安徽省合肥市2023-2024学年九年级上学期质检数学试卷（一） ）（月考）

2023-2024学年安徽省合肥市九年级（上）质检数学试卷（一）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.二次函数的图象开口向下，的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

2.如果将抛物线向左平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是(    )

A.  B.  C.  D.

3.把二次函数化成的形式是(    )

A.  B.  C.  D.

4.对于二次函数的图象，下列说法正确的是(    )

A. 函数的最小值为 B. 函数图象经过原点
C. 顶点坐标是 D. 与轴有两个交点

5.如图，反比例函数与一次函数的图象交于，两点，则不等式的解集为(    )

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

6.函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是(    )
 

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个异号实数根
C. 有两个相等实数根 D. 无实数根

7.已知一个矩形的面积为，其长为，宽为，则与之间的函数关系的图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

8.如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是(    )

 

A.  B.  C.  D. 或

9.如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，图象经过，下列结论中，正确的一项是(    )

A.
B.
C.
D.

10.如图，在中，，，，将折叠，使点的对应点落在边上，折痕为若的长为，的长为，那么与之间的关系图象大约是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.如图，反比例函数的图象经过点，则______．

12.用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格：

则根据表格上的信息，当时， ______ ．

13.现用长为的材料，做成一个如图所示的窗户框架，该窗户框架中分割出的三个矩形的面积相等，设窗户位于上方的矩形的宽为，窗户的总面积为，则与之间的函数关系式是______ 不用写出自变量的取值范围．

14.已知二次函数是常数，且自变量取值范围是．
当时，函数的最大值是______ ；
若函数的最大值为，则的值是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分
已知二次函数．
填空：抛物线开口方向是______ ，对称轴______ ，顶点坐标______ ；
列表，在如图所示的直角坐标系中画出的图象．

16.本小题分
已知二次函数的图象如图所示．
这条抛物线的顶点坐标是______ ；
求该二次函数的表达式．

17.本小题分

如图，四边形是矩形，，两点在轴的正半轴上，，两点在抛物线，已知，求矩形的周长．

18.本小题分

如图，反比例函数的图象与直线交于点，的面积等于．
求反比例函数的表达式；
利用图象，求当时，的取值范围．

19.本小题分
已知二次函数．
求证：无论为何值时，该二次函数的图象与轴都有两个交点；
若该二次函数图象的对称轴为轴，求它与轴的交点坐标．

20.本小题分
某公司在甲、乙两地同时销售一种新开发的“智慧星”机器人用于辅导学生学习这种机器人的生产成本为元台甲、乙两地销售的价格、销售量和广告、管理等各种费用如表所示：

若甲，乙两地月销售利润分别为、元，分别求出与和与之间的函数关系式；
若甲、乙两地每月共销售台，怎样安排甲、乙两地的销售量，可得最大利润？

21.本小题分
如图，一位运动员在距篮下米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此抛物线篮球可准确落入篮圈．
求篮圈中心到地面的距离为多少米．
该运动员身高米，在这次跳投中，球在头顶上方米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？直接写出答案

22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形位于第一象限，且轴，点在点的正下方，双曲线经过点．
的取值范围是______ ．
设点，
若双曲线经过点，求的值；
若直线与双曲线的交点的横坐标为，求与的数量关系．

23.本小题分
抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线经过点和点．
求，的值；
记抛物线的顶点为，求的面积．
过点作垂直于轴的直线与抛物线相交于点，求线段的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：图象开口向下，，
，答案不唯一．
故选：．
图象开口向下，可确定的值．
本题考查了二次函数的性质，注意二次函数图象开口方向与系数的关系．

2.【答案】 

【解析】解：抛物线向左平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是．
故选：．
根据“左加右减，上加下减”的规律解题．
主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．

