北师大初中数学九年级上册期中测试卷(困难)(含答案解析)
展开北师大初中数学九年级上册期中测试卷
考试范围:第一 二 三章 考试时间 :120分钟 总分 :120分
第I卷(选择题)
一、选择题(本大题共12小题,共36.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.如图,正方形ABCD中,BE=FC,CF=2FD,AE,BF交于点G,连接AF,给出下列结论:
①AE⊥BF;②AE=BF;③BG=43GE;④S四边形CEGF=S△ABG.
其中正确的个数为
( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,得到正方形ABCD与正方形EFGH.连接EG,BD相交于点O、BD与HC相交于点P.若GO=GP,则S正方形ABCDS正方形EFGH的值是( )
A. 1+ 2
B. 2+ 2
C. 5- 2
D. 154
3.已知方程x2-2023x+1=0的两根分别为x1,x2,则x12-2023x2的值为.( )
A. 1 B. 2023 C. -1 D. -2023
4.x=-5± 52+4×3×12×3是下列哪个一元二次方程的根( )
A. 3x2+5x+1=0 B. 3x2-5x+1=0 C. 3x2-5x-1=0 D. 3x2+5x-1=0
5.若关于x的方程kx2+4x-1=0有实数根,则k的取值范围是
( )
A. k≥-4 且k≠0 B. k≥-4 C. k>-4且k≠0 D. k>-4
6.一项“过关游戏”规定:若闯第n关需将一颗质地均匀的骰子抛掷n次,如果闯第n关时所抛出的所有点数之和大于34n2,则算闯关成功;否则闯关失败.下列说法中正确的是
( )
A. 过第一关的概率是34 B. 过第三关的概率是1136
C. 过第二关的概率是1112 D. 过第六关是不可能的
7.在一个暗箱里放有m个除颜色外完全相同的球,这m个球中红球只有4个,每次将球充分摇匀后,随机从中摸出一球,记下颜色后放回,通过大量的重复试验后发现,摸到红球的频率为0.4,由此可以推算出m约为( )
A. 7 B. 3 C. 10 D. 6
8.小明抛掷两枚图钉,想知道针尖朝上的概率大概是多少,以下做法可行的是( )
A. 因为图钉是一样的,故只需抛掷一枚图钉计算朝上的概率即可
B. 同时向上抛掷10次,发现6次针尖朝上,则针尖朝上的概率是35
C. 同时向上抛掷2000次,多次计算针尖朝上的频率,再根据频率估计概率
D. 用树状图或表格求概率
9.对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0,下列说法:
①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0;
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根,则方程ax2+bx+c=0a≠0必有两个不相等的实根;
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立;
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则b2-4ac=2ax0+b2.
其中正确的有
( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10.如图,在正方形ABCD中,O是对角线AC与BD的交点,M是BC边上的动点(点M不与B、C重合),过点C作CN垂直DM交AB于点N,连结OM、ON、MN.下列四个结论:
①S四边形ABCD=4S四边形ONBM;
②BM2+CM2=2ON2;
③△CON≌△DOM;
④若AB=2,则S△OMN的最小值是1.
其中正确结论是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④
11.把一张宽为1cm的矩形纸片ABCD折叠成如图所示的图案,顶点A,D互相重合,中间空白部分是以E为直角顶点,腰长为2cm的等腰直角三角形,则纸片的长AD(单位:cm)为( )
A. 7+3 2 B. 7+4 2 C. 8+3 2 D. 8+4 2
12.如图,在正方形ABCD中,AB=4,E为对角线AC上与点A,C不重合的一个动点,过点E作EF⊥AB于点F,EG⊥BC于点G,连接DE,FG,下列结论:①DE=FG;②DE⊥FG;③∠BFG=∠ADE;④FG的最小值为3,其中正确的结论是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
第II卷(非选择题)
二、填空题(本大题共4小题,共12.0分)
13.如图,四边形OABC是矩形,点A的坐标为(8,0),点C的坐标为(0,4),把矩形OABC沿OB折叠,点C落在点D处,则点D的坐标为______.
14.已知方程x2-2x-5=0的两个根是m和n,则2m+4n-n2的值为______ .
