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四川省绵阳市游仙区2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（10月份）
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这是一份四川省绵阳市游仙区2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（10月份），共21页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
四川省绵阳市游仙区2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（10月份）（解析版）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．6，2，3 B．3，3，3 C．4，3，8 D．4，3，7
2．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点E，下列说法中错误的是（ ）
A．△ABC中，AC是BC上的高 B．△ABD中，DE是AB上的高
C．△ABD中，AC是BD上的高 D．△ADE中，AE是AD上的高
3．（3分）在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，∠C=（ ）
A．75° B．105° C．55° D．65°
4．（3分）如图，∠ABC＝∠ACB，AD；②∠ACB＝2∠ADB；③BD⊥AC．其中正确的有（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②
5．（3分）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，则这个定值为（ ）
A．135° B．150° C．120° D．110°
6．（3分）如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章ABCDE上，若直尺的下沿MN⊥DE于点O，上沿PQ经过点E，则∠ABM的度数为（ ）
A．152° B．126° C．120° D．108°
7．（3分）如图所示的2×2正方形网格中，∠1+∠2等于（ ）
A．105° B．90° C．85° D．95°
8．（3分）如图，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，且BE平分∠ABC，则下列结论：①AD∥BC；③△CDE≌△ABF．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（3分）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，则需要添加的条件是（ ）
A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD
10．（3分）如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC＝∠AFE；③∠BFE＝∠BAE；④∠BFD＝∠CAF．其中正确的结论有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（3分）如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形那么两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
12．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 cm．
14．（4分）如图，直角△ABC中，∠C＝90°，AE、BD分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，则∠DEA＝ ．
15．（4分）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是 ．
16．（4分）如图，△ABC≌△FDE，AB＝FD，AE＝20cm，FC＝10cm则AF的长是 cm．
17．（4分）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，这两个滑梯与地面夹角中∠ABC＝35°则∠DFE= °．
18．（4分）如图，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，垂足为E，若BC＝8，则DE的长为 ．
三．解答题（共6小题，共40分）
19．（6分）若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程，若这个三角形的周长为整数求这个三角形的周长．
20．（6分）如图，△ABC与△CDE的位置如图所示，BC，AB∥EC，连接AD．若∠B＝65°，∠E＝70°，AD平分∠CDE求∠CAD的度数
21．（6分）如图∠1是四边形ABCD的一个外角，∠A与∠C互补．
（1）如果∠2＝110°，求∠D的大小；
（2）求证：∠1＝∠D．
22．（6分）如图，△ABC≌△ADE，∠EAB＝125°，求∠BAC的度数．
23．（8分）为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝21°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝69°，量得旗杆与楼之间距离为DB＝30米，求每层楼的高度大约多少米？
24．（8分）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AD于D点．
（1）求证：∠ADE＝∠AED；
（2）若AB＝6，CE＝2，求△ABE的面积．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．6，2，3 B．3，3，3 C．4，3，8 D．4，3，7
【分析】根据构成三角形三边长的数量关系即可求解，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求解．
【解答】解：A、∵2+3＜5，
∴6，2，6不能构成三角形；
B、∵3﹣3＜4＜3+3，
∴7，3，3能构成三角形；
C、∵7+3＜8，
∴6，3，8不能构成三角形；
D、∵6+3＝7，
∴6，3，7不能构成三角形．
故选：B．
【点评】本题主要考查构成三角形的三边关系，掌握其判定方法是解题的关键．
2．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点E，下列说法中错误的是（ ）
A．△ABC中，AC是BC上的高 B．△ABD中，DE是AB上的高
C．△ABD中，AC是BD上的高 D．△ADE中，AE是AD上的高
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、△ABC中，说法正确；
B、△ABD中，说法正确；
C、△ABD中，说法正确；
D、△ADE中，不是AD上的高，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
3．（3分）在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°∠C=（ ）
A．75° B．105° C．55° D．65°
【分析】利用三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理．
4．（3分）如图，∠ABC＝∠ACB，AD；②∠ACB＝2∠ADB；③BD⊥AC．其中正确的有（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②
【分析】根据角平分线的定义和三角形的外角性质得出AD∥BC可判断①正确；再根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠ABC＝2∠DBC＝2∠ADB可判断②正确；根据等腰三角形的三线合一性质可判断③错误，进而可得答案．
【解答】解：如图，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ABC，