3.【答案】 

【解析】解：
，
．
故选：．
利用配方法将原式配方，即可得出顶点式的形式．
此题主要考查了配方法求二次函数顶点时形式，熟练地应用配方法这是中考中考查重点．

4.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为，
、不正确，C正确，
抛物线开口向上，最小值为，
抛物线与轴没有交点，
不正确，
故选：．
由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标及最小值，则可得出答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为．

5.【答案】 

【解析】解：反比例函数与一次函数的图象交于，两点，
不等式的解集为或，
故选：．
结合图象，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．

6.【答案】 

【解析】解：函数的图象顶点的纵坐标为，
函数的图象可以看作是的图象向下平移个单位得到，此时顶点在轴上，
函数的图象与轴只有个交点，
关于的方程有两个相等实数根．
故选：．
由图可知可以看作是函数的图象向下平移个单位而得到，再根据函数图象与轴的交点个数进行解答．
本题考查了二次函数与一元二次方程的知识．

7.【答案】 

【解析】解：由矩形的面积公式可得，
，
，，图象在第一象限，
没有端点，
故选：．
根据题意有：；故与之间的函数图象为反比例函数，且根据、实际意义、应，其图象在第一象限，即可得出答案．
考查了反比例函数的应用和反比例函数的图象．现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了二次函数与不等式、二次函数的图像、二次函数的性质的知识，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．根据函数图象写出直线以及下方部分的的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，或时，．
故选D．

9.【答案】 

【解析】解：、根据图示知，抛物线开口方向向上，则．
抛物线的对称轴，则．
抛物线与轴交与负半轴，则，
所以．
故A选项错误；
B、，
，
．
故B选项错误；
C、对称轴为直线，图象经过，
该抛物线与轴的另一交点的坐标是，
当时，，即．
故C选项错误；
D、根据图示知，该抛物线与轴有两个不同的交点，则，则．
故D选项正确；
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定．

10.【答案】 

【解析】解：将折叠，使点的对应点落在边上，
，
，
，
，的长为，
，
即，
，
与之间的关系图象大约是，
故选：．
根据折叠的性质得到，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了动点问题的还是图象，勾股定理，折叠的性质，根据勾股定理列方程是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：根据图象可得，
把代入反比例函数中得：
，
故答案为：．
首先根据图象写出点坐标，再利用待定系数法把点坐标代入反比例函数解析式中即可得到的值．
此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，凡是图象经过的点都能满足解析式．

12.【答案】 

【解析】解：观察表格可知，抛物线的对称轴为：直线，
当或时，函数值相等，根据对称性，与时，函数值相等，都是．
故答案为：．
根据表格，可知抛物线的对称轴是直线；根据抛物线的对称性，可知当或时，函数值相等，结合表格，便可以得到答案．
本题主要考查二次函数的性质，可以结合对称轴进行解答．

13.【答案】 

【解析】解：该窗户框架中分割出的三个矩形的面积相等，且窗户框架的总长度为，
窗户位于下方的矩形的长为，窗户位于上方的矩形的长为，
根据题意得：，
即．
故答案为：．
根据各边之间的关系，可得出窗户位于上方的矩形的长为，利用窗户的总面积窗户位于上方的矩形的面积，即可找出与之间的函数关系式．
本题考查了根据时间问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键．

14.【答案】  或． 

【解析】解：由题意，，
二次函数为：．
当时，函数有最大值为．
，
当时，函数有最大值为，符合题意．
故答案为：．
二次函数为常数，当自变量满足时，其对应函数的最大值为，
若，则当时，最大，即，得舍去，；
若，则当时，最大，即，得，舍去；
若，则最大值为，与题意不符；
由上可得，的值是或．
故答案为：或．
依据题意，由，对称轴为，又，故当时，有最大值为；
依据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得的值．
本题考查二次函数的性质和最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

15.【答案】向下  直线                       

【解析】解：，
抛物线开口方向是向下，对称轴是直线，顶点坐标是；
故答案为：向下，直线，；
列表，如图所示．

故答案为：，，，，，，，，，．
把化成顶点式，于是得到结论；
由表中的点，即可画出函数图象．
本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握函数图象的画法，理解二次函数的性质．