15.α,β为关于x的一元二次方程x2- 10x+2=0的两个根,则代数式2α2+β2+ 10β-3的值为______ .
16.我们去游泳馆游泳,首先必须要换拖鞋,如果大桶里只剩下尺码相同的2双红色拖鞋和1双蓝色拖鞋混放在一起,闭上眼睛随意拿出2只,它们恰好是一双的概率是______ .
三、解答题(本大题共9小题,共72.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题8.0分)
如图所示,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,DE//AC交BC的延长线于点E.求证:DE=12BE.
18.(本小题8.0分)
如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,且OA=OB=OC=OD= 22AB.
(1)求证:四边形ABCD是正方形.
(2)若H是边AB上一点(H与A,B不重合),连接DH,将线段DH绕点H顺时针旋转90∘,得到线段HE,过点E分别作BC及AB延长线的垂线,垂足分别为F,G.设四边形BGEF的面积为S1,以HB,BC为邻边的矩形的面积为S2,且S1=S2.当AB=2时,求AH的长.
19.(本小题8.0分)
某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件可盈利40元.为了扩大销售量,增加盈利,尽快减少库存,商场采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件降价1元,商场平均每天可多售出2件.
(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
(2)该商场平均每天盈利能达到1500元吗?如果能,求出此时应降价多少;如果不能,请说明理由;
(3)该商场平均每天盈利最多多少元?达到最大值时应降价多少元?
20.(本小题8.0分)
如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点D从点C开始沿CA边运动,速度为1cm/s,与此同时,点E从点B开始沿BC边运动,速度为2cm/s,当点E到达点C时,点D同时停止运动,连接AE,设运动时间为t s,△ADE的面积为S.
(1)是否存在某一时刻t,使DE//AB?若存在,请求出此时刻t的值,若不存在,请说明理由.
(2)点D运动至何处时,S=18S△ABC?
21.(本小题8.0分)
小南、小铭和两个陌生人甲、乙同在如图所示的地下车库等电梯,已知两个陌生人到1至4层的任意一层出电梯.
(1)用列表或画树状图求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率;
(2)小南和小铭比赛,规则是:若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯,则小南胜,否则小铭胜.该游戏是否公平?若公平,说明理由;若不公平,请修改游戏规则,使游戏公平.
22.(本小题8.0分)
三张硬纸片上分别写有一个代数式,分别是A=4x2+5x+6,B=-3x2-x-2,C=x2+4x.
(1)A-B+C的值为P.当x=2时,求P的值;
(2)将三张纸片背面向上,打乱顺序后,在背面分别标上①、②、③,摆成如图所示的一个式子,请用树状图或列表法求出能使运算结果为常数的概率.
23.(本小题8.0分)
如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,边AB的垂直平分线交边BC于点E,垂足为点D,取线段BE的中点F,连接DF.求证:AC=DF.(说明:此题的证明过程需要批注理由)
24.(本小题8.0分)
如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD //BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.
(1)求证:四边形BCDE为菱形;
(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.
25.(本小题8.0分)
如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=BC=5cm,点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s速度移动,两点同时出发,连接PQ.
(1)经过多长时间后,△PBQ的面积等于4cm2?
(2)△PBQ的面积能否等于7cm2?试说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查三角形全等的判定和性质、正方形的性质和勾股定理。
利用三角形全等的性质定理,细心证明三角形全等,然后得出全等三角形对应边相等;利用勾股定理求出RtΔBGE三边的关系。
【解答】
解:在ΔABE和ΔBCF中
AB=BC∠ABE=∠BCFBE=FC
∴ΔABE≌ΔBCF(SAS)
∴AE=BF,∠BAE=∠CBF,
∵∠CBF+∠ABF=90°,
∴∠BAE+∠ABF=90°,
∵∠BAE+∠ABF+∠BGA=180°,
∴∠BGA=90°,
∴AE⊥BF,
综上所述,故①②正确;
设FD=x,
∴CF=2FD=2x,
∴AB=CD=3x,
∵BE=FC=2x,
∴在RtΔABE中,
AE2=AB2+BE2=(3x)2+(2x)2=13x2,
∴AE= 13x,
∵S△ABE=12AB×BE=12AE×BG,
∴BG=6 1313x,
又∵在Rt△BGE中,
GE2+BG2=BE2,
∴GE2=BE2-BG2=(2x)2-(6 1313x)2=1613x2,
∴GE=4 1313x,
∴BG=32GE,故③错误;
∵ΔABE≌ΔBCF,
∴SΔABE=SΔBCF,
∴SΔABE-SΔBGE=SΔBCF-SΔBGE,
∴S四边形CEGF=SΔABG,故④正确.