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确；
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝3∠DBC＝2∠ADB，
∴∠ACB＝∠ABC＝2∠ADB，故②正确；
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴只有当∠BAC＝∠ACB时，BD⊥AC，
综上，正确的有①②，
故选：D．
【点评】本题考查角平分线的定义、三角形的外角性质、平行线的判定与性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，并正确推理是解答的关键．
5．（3分）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，则这个定值为（ ）
A．135° B．150° C．120° D．110°
【分析】利用三角形内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵AD平分∠CAB，EB平分∠ABC，
∴，
∴，
∴∠AFB＝180°﹣45°＝135°．
故选：A．
【点评】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
6．（3分）如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章ABCDE上，若直尺的下沿MN⊥DE于点O，上沿PQ经过点E，则∠ABM的度数为（ ）
A．152° B．126° C．120° D．108°
【分析】利用多边形的内角和及正多边形的性质求得∠AED，∠A的度数，然后结合已知条件及四边形的内角和求得∠ABO的度数，从而求得∠ABM的度数．
【解答】解：由题意可得∠AED＝∠A＝（5﹣2）×180°÷8＝108°，
∵MN⊥DE，
∴∠BOE＝90°，
∴四边形ABOE中，∠ABO＝360°﹣90°﹣108°﹣108°＝54°，
∴∠ABM＝180°﹣∠ABO＝180°﹣54°＝126°，
故选：B．
【点评】本题考查多边形的内角和，结合已知条件求得∠AED，∠A的度数是解题的关键．
7．（3分）如图所示的2×2正方形网格中，∠1+∠2等于（ ）
A．105° B．90° C．85° D．95°
【分析】标注字母，然后利用“边角边”求出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，再根据直角三角形两锐角互余求解．
【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠2＝∠3，
在Rt△ABC中，∠5+∠3＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
故选：B．
【点评】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键．
8．（3分）如图，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，且BE平分∠ABC，则下列结论：①AD∥BC；③△CDE≌△ABF．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据条件∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC可以判断四边形ABCD是平行四边形，于是可判断答案①②④正确，由④再进一步判断答案③也正确，即可做出选择．
【解答】解：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，且∠ABC＝∠ADC，
∴AB∥CD且∠ACB＝∠CAD，
∴BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴答案①正确；
∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠D，
而∠D＝∠ABC，
∴∠ACE＝∠D＝∠ABC，
∴答案②正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＜BF，
∴△CDE与△ABF不会全等．
∴答案③错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
9．（3分）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，则需要添加的条件是（ ）
A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD
【分析】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
A．AD＝CB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项符合题意；
B．∠A＝∠C，BD＝DB，不是两直角三角形全等的判定定理HL；
C．∠ABD＝∠CDB，不符合两直角三角形全等的判定定理，故本选项不符合题意；
D．AB＝CD，BD＝DB，不是两直角三角形全等的判定定理HL；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
10．（3分）如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC＝∠AFE；③∠BFE＝∠BAE；④∠BFD＝∠CAF．其中正确的结论有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△AEF，由全等三角形的性质和外角性质可依次判断即可求解．
【解答】解：∵AB＝AE，BC＝EF，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠C＝∠AFE，∠EAF＝∠BAC，
∴∠AFC＝∠C，
∴∠AFC＝∠AFE，故①符合题意，
∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠AFE+∠BFE，
∴∠BFE＝∠FAC，故④符合题意，
∵∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAB＝∠FAC，
∴∠EAB＝∠BFE，故③符合题意，
由题意无法证明BF＝DE，故②不合题意，
正确的结论有①③④，共3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
11．（3分）如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形那么两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
【分析】根据图示，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
12．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
【分析】作DH⊥AC于H，如图，利用角平分线的性质得DH＝DE＝2，根据三角形的面积公式得×2×AC+×2×4＝7，于是可求出AC的值．
【解答】解：作DH⊥AC于H，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DH＝DE＝2，
∵S△ABC＝S△ADC+S△ABD，
∴×2×AC+，
∴AC＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．这里的距离是指点到角的两边垂线段的长．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 23 cm．
【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝10﹣7＝3（cm），
∵△ACD的周长为20cm，AB比AC长3cm，
∴△ABD周长为：20+3＝23（cm）．
故答案为23．
【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC的长度的差是解题的关键．
