山东省泰安市泰山区泰安第二中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

泰安二中2022级高二上学期10月月考

数学试题

时间：120分钟   满分：150分

出题人：侯衍翠   审题人：宁淼淼

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知直线，则该直线的倾斜角为（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

2．已知向量，，且，那么实数等于（    ）

A．3 B．－3 C．9 D．－9

3．已知直线：，：，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知，，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

5．与向量平行，且经过点的直线方程为（    ）

A． B． C． D．

6．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，如图，四棱锥为阳马，平面ABCD，且，若，则（    ）

A．1 B．2 C． D．

7．已知两点，，直线l过点且与线段AB有交点，则直线l的倾斜角的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

8．三棱柱的侧棱与底面垂直，，，N是BC的中点，点P在上，且满足，当直线PN与平面ABC所成的角最大时的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9．下列命题正确的是（    ）

A．点关于坐标平面Ozx的对称点为

B．点关于y轴的对称点为

C．点到坐标平面Oyz的距离为1

D．设，，分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，若，则

10．下列说法正确的有（    ）

A．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限

B．已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，直线l的方程是

C．过点，且斜率为的直线的点斜式方程为

D．斜率为－2，且在y轴上的截距为3的直线方程为

11．已知正方体的棱长为1，点E，O分别是，的中点，点P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ）

A．BE与所成角的正弦值是 B．点O到平面的距离是

C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为

12．如图，菱形ABCD边长为2，，E为边AB的中点，将沿DE折起，使A到，且平面平面BCDE，连接，．则下列结论中正确的是（    ）

A．  B．BE到平面的距离为

C．BC与所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．若直线l的方程为，若直线l与直线m：垂直，则______．

14．直线：与直线：在同一平面直角坐标系内的图象只可能是______（填写正确的序号）．

15．空间直角坐标系中，已知，，则直线AB与坐标平面Oxz的交点坐标为______．

16．在中，，，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示．若F是的中点，则四面体FCDE外接球的体积是______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

的三个顶点是，，，求：

（1）边BC上的中线所在直线的方程；

（2）边BC上的高所在直线的方程．

18．（12分）

已知空间中的三点，，，设，．

（1）若与互相垂直，求k的值；

（2）求点N到直线PM的距离．

19．（12分）

已知在中，，，．

（1）求点D的坐标；

（2）试判断是否为菱形．

20．（12分）

如图，在四棱锥中，平面PAD，，E为线段PD的中点，已知，．

（1）证明：直线平面ACE；

（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

21．（12分）

已知直线l：．

（1）证明：直线l过定点；

（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

（3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．

22．（12分）

已知三棱柱中，，，，．

（1）求证：平面平面ABC；

（2）若，在线段AC上是否存在一点P使平面和平面所成角的正弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．

泰安二中2022级高二上学期10月月考

数学试题参考答案与试题解析

一、选择题（共9小题）

1-5 ADCDA   6-8 ACD

二、多选题（共4小题）

9．ABD   10．AC   11．ACD   12．BC

三、填空题（共3小题）

13．1    14．④   15．    16．

四、解答题（共6小题）

17．解：（1），，则BC边中点E的坐标为，，

则直线AE的方程为，即；

（2），，则，

∵BC边上的高与BC垂直，∴BC边上的高所在直线的斜率为，

∴BC边上的高所在的直线方程为，即．

18．解：由题意可求得，，

（1）可得，，

因为，所以有，

整理得，解得或，

所以k的值为或．

（2）设直线PM的单位方向向量为，则，

由于，所以，，

所以点N到直线PM的距离．

19．解：（1）设顶点D的坐标为，由题意可得，

则，∴，解得，∴点D的坐标是；

（2）∵，，，，

∴，，

则在中，∴是菱形．

20．解：（1）证明：如图，连接BD交AC与点F，

则F为BD中点，又E为线段PD的中点，∴，

又平面ACE，平面ACE，∴平面ACE；

（2）设B到平面PCD的距离为d，又平面PCD，

∴B到平面PCD的距离等于A到平面PCD的距离，

由题意易知A到平面PCD的距离为，∴，

又，设PB与平面PCD所成角为，则，

∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．

21．证明：（1）直线l：，即，

联立，解得，故直线l：过定点；

（2）解：直线l：，即，

∴直线不经过第四象限，∴，解得，

故k的取值范围是；

（3）解：如图，直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，则，

直线l：中，令，解得，令，解得，

∴，

当且仅当，即时等号成立．

∴S的最小值为4，此时的直线方程为．

22．解：（1）证明：易知四边形是平行四边形，又，

则是菱形，连接，如图，则有，

因，，平面，平面，

于是平面，而平面，则，

由，得，

又，平面，平面，

从而得平面，又平面ABC，所以平面平面ABC．

（2）在平面内过C作，由（1）知平面平面ABC，

平面平面，则平面ABC，

以点C为坐标原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，

因，，，

则，，，，

假设在线段AC上存在符合要求的点P，设其坐标为，

则有，，设平面的一个法向量，

则有，可得，令得，

易知平面的一个法向量，

平面与平面所成角正弦值为，

则，

化简整理得：，而，解得，

所以在线段AC上存在一点P，且P是靠近C的四等分点，使平面和平面所成角的正弦值为．