故选C.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,直角三角形的性质等知识,熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键.
证明△BPG≌△BCG(ASA),得出PG=CG.设OG=PG=CG=x,则EG=2x,FG= 2x,由勾股定理得出BC2=(4+2 2)x2,则可得出答案.
【解答】
解:∵四边形EFGH为正方形,
∴∠EGH=45°,∠FGH=90°,
∵OG=GP,
∴∠GOP=∠OPG=67.5°,
∴∠PBG=22.5°,
又∵∠DBC=45°,
∴∠GBC=22.5°,
∴∠PBG=∠GBC,
在△BPG和△BCG中,
∵∠BGP=∠BGC=90°BG=BG∠PBG=∠CBG,
∴△BPG≌△BCG(ASA),
∴PG=CG.
设OG=PG=CG=x,
∵O为EG,BD的交点,
∴∠EOD=∠GOB,
又∵ED//BG,
∴∠EDO=∠GBO,
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,
∴ED=BG,BF=CG,
在△EOD和△GOB中,
∠EOD=∠GOB∠EDO=∠GBOED=GB,
∴△EOD≌△GOB(AAS),
∴EO=OG=x,
∴EG=2x,FG= 2x,
∴BF=CG=GP=OG=x,
∴BG=x+ 2x,
∴BC2=BG2+CG2=x2( 2+1)2+x2=(4+2 2)x2,
∴S正方形ABCDS正方形EFGH=(4+2 2)x22x2=2+ 2.
故选:B.
3.【答案】C
【解析】解:∵方程x2-2023x+1=0的两根分别为x1,x2,
∴x1+x2=2023,x12-2023x1+1=0,x22-2023x2+1=0,
∵x2≠0,
∴x2-2023+1x2=0,
∴-1x2=x2-2023,
∴-2023x2=2023x2-20232,
∴x12-2023x2=2023x1-1+2023x2-20232
=2023(x1+x2)-1-20232
=20232-1-20232
=-1.
由题意得出x1+x2=2023,x12-2023x1+1=0,x22-2023x2+1=0,将代数式变形后再代入求解即可.
本题考查了根的定义及根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=-ba,x1x2=ca,熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键.也考查了一元二次方程的解.
4.【答案】D
【解析】解:A.3x2+5x+1=0中,x=-5± 52-4×3×12×3,不合题意;
B.3x2-5x+1=0中,x=5± 52-4×3×12×3,不合题意;
C.3x2-5x-1=0中,x=5± 52+4×3×12×3,不合题意;
D.3x2+5x-1=0中,x=-5± 52+4×3×12×3,符合题意;
故选D.
用公式法解一元二次方程的一般步骤为:①把方程化成一般形式,进而确定a,b,c的值;②求出b2-4ac的值(若b2-4ac<0,方程无实数根);③在b2-4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根.
本题主要考查了公式法解一元二次方程,熟记求根公式是解题的关键.
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式和分类讨论的思想方法.分k=0和k≠0两种情况讨论,得出k的取值范围.
【解答】
解:当k=0时,方程4x-1=0的解为x=14;
当k≠0时,方程kx2+4x-1=0有实数根,
∴Δ=42-4k×-1≥0,
∴k≥-4,
∴k的取值范围是k≥-4.
故选B.
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了概率公式的使用和可能性大小的判断,相互独立事件同时发生的概率,本题的数字运算比较麻烦,注意不要出错.根据概率公式,找准两点:符合条件的情况数目;全部情况的总数.二者的比值就是其发生的概率的大小.