14．（4分）如图，直角△ABC中，∠C＝90°，AE、BD分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，则∠DEA＝ 45° ．
【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC+∠ABC，再根据角平分线的定义求出∠EAB+∠EBA，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠DEA＝∠EAB+∠EBA，从而得解．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∵AE、BD分别是∠CAB，
∴∠EAB＝∠BAC∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA＝（∠BAC+∠ABC）＝，
由三角形的外角性质得，∠DEA＝∠EAB+∠EBA＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
15．（4分）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是 30° ．
【分析】根据多边形内角和及正多边形性质求得∠ABO的度数，从而求得∠OBC的度数，再结合正方形性质及三角形内角和定理即可求得答案．
【解答】解：∵图中六边形为正六边形，
∴∠ABO＝（6﹣2）×180°÷4＝120°，
∴∠OBC＝180°﹣120°＝60°，
∵正方形中，OC⊥CD，
∴∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
16．（4分）如图，△ABC≌△FDE，AB＝FD，AE＝20cm，FC＝10cm则AF的长是 5 cm．
【分析】根据全等三角形的对应边相等得到AC＝EF，结合等式的性质推知AF＝CE，结合已知相关线段的长度解答．
【解答】解：∵AE＝20cm，FC＝10cm，
∴AF+CE＝AE﹣FC＝10cm．
∵△ABC≌△FDE，AB＝FD，
∴AC＝EF．
∴AC﹣FC＝EF﹣FC，
∴AF＝CE．
∴AF＝（AF+CE）＝5cm．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出AF＝CE是解题关键．
17．（4分）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，这两个滑梯与地面夹角中∠ABC＝35°则∠DFE= 55 °．
【分析】利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△DEF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DEF＝∠ABC，再根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．
【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠DEF＝∠ABC＝35°，
∴∠DFE＝90°﹣35°＝55°．
故答案为：55．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形两锐角互余的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键．
18．（4分）如图，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，垂足为E，若BC＝8，则DE的长为 3 ．
【分析】根据角平分线的性质定理，即可求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，
∴CD＝DE，
∵BC＝8，BD＝5，
∴CD＝DE＝8．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
三．解答题（共6小题，共40分）
19．（6分）若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程，若这个三角形的周长为整数求这个三角形的周长．
【分析】利用加减消元法解出方程组，求出a、b，根据三角形的三边关系求出c，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：解方程组，得，
则4﹣1＜c＜4+1，即3＜c＜8，
∵周长为整数，
∴c＝4，
∴三角形的周长＝4+5+1＝9．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系、二元一次方程组的解法，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
20．（6分）如图，△ABC与△CDE的位置如图所示，BC，AB∥EC，连接AD．若∠B＝65°，∠E＝70°，AD平分∠CDE求∠CAD的度数
【分析】先根据平行线的性质求出∠ECD＝∠B＝65°，再由三角形内角和定理∠CDE的度数，根据角平分线的定义求出∠ADC的度数，最后根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即∠ACB＝∠ADC+∠CAD，进而得出∠CAD的度数．
【解答】解：∵AB∥EC，∠B＝65°，
∴∠ECD＝∠B＝65°，
∵∠E＝70°，
∴∠CDE＝180°＝∠E﹣∠ECD＝180°﹣70°﹣65°＝45°，
∵AD平分∠CDE，
∴∠ADC＝∠CDE＝，
∵∠ACB＝∠ADC+∠CAD，∠ACB＝45°，
∴∠CAD＝∠ACB﹣∠ADC＝45°﹣22.5°＝22.2°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理，平行线的性质，三角形外角的性质，并能进行推理和计算．
21．（6分）如图∠1是四边形ABCD的一个外角，∠A与∠C互补．
（1）如果∠2＝110°，求∠D的大小；
（2）求证：∠1＝∠D．
【分析】（1）根据多边形的内角和定理解答即可；
（2）根据多边形的内角和定理和同角的补角相等证明即可．
【解答】（1）解：∵∠A与∠C互补，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A+∠2+∠C+∠D＝360°，∠2＝110°，
∴∠D＝360°﹣（∠A+∠C+∠8）
＝360°﹣（180°+110°）
＝70°；
（2）证明：∵∠A与∠C互补，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A+∠C+∠2+∠D＝360°，
∴∠D+∠2＝360°﹣（∠A+∠C）＝360°﹣180°＝180°；
∵∠4+∠2＝180°，
∴∠1＝∠D．
【点评】本题考查了多边形的内角和，多边形的内角与外角的关系，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
22．（6分）如图，△ABC≌△ADE，∠EAB＝125°，求∠BAC的度数．
【分析】根据全等三角形的性质求出∠EAD＝∠CAB，∠B＝∠D，求出∠EAC＝∠DAB＝50°，即可得到∠BAC的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠EAD＝∠CAB，∠B＝∠D，
∴∠EAD﹣∠CAD＝∠CAB﹣∠CAD，
∴∠EAC＝∠DAB，
∵∠EAB＝125°，∠CAD＝25°，
∴∠DAB＝∠EAC＝（125°﹣25°）＝50°，
∴∠CAB＝50°+25°＝75°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的性质求出∠EAD＝∠CAB，∠B＝∠D是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
23．（8分）为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝21°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝69°，量得旗杆与楼之间距离为DB＝30米，求每层楼的高度大约多少米？