16.【答案】 

【解析】解：由图形知，该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：；
设抛物线解析式为，
将代入，得：，
解得，
则抛物线解析式为．
由图形知，该抛物线的顶点坐标为；
设抛物线解析式为，将代入求出的值即可得出答案．
本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

17.【答案】解：当时，，即，点坐标为．
当时，，
解得，，
即，
矩形的周长． 

【解析】根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标，根据矩形的周长公式，可得答案．
本题考查了二次函数综合题，解题的关键是利用自变量与函数值的对应关系得出，的长．

18.【答案】解：反比例函数的图象与直线交于点，
点的横坐标为，，
的面积等于．
，
，
点的坐标为，
将代入得：，
解得：，
反比例函数的表达式为：；
当时，，
当时，函数的取值范围是． 

【解析】先确定点的坐标，即可求出反比例函数的表达式；
根据反比例函数图象解答即可．
本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象和性质，反比例图象上点的坐标特征，关键在于求出解析式．

19.【答案】证明：，
，
无论取何实数，此二次函数的图象与轴都有两个交点；
解：此二次函数图象的对称轴为轴，，
．
解得：，
二次函数的解析式是．
令，
．
．
与轴的交点为，． 

【解析】根据根的判别式求出即可；
根据对称轴得出方程，求出即可，再令，进而可以得解．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质和抛物线与轴的交点问题，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．

20.【答案】解：根据题意得，，
，
，；
设乙地销售台，总利润为元，
根据题意得：，
，
当时，取得最大值，
台，
甲地销售台，乙地销售台，可得最大利润． 

【解析】根据“月销售利润月销售总价月广告、管理等各种费用成本”分别表示、即可；
设乙地销售台，总利润为元，可表示出与的函数关系式，根据二次函数的性质即可确定获得最大利润时的分配方案．
本题考查了二次函数的应用，根据题意表示出函数关系式是解题的关键．

21.【答案】解：根据已知可得，篮圈中心的横坐标为，
在中，令得，
篮圈中心的纵坐标为，
篮圈中心到地面的距离为米；
设球出手时，他跳离地面的高度是米，则出手点坐标为，
，
解得，
球出手时，他跳离地面的高度是米；
在中，令得：，
解得舍去或，
，
两名运动员之间的距离不能超过米． 

【解析】求出篮圈中心的横坐标为，在中，令可得篮圈中心到地面的距离为米；设球出手时，他跳离地面的高度是米，知出手点坐标为，故，解出的值可得答案；
在中，令得舍去或，即知两名运动员之间的距离不能超过米．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数图象上点坐标的特征．

22.【答案】 

【解析】解：双曲线位于第一象限，
，
；
故答案为：；
，正方形边长为，
，，
双曲线经过点、，
，
解得；
直线与双曲线的交点的横坐标为，
当时，与的函数值相等，即，
Ⅰ，
双曲线经过，
，
Ⅱ，
由ⅠⅡ可得：，
整理变形得：，
正方形位于第一象限，
，
双曲线，
，
，
，
．
由双曲线位于第一象限，有，即可解得答案；
由，正方形边长为，，可得，，即得，故；
根据直线与双曲线的交点的横坐标为，可得，，而双曲线经过，有，故，可得，又，从而．
本题考查反比例函数的应用，涉及正方形性质及应用，解题的关键是掌握反比例函数图象上点坐标的特征．

23.【答案】解：由题意，对于分别令，
．
令，
．
再将、再代入抛物线解析式得，
，
，．
由得抛物线为，
顶点为
．
，轴，
，
，，
，
，且，
当时，取得最大值． 

【解析】依据题意，对于分别令，可求得、，再代入抛物线解析式可以得解；
依据题意，由得抛物线为，从而得顶点，再结合中、坐标将转化为进行计算可以得解；
由题意得，利用二次函数的性质即可求得答案．
本题考查了待定系数法，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．