【解答】
解:A、第1关,抛掷1次出现的点数最小为1,而抛出的所有点数之和大于34n2就行,故一定过关,故此选项错误;
B、因为过第三关要求这3次抛掷所出现的点数之和大于34×32=274=634,
因为第三关出现点数之和为3,4,5,6的次数分别为1,3,6,9,
∴P(小于7的概率)=19108,
∴P(大于7的概率)=1-19108=89108.故此选项错误;
C、过第二关要求这2次抛掷所出现的点数之和大于34×22=3,
由于2次抛掷所出现的点数之和为小于等于3的概率为336,
所以过第二关的概率是1-336=1112;故此选项正确;
D、过第六关要求这6次抛掷所出现的点数之和大于34×62=27,
而抛6次出现的点数之和最小为6、最大为36,所以出现大于27是有可能的,故此选项错误.
故选C.
7.【答案】C
【解析】解:由题意可得:4m=0.4,
解得:m=10.
故可以推算出m约为10.
故选:C.
在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,可以从比例关系入手,列出方程求解.
本题主要考查了利用频率估计概率,解题的关键是掌握“利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.
8.【答案】C
【解析】解:要研究两枚图钉针尖朝上的概率,只抛掷一枚与抛掷两枚结果是不同的,故A不符合题意;
抛掷10次就得到结论,实验次数太少,不具有普遍性,故B不符合题意;
向上抛掷2000次,多次计算针尖朝上的频率,再根据频率估计概率,由于实验次数较多,实验结果可以估计概率,故C符合题意;
由于是通过实验估计概率,因此不能画出具体的树状图或表格,故D不符合题意;
故选:C.
大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率.
本题考查利用频率估计概率,熟练掌握频率与概率的关系,用频率估计概率得到的是近似值,随实验次数的增多,值越来越精确.
9.【答案】C
【解析】解:①若a+b+c=0,则x=1是方程ax2+bx+c=0的解,
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△=b2-4ac≥0,故①正确;
②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根,
∴△=0-4ac>0
∴-4ac>0
则方程ax2+bx+c=0的判别式
△=b2-4ac>0
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根,故②正确;
③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根,
则ac2+bc+c=0
∴c(ac+b+1)=0
若c=0,等式仍然成立
但ac+b+1=0不一定成立,故③不正确;
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,
则由求根公式可得:
x0=-b+ b2-4ac2a或x0=-b- b2-4ac2a
∴2ax0+b= b2-4ac或2ax0+b=- b2-4ac
∴b2-4ac=(2ax0+b)2
故④正确.
故选:C.
按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论,可得答案.
本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系,牢固掌握二者的关系并灵活运用,是解题的关键.
10.【答案】A
【解析】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,AO=12AC,BO=12BD,AC=BD,
∴AO=BO,∠OAN=∠OBM=45°,∠AOB=90°,
∵CN⊥DM,
∴∠MCN+∠CMD=∠CMD+∠CDM=90°,
∴∠CDM=∠BCN,
∵CD=BC,∠DCM=∠CBN,
∴△CDM≌△BCN(ASA),
∴CM=BN,
∴AN=BM,
∴△AON≌△BOM(SAS),
∴S△AON=S△BOM,
∴S四边形ONBM=S△AOB=14S正方形ABCD,
∴S四边形ABCD=4S四边形ONBM;故①正确;
∵△AON≌△BOM,
∴ON=OM,∠AON=∠BOM,
∴∠NOM=∠AOB=90°,
∴△NOM是等腰直角三角形,
∴MN2=2ON2,
∵BN2+BM2=MN2,
∴CM2+BM2=2ON2,故②正确;
∵∠MON=∠COD=90°,
∴∠NOC=∠MOD,
∵OD=OC,ON=OM,
∴△CON≌△DOM(SAS),故③正确;
∵AB=2,
∴S正方形ABCD=4,
∵△AON≌△BOM,
∴四边形BMON的面积=△AOB的面积=1,即四边形BMON的面积是定值1,
∴当△MNB的面积最大时,△MNO的面积最小,
设BN=x=CM,则BM=2-x,
∴△MNB的面积=12x(2-x)=-12x2+x=-12(x-1)2+12,
∴当x=1时,△MNB的面积有最大值12,
此时S△OMN的最小值是1-12=12,
故④不正确,
故选:A.
