北师大初中数学九年级上册期中测试卷（较易）（含答案解析）

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北师大初中数学九年级上册期中测试卷考试范围：第一  三章 考试时间 ：120分钟  总分 ：120分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是
(    )A. 测量对角线是否相互平分 B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量对角线是否相等 D. 测量其中三个角是否都为直角2.如图，以正方形的顶点为圆心，以的长为半径画弧，交对角线于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于图中的点处，连接并延长，与的延长线交于点，则(    )

 A.  B.  C.  D. 3.小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是(    )A.  B.  C.  D. 4.在一个不透明的口袋里装着只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复以上步骤，下表为实验的一组统计数据：摸球的次数摸到白球的次数摸到白球的频率请估算口袋中白球的个数约为(    )A.  B.  C.  D. 5.关于的一元二次方程的常数项是，则的值(    )A.  B. 或 C.  D. 6.关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是
(    )A.  B. 且 C. 且 D. 7.某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为(    )

 A.  B.  C.  D. 8.已知菱形的对角线、的长度分别为和，则菱形的周长是(    )A.  B.  C.  D. 9.如图，四边形是菱形，，，于，则等于(    )

 A.  B.  C.  D. 10.方程的根为
(    )A.  B.  C.  D. 11.若关于的一元二次方程的两个根为，，则这个方程可能是
(    )A.  B.  C.  D. 12.如图，矩形纸片中，，现将其沿对折，使得点落在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为(    )
 A.
B.
C.
D. 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.如图，已知平行四边形的对角线、交于点，，，要使四边形是矩形，则平行四边形还必须添加的条件是________填一个即可
 14.已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．15.一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球．请你估计这个口袋中有______个白球．16.如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则 ______
 三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分如图，在矩形中，过点作交的延长线于点求证：．
 18.本小题分
如图，在矩形中，是与的交点，过点的直线分别与、的延长线交于点、当与满足什么条件时，四边形是菱形？请给出证明．
 
 
 19.本小题分
用配方法解方程：．
关于的一元二次方程有两个不相等实数根，求的取值范围．20.本小题分
下面是小聪同学用配方法解方程的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得，
二次项系数化为，得，
配方，得，，
由此可得，
，
整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现错误，并写出正确的解答过程．21.本小题分
一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在附近．
估计摸到红球的概率是______ ；
如果袋中有黑球个，求袋中有几个球；
在的条件下，又放入个黑球，再经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在附近，求的值．22.本小题分
甲、乙两名同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动，各自随机选择种植辣椒、种植茄子、种植西红柿三种中的一种，记种植辣椒为，种植茄子为，种植西红柿为假设这两名同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等记甲同学的选择为，乙同学的选择为．
请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
求甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率．23.本小题分
已知：如图，平行四边形，对角线与相交于点，点为的中点，连接，的延长线交的延长线于点，连接．

