答案】 

解析：解：、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误．
故选：．
根据二次根式的运算法则进行计算即可．
本题考查的是二次根式的运算法则，熟练掌握是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

解析：解：第三边为，
当为斜边时，
即，解得：，
当为斜边时，
即，
解得：，
即为或，
故选：．
设第三边为，分类讨论当为斜边时和为斜边时，利用勾股定理列出等式即可解题．
本题考查了勾股定理的实际应用，中等难度，分类讨论是解题关键．
 

4.【答案】 

解析：解：四边形是平行四边形，
，
故选：．
根据平行四边形的性质即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边相等的性质是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

解析：解：点，分别为，的中点，，
是的中位线，
，
故选：．
由题意可得是的中位线，再根据三角形中位线的性质即可求出的长度．
本题考查了三角形中位线，熟练掌握三角形中位线的定义和性质是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

解析：解：、，故A选项不符合条件；
B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故B选项不符合题意；
C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；
D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定定理做出判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
 

7.【答案】 

解析：解：菱形的四条边相等，正确，不符合题意；
B.菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意；
C.菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意；
D.菱形是轴对称图形，正确，不符合题意；
故选：．
根据菱形的性质逐一推理分析即可选出正确答案．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的基本性质是关键．
 

8.【答案】 

解析：解：，，，
，，
，
是直角三角形，
，
是的平分线，，，
，
的面积的面积的面积，
，
，
，
故选：．
根据勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，从而可得，然后利用角平分线的性质可得，再根据的面积的面积的面积，可得，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及角平分线的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

解析：解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
平分，四边形是正方形，
，，
，
，
故选：．
根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到的度数，从而可以求得的度数．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是求出的度数．
 

10.【答案】 

解析：解：如图，设折断处离地面的高度为尺，则，，
在中，，即．
故选：．
根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为尺，再利用勾股定理列出方程即可．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
 

11.【答案】 

解析：解：在实数范围内有意义，
，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件，可得：，据此求出实数的取值范围即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
 

12.【答案】 

解析：解：


，
故答案为：．
根据二次根式的乘法运算法则计算即可．
本题考查二次根式的乘法运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

13.【答案】 

解析：解：这个条件可以是，
理由：四边形是矩形，
，
即，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
故答案为：．
根据矩形的性质得到，即，推出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

解析：解：四边形是菱形，
，，
点的坐标是，
，
在直角三角形中，，
，
点的坐标，
点与点关于原点对称，
点的坐标．
故答案为：．
根据菱形性质得的长，因而得点的坐标，根据对称性质可得答案．
此题考查的是菱形的性质、坐标与图形的性质，掌握菱形的对称性质是解决此题关键．
 

15.【答案】 

解析：解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为，
长方形的宽是正方形对角线的一半为，
则长方形的对角线长．
故答案为：．
根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为，长方形的宽是正方形对角线的一半为，然后利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了正方形的性质，七巧板，矩形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
 

16.【答案】解：； 
； 
；   
；
；     
；   
；   
． 

解析：根据算术平方根化简，即可解答．
本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
 

17.【答案】解：原式
；
原式

． 

解析：先化简二次根式，再合并二次根式即可；
先化简，再合并，最后计算除法．
此题考查了二次根式的混合运算，关键是熟练化简二次根式，能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
 

18.【答案】解：设的长为米，
，
米，
米，
米，
在中，
，
即：，
解得：，
滑道的长为米． 

解析：设的长为米，表示出米，利用在中，列出方程求解即可．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
 

19.【答案】解：如图中，射线即为所求；
如图中，直线即为所求．
 

解析：连接，取的中点，作射线即可；
利用是相结合的射线画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

20.【答案】解：图中有个直角三角形，理由如下：
四边形是正方形，
，
，，都是直角三角形，
，，
，
，，
，
，，
，
，
也是直角三角形，
图中有个直角三角形． 

解析：共有四个，由正方形的性质可知，，都是直角三角形，再根据勾股定理的逆定理可证明也是直角三角形，问题得解．
本题考查了正方形的性质以及勾股定理和其逆定理的运用，熟记正方形的性质是解题关键．
 

21.【答案】解：，
，
，
故式子成立；
答案不唯一；
规律：且是正整数；



． 

解析：对式子进行运算，再判断即可；
根据中的式子的形式进行求解即可；
分析所给的式子，再总结出规律即可；
对中的等式的左边进行运算即可证明．
本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

22.【答案】解：
证明：，，．
又在图中，，
在中，，．
，
又，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形． 

解析：

解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
故答案为；
见答案．  

23.【答案】证明：在和中，

≌，
，
，
，
；
解：由题意补全图形如下：

．
证明：延长到，使，连接，，
，，
，
由可知，，
，
，
，
，
，
，
又，
． 

解析：证明≌，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论；
由题意画出图形，延长到，使，连接，，由可知，，证出，得出，由直角三角形的性质可得出结论．