根据正方形的性质,依次判定△CNB≌△DMC,△AON≌△BOM,根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论.
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用,解题时注意偶次方的非负性求最值的运用.
11.【答案】D
【解析】解:如图,过点M作MH⊥A'R于H,过点N作NJ⊥A'W于J.
由题意△EMN是等腰直角三角形,EM=EN=2,MN=2 2,
∵四边形EMHK是矩形,
∴EK=A'K=MH=1,KH=EM=2,
∵△RMH是等腰直角三角形,
∴RH=MH=1,RM= 2,同法可证NW= 2,
由题意AR=RA'=A'W=WD=4,
∴AD=AR+RM+MN+NW+DW=4+ 2+2 2+ 2+4=8+4 2,
故选:D.
如图,过点M作MH⊥A'R于H,过点N作NJ⊥A'W于J.想办法求出AR,RM,MN,NW,WD即可解决问题.
本题考查翻折变换,等腰直角三角形的判定和性质,矩形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造特殊三角形或特殊四边形解决问题.
12.【答案】A
【解析】解:①连接BE,交FG于点O,如图,
∵EF⊥AB,EG⊥BC,
∴∠EFB=∠EGB=90°.
∵∠ABC=90°,
∴四边形EFBG为矩形.
∴FG=BE,OB=OF=OE=OG.
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠BAC=∠DAC=45°.
在△ABE和△ADE中,
AE=AE∠BAC=∠DACAB=AD,
∴△ABE≌△ADE(SAS).
∴BE=DE.
∴DE=FG.
∴①正确;
②延长DE,交FG于M,交FB于点H,
∵△ABE≌△ADE,
∴∠ABE=∠ADE.
由①知:OB=OF,
∴∠OFB=∠ABE.
∴∠OFB=∠ADE.
∵∠BAD=90°,
∴∠ADE+∠AHD=90°.
∴∠OFB+∠AHD=90°.
即:∠FMH=90°,
∴DE⊥FG.
∴②正确;
③由②知:∠OFB=∠ADE.
即:∠BFG=∠ADE.
∴③正确;
④∵点E为AC上一动点,
∴根据垂线段最短,当DE⊥AC时,DE最小.
∵AD=CD=4,∠ADC=90°,
∴AC= AD2+CD2=4 2.
∴DE=12AC=2 2.
由①知:FG=DE,
∴FG的最小值为2 2,
∴④错误.
综上所述,正确的结论为:①②③.
故选:A.
①连接BE,易知四边形EFBG为矩形,可得BE=FG;由△AEB≌△AED可得DE=BE,所以DE=FG;
②由矩形EFBG可得OF=OB,则∠OBF=∠OFB;由∠OBF=∠ADE,则∠OFB=∠ADE;由四边形ABCD为正方形可得∠BAD=90°,即∠AHD+∠ADH=90°,所以∠AHD+∠OFH=90°,即∠FMH=90°,可得DE⊥FG;
③由②中的结论可得∠BFG=∠ADE;
④由于点E为AC上一动点,当DE⊥AC时,根据垂线段最短可得此时DE最小,最小值为2 2,由①知FG=DE,所以FG的最小值为2 2.
本题考查了正方形的性质,垂线段最短,全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键,也是解决此类问题常用的方法.
13.【答案】(165,-125)
【解析】【分析】
此题考查了翻折变化(折叠问题),坐标与图形变换,以及矩形的性质,熟练掌握折叠的性质是解本题的关键.由折叠的性质得到一对角相等,对应边相等,再由矩形对边相等且平行,得到一对内错角相等,等量代换及等角对等边得到BE=OE,AE=DE,过D作DF垂直OA,利用勾股定理及面积法求出DF与OF的长,即可确定出D坐标.