求证：；
若，，判断四边形的形状，并证明你的结论．24.本小题分
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
求进馆人次的月平均增长率；
因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．25.本小题分
在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共个．小亮做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：摸球的次数摸到白球的次数摸到白球的频率当的值越来越大时，摸到白球的频率将会接近______；精确到
假如你摸球一次，摸到黑球的概率摸到黑球为______；
请估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本题考查的是矩形的判定定理，牢记矩形的判定方法是解答本题的关键，难度较小．
根据矩形的判定定理有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此逐项判断即可．
【解答】
解：对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B.两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C.对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状；
D.四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故选D．2.【答案】 【解析】【分析】
根据正方形的性质得到，由作图知，，根据三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，角平分线定义，正确的理解题意是解题的关键．
【解答】
解：四边形是正方形，
，
由作图知，，
，
故选D．3.【答案】 【解析】解：列表如下：左中右小亮小莹大刚小亮大刚小莹小莹小亮大刚大刚小亮小莹小莹大刚小亮大刚小莹小亮共有种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的有种，
所以小亮恰好站在中间的概率为．
故选：．
本题考查概率公式，以及用列表法求概率．
先利用列表法展示所有种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占种，然后根据概率公式求解．4.【答案】 【解析】分析
根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在左右，由此可估计摸到白球的概率为，进而可估计口袋中白球的个数．
本题考查了利用频率估计概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确，求出摸到白球的概率是解题关键．
详解
解：根据摸到白球的频率稳定在左右，
所以摸一次，估计摸到白球的概率为，则可估计口袋中白球的个数约为个；
故选C．5.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的一般形式：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
根据常数项为及一元二次方程的定义解答即可．
【解答】
解：由题意，得且，
解得，
故选：．6.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键直接利用一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】
解：关于的方程是一元二次方程，
，，
解得：，且．
故选：．7.【答案】 【解析】解：这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值约是．
故选：．
由图可知，成活频率在上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为．
本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．8.【答案】 【解析】解：设对角线、的交点为，
四边形是菱形，
，，，
，，
，，
，
菱形的周长为：．
故选：．
根据菱形的对角线性质，得出两条对角线的一半为与然后可用勾股定理求出其边长．
此题主要考查了菱形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直平分．9.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
根据菱形的性质得出、的长，在中求出，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于，即可得出的长度．
【解答】
解：四边形是菱形，，，
，，，
，
，
，
，
．
故选D．10.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键因式分解法求解可得．
 【解答】
解：移项，得：，
因式分解，得：，
则或，
解得：，．
故选D．11.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
先计算出，，然后根据根与系数的关系得到满足条件的方程可为．
【解答】
解：，，
，，
以，为根的一元二次方程可为．
故选C．12.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形是正方形是解题的关键．
根据翻折的性质可得，，然后求出四边形是正方形，再根据正方形的性质可得，然后根据，代入数据进行计算即可得解．
【解答】
解：沿对折点落在边上的点处，
，，
又，
四边形是正方形，
，
．
故选D．13.【答案】答案不唯一 【解析】【分析】本题考查矩形及菱形的判定，根据矩形的判定方法即可解答．
【解答】解：添加的条件是．理由：四边形是平行四边形，，四边形是菱形，．，，四边形是矩形．
故答案为答案不唯一14.【答案】且 【解析】解：由关于的方程有两个不相等的实数根，
得且，
解得且．
故答案为且．
由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程的根的判别式是即可进行解答．
本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．15.【答案】 【解析】解：由题意可得，摸到红球的概率为则白球的概率为，
这个口袋中白球的个数：个，
故答案为．
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
本题考查了用样本估计总体，正确理解概率的意义是解题的关键．16.【答案】 【解析】解：四边形是正方形，
，，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
故答案为：．
根据正方形的性质和等边三角形的性质即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．17.【答案】证明：四边形是矩形，
，．
又，
四边形是平行四边形．
．
． 【解析】见答案18.【答案】答：当时，四边形是菱形，
证明：为矩形，
，，，
．
在与中，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形，
时，平行四边形是菱形． 【解析】先证≌，推出，得出四边形是平行四边形，再根据菱形的判定推出即可．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．19.【答案】解：，
即，
两边同时加上，
，
即，
，
解得：，；
有两个不相等实数根，
，且
解得：且． 【解析】根据配方法解一元二次方程即可求解；
根据，以及一元二次方程的定义，解一元一次不等式即可求解．
本题考查了配方法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，掌握解一元二次方程的方法以及一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．20.【答案】解：解题过程不正确，从第步出现错误，
正确解答为：
移项得：，
二次项系数化为得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，． 【解析】观察解方程过程，找出出错的步骤，写出正确的解答即可．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．21.【答案】 【解析】解：经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在附近，
估计摸到红球的频率在，
估计摸到红球的概率是，
故答案为：；
设袋子中有个球，
根据题意，得，
解得，
经检验是分式方程的解，
答：袋中有个球；
根据题意得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
所以．
利用频率估计概率即可得出答案；
设袋子中原有个球，根据题意得，解之即可得出答案；
根据题意得，解之即可得出答案．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．22.【答案】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，分别为、、、，，、、、；
由可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的结果有种，
甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率． 【解析】根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果即可；
由可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点为的中点，
，
在和中，
≌，
，
；
解：四边形是矩形，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，
≌，
，
，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形． 【解析】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质．
只要证明，，即可解决问题；
根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可．24.【答案】解：设进馆人次的月平均增长率是，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：进馆人次的月平均增长率是．
能，理由如下：
人次，，
能够接纳．
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 【解析】设进馆人次的月平均增长率是，根据第一个月及第三个月的进馆人次数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
根据第四个月的进馆人次数第三个月的进馆人次数增长率，可求出第四个月的进馆人次数，再与进行比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25.【答案】   【解析】解：当的值越来越大时，摸到白球的频率将会接近，
故答案为：；
根据频率估计概率可得，摸到白球的概率摸到白球，
摸到黑球的概率摸到黑球，
故答案为：；
黑球个数为：个，
白球个数为：个．
黑球有个，白球有个．
根据次数很大时，频率会趋于稳定可得答案；
利用次数很大时，频率估计概率可得答案；
由黑球个数球的总数得到黑球的概率，从而可得白球的数量．
本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握大量反复实验下频率稳定值即概率是解题的关键．