【解答】
解:由折叠得:∠CBO=∠DBO,0C=0D,BC=BD
∵矩形ABCO,
∴BC//OA,BC=OA=8,OC=AB=4,
∴∠CBO=∠BOA,OA=BD
∴∠DBO=∠BOA,
∴BE=OE,
∵OA=BD,
∴AE=DE,
设DE=AE=x,则有OE=BE=8-x,
在Rt△ODE中,根据勾股定理得:42+x2=(8-x)2
解得:x=3,即OE=5,DE=3,
过D作DF⊥OA,
∵S△OED=12OD⋅DE=12OE⋅DF,
∴DF=125,OF= 42-(125)2=165,
则D(165,-125).
故答案为(165,-125).
14.【答案】-1.
【解析】【分析】
这是一道考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值的题目,解题关键在于得到m+n的值,整体代入即可求出答案.
【解答】
解:∵方程x2-2x-5=0的两个根是m和n,
∴m+n=-ba=2,n2-2n-5=0
∴n2-2n=5,
∴原式=2m+2n+2n-n2=2m+n-n2-2n=4-5=-1.
故答案为-1.
15.【答案】11
【解析】解:由根与系数的关系可知:
α+β= 10,α⋅β=2,
而2α2+β2+ 10β-3
=2α2+β2+(α+β)β-3
=2(α2+β2)+αβ-3
=2(α+β)2-3αβ-3
=2×10-3×2-3
=11.
故填空答案:11.
由根与系数的关系可知:α+β= 10,α⋅β=2,而2α2+β2+ 10β-3=2α2+β2+(α+β)β-3=2(α2+β2)+αβ-3=2(α+β)2-3αβ-3,然后把前面的值代入即可求出其值.
灵活运用根与系数的关系是解决本题的关键,特别是α+β= 10这个式子的转换.
16.【答案】13
【解析】解:设两双红色拖鞋分别是a,A,a,A;1双蓝色拖鞋是c,C,
a
A
a
A
c
C
a
/
√
×
√
×
×
A
√
/
√
×
×
×
a
×
√
/
√
×
×
A
√
×
√
/
×
×
c
×
×
×
×
/
√
C
×
×
×
×
√
/
共有30种可能,它们恰好是一双的有10种,所以它们恰好是一双的概率是1030=13.
用列表法分析所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件的概率.
列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
17.【答案】证明:∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴AD//BC,AC=AD,
∵AC//DE,
∴四边形ACED是菱形,
∴DE=CE=AC=BC,
∴DE=12BE.
【解析】本题考查的是菱形的判定与性质有关知识,根据四边形ABCD是菱形得出∠ABC=60°,AD//BC,AC=AD证出四边形ACED是菱形即可解答.
18.【答案】解:(1)证明:∵OA=OB=OC=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AC=BD.
∴平行四边形ABCD是矩形.
∵OA=OB=OC=OD= 22AB,
∴OA2+OB2=AB2.
∴∠AOB=90∘,
即AC⊥BD.
∴四边形ABCD是正方形.
(2)解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAB=∠ABC=∠CBG=90∘,AB=AD=BC=2.
∵EF⊥BC,EG⊥AG,
∴∠G=∠EFB=∠FBG=90∘.
∴四边形BGEF是矩形.
∵将线段DH绕点H顺时针旋转90∘得到线段HE,
∴∠DHE=90∘,DH=HE.
又∵∠DAB=90∘,
∴∠ADH+∠AHD=∠AHD+∠EHG=90∘.
∴∠ADH=∠EHG.
又∵∠DAH=∠G=90∘,DH=HE,
∴△ADH≌△GHE.
∴AD=HG,AH=EG.
∵AB=AD,
∴AB=HG.
∴AH=BG.
∴BG=EG.
∴四边形BGEF是正方形.设AH=x,则BG=EG=x.
∵S1=S2,
∴x2=2(2-x).
变形,得x2+2x=4.
方程两边加1,得x2+2x+1=4+1,
即(x+1)2=5.
开平方,得x+1=± 5,即x= 5-1
或x=- 5-1(舍去).
∴AH= 5-1.
【解析】见答案
19.【答案】解:(1)设每件衬衫应降价x元,则每件盈利40-x元,每天可以售出20+2x,
由题意,得(40-x)(20+2x)=1200,
即:(x-10)(x-20)=0,
解,得x1=10,x2=20,
为了扩大销售量,增加盈利,尽快减少库存,所以x的值应为20,
所以,若商场平均每天要盈利12O0元,每件衬衫应降价20元;
(2)假设能达到,由题意,得(40-x)(20+2x)=1500,
整理,得2x2-60x+700=0,
△=602-2×4×700=3600-5600<0,
即:该方程无解,
所以,商场平均每天盈利不能达到1500元;
(3)设商场平均每天盈利y元,每件衬衫应降价x元,
由题意,得y=(40-x)(20+2x),
=800+80x-20x-2x2,
=-2(x2-30x+225)+450+800,
=-2(x-15)2+1250,
当x=15元时,该函数取得最大值为1250元,
所以,商场平均每天盈利最多1250元,达到最大值时应降价15元.
【解析】(1)设每件衬衫应降价x元,则每件盈利40-x元,每天可以售出20+2x,所以此时商场平均每天要盈利(40-x)(20+2x)元,根据商场平均每天要盈利=1200元,为等量关系列出方程求解即可.
(2)假设能达到,根据商场平均每天要盈利=1500元,为等量关系列出方程,看该方程是否有解,有解则说明能达到,否则不能.
(3)设商场平均每天盈利y元,由(1)可知商场平均每天盈利y元与每件衬衫应降价x元之间的函数关系为:y=(40-x)(20+2x),用“配方法”求出该函数的最大值,并求出降价多少.
本题主要考查一元二次方程的应用,关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解,另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值.
20.【答案】解:(1)存在,理由如下:
假设存在某一时刻t,使DE//AB,
∴CDCA=CECB,
∵AC=6,BC=8,CD=t,CE=8-2t,
∴t6=8-2t8,
∴t=125,符合题意(t最大为8÷2=4秒),
∴存在某一时刻t=125秒,使DE//AB;
(2)设运动t秒时,S=18S△ABC,
根据图示可知,S=S△ACE-S△DCE=18S△ABC,
∵S△ABC=12AC⋅CB=12×6×8=24平方厘米,
S△ACE=12AC⋅CE=12×6×(8-2t)=(24-6t)平方厘米,
S△DCE=12CD⋅CE=12t(8-2t)=(4t-t2)平方厘米,
∴S=(24-6t)-(4t-t2)=24-6t-4t+t2=(t2-10t+24)平方厘米,
∴S=18S△ABC,
∴t2-10t+24=18×24,
解一元二次方程得:t1=7,t2=3,
∵点E到达点C时,点D同时停止运动,在整个运动过程中0≤t≤4,
∴t=3秒符合题意,
∴此时CD=3(cm),
∴CD=3cm时,S=18S△ABC.
【解析】(1)通过三角形内平行线分线段成比例,列式计算,再判断得到的t值是否符合题意,来判断即可;
(2)设运动时间为t时,△ADE的面积为S=S△ACE-S△DCE=18S△ABC,计算t的值,再判断值是否符合题意.
本题考查了一元二次方程的应用,动态几何问题,解题的关键是读懂题意,掌握运动的整个过程,利用一元二次方程解决问题.
21.【答案】解:(1)列表如下:
甲
乙
1
2
3
4
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
一共出现16种等可能结果,其中出现在同一层楼梯的有4种结果,
则P(甲、乙在同一层楼梯)=416=14;
(2)由(1)列知:甲、乙住在同层或相邻楼层的有10种结果
故P(小南胜)=P(同层或相邻楼层)=1016=58,P(小铭胜)=1-58=38,
∵58>38,∴游戏不公平,
修改规则:若甲、乙同住一层或相邻楼层,则小南得3分;否则,小铭得5分.
【解析】(1)列表得出所有等可能的情况数,找出甲乙在同一个楼层的情况数,即可求出所求的概率;
(2)分别求出两人获胜的概率比较得到公平与否,修改规则即可.
此题考查了游戏公平性,以及列表法与树状图法,判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平.
22.【答案】解:(1)∵A=4x2+5x+6,B=-3x2-x-2,C=x2+4x,
∴P=A-B+C,=(4x2+5x+6)-(-3x2-x-2)+(x2+4x)=4x2+5x+6+3x2+x+2+x2+4x=8x2+10x+8,
当x=2时,P=8×22+10×2+8=32+20+8=60;
(2)由(1)得A-B+C=8x2+10x+8,结果不是常数,同理C-B+A=8x2+10x+8,结果不是常数;
B-A+C=(-3x2-x-2)-(4x2+5x+6)+(x2+4x)
=-3x2-x-2-4x2-5x-6+x2+4x
=-6x2-2x-8,
∴B-A+C的结果不为常数,
同理C-A+B,结果不为常数;
A-C+B=(4x2+5x+6)-(x2+4x)+(-3x2-x-2)
=4x2+5x+6-x2-4x-3x2-x-2=4,
∴A-C+B的结果为常数,
同理可得B-C+A的结果为常数;
画树状图如下:
由树状图可知一共有6种等可能性的结果数,其中运算结果为常数的有2种,
∴运算结果为常数的概率26=13.
【解析】(1)先根据整式的加减计算法则求出P,再代值计算即可;
(2)先根据整式的加减计算法则求出A-B+C,C-B+A,B-A+C,C-A+B的结果不为常数,A-C+B,B-C+A的结果为常数,再画出对应的树状图得到所有的等可能性的结果数,再找到符合题意的结果数,最后依据概率计算公式求解即可.
本题主要考查了整式的化简求值,整式的加减计算,树状图或列表法求解概率,熟知整式的加减计算法则是解题的关键.
23.【答案】证明:连接AE,
∵DE是AB的垂直平分线(已知),
∴AE=BE,∠EDB=90°(线段垂直平分线的性质),
∴∠EAB=∠EBA=15°(等边对等角),
∴∠AEC=30°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),
Rt△EDB中,∵F是BE的中点(已知),
∴DF=12BE(直角三角形斜边中线等于斜边的一半),
Rt△ACE中,∵∠AEC=30°(已知),
∴AC=12AE(直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半),
∴AC=DF(等量代换).
【解析】先根据线段垂直平分线的性质得:AE=BE,再利用直角三角形斜边中线的性质得:DF与BE的关系,最后根据直角三角形30度的性质得AC和AE的关系,从而得出结论.
本题考查了直角三角形含30度角的性质、直角三角形斜边中线及线段垂直平分线的性质,熟练掌握性质是关键,属于基础题.
24.【答案】(1)证明:∵E为AD的中点,
∴AD=2ED.∵AD=2BC,∴ED=BC.
∵AD//BC,∴四边形BCDE为平行四边形.
又∵在△ABD中,E为AD的中点,∠ABD=90∘,
∴BE=ED,∴▱BCDE为菱形.
(2)解:设AC与BE交于点H,如图.
∵AD//BC,∴∠DAC=∠ACB.
∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,
∵∠BAC=∠ACB,∴BA=BC,
由(1)可知,BE=AE=BC,
∴AB=BE=AE,∴△ABE为等边三角形,
∴∠BAC=30∘,AC⊥BE,∴AH=CH.
在Rt△ABH中,AH=AB⋅cos∠BAH= 32,
∴AC=2AH= 3.
【解析】本题考查菱形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线,30°直角三角形的性质.
(1)由DE=BC,DE//BC,推出四边形BCDE是平行四边形,再证明BE=DE即可解决问题;
(2)在Rt△ABH中,只要证明∠BAH=30°,AB=1即可解决问题.
25.【答案】解(1)设x秒后,△PBQ的面积等于4cm2,
此时,AQ=x cm,QB=(5-x)cm.BP=2xcm,
由12QB⋅BP=4得12(5-x)⋅2x=4,
整理,得x2-5x+4=0
解得x1=l,x2=4(不合题意,舍去)
所以1秒后,△PBQ的面积等于4cm2.
(2)根据题意,得12(5-x)⋅2x=7,
整理,得x2-5x+7=0,
因为b2-4ac=25-28<0,
所以此方程无解,即△PBQ的面积不能等于7cm2.
【解析】(1)分别表示出线段PB和线段BQ的长,然后根据面积为4列出方程求得时间即可;
(2)参照(1)的解法列出方程,根据根的判别式来判断该方程的根的情况.
此题主要考查了一元二次方程的应用,判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解.找到关键描述语,找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键.
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