【分析】根据题意可得：CD⊥DB，AB⊥DB，从而可得∠CDP＝∠ABP＝90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠PAB＝21°，从而可得∠PAB＝∠CPD＝21°，然后根据AAS证明△BAP≌△DPC，从而利用全等三角形的性质可得DP＝AB＝18米，最后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：CD⊥DB，AB⊥DB，
∴∠CDP＝∠ABP＝90°，
∵∠APB＝69°，
∴∠PAB＝90°﹣∠APB＝21°，
∵∠CPD＝21°，
∴∠PAB＝∠CPD＝21°，
∵DB＝30米，PB＝12米，
∴DP＝BD﹣BP＝18（米），
在△BAP和△DPC中，
，
∴△BAP≌△DPC（AAS），
∴DP＝AB＝18米，
∴每层楼的高度＝＝3（米），
∴每层楼的高度大约为2米．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（8分）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AD于D点．
（1）求证：∠ADE＝∠AED；
（2）若AB＝6，CE＝2，求△ABE的面积．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠DAB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠D+∠ABD＝90°，∠CEB+∠CBE＝90°，再利用角平分线的定义可得∠CBE＝∠ABD，从而可得∠D＝∠CEB，最后利用对顶角相等可得∠CEB＝∠AED，从而利用等量代换即可解答；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，利用角平分线的性质可得EC＝EF＝2，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AD⊥AB，
∴∠DAB＝90°，
∴∠D+∠ABD＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠CEB+∠CBE＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABD，
∴∠D＝∠CEB，
∵∠CEB＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵BD平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EC＝EF＝2，
∵AB＝6，
∴△ABE的面积＝AB•EF＝，
∴△ABE的面积为6．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
四川省绵阳市游仙区2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（10月份）（解析版）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．6，2，3 B．3，3，3 C．4，3，8 D．4，3，7
2．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点E，下列说法中错误的是（ ）
A．△ABC中，AC是BC上的高 B．△ABD中，DE是AB上的高
C．△ABD中，AC是BD上的高 D．△ADE中，AE是AD上的高
3．（3分）在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，∠C=（ ）
A．75° B．105° C．55° D．65°
4．（3分）如图，∠ABC＝∠ACB，AD；②∠ACB＝2∠ADB；③BD⊥AC．其中正确的有（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②
5．（3分）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，则这个定值为（ ）
A．135° B．150° C．120° D．110°
6．（3分）如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章ABCDE上，若直尺的下沿MN⊥DE于点O，上沿PQ经过点E，则∠ABM的度数为（ ）
A．152° B．126° C．120° D．108°
7．（3分）如图所示的2×2正方形网格中，∠1+∠2等于（ ）
A．105° B．90° C．85° D．95°
8．（3分）如图，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，且BE平分∠ABC，则下列结论：①AD∥BC；③△CDE≌△ABF．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（3分）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，则需要添加的条件是（ ）
A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD
10．（3分）如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC＝∠AFE；③∠BFE＝∠BAE；④∠BFD＝∠CAF．其中正确的结论有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（3分）如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形那么两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
12．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 cm．
14．（4分）如图，直角△ABC中，∠C＝90°，AE、BD分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，则∠DEA＝ ．
15．（4分）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是 ．
16．（4分）如图，△ABC≌△FDE，AB＝FD，AE＝20cm，FC＝10cm则AF的长是 cm．
17．（4分）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，这两个滑梯与地面夹角中∠ABC＝35°则∠DFE= °．
18．（4分）如图，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，垂足为E，若BC＝8，则DE的长为 ．
三．解答题（共6小题，共40分）
19．（6分）若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程，若这个三角形的周长为整数求这个三角形的周长．
20．（6分）如图，△ABC与△CDE的位置如图所示，BC，AB∥EC，连接AD．若∠B＝65°，∠E＝70°，AD平分∠CDE求∠CAD的度数
21．（6分）如图∠1是四边形ABCD的一个外角，∠A与∠C互补．
（1）如果∠2＝110°，求∠D的大小；
（2）求证：∠1＝∠D．
22．（6分）如图，△ABC≌△ADE，∠EAB＝125°，求∠BAC的度数．
23．（8分）为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝21°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝69°，量得旗杆与楼之间距离为DB＝30米，求每层楼的高度大约多少米？
24．（8分）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AD于D点．
（1）求证：∠ADE＝∠AED；
（2）若AB＝6，CE＝2，求△ABE的面积．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．6，2，3 B．3，3，3 C．4，3，8 D．4，3，7
【分析】根据构成三角形三边长的数量关系即可求解，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求解．
【解答】解：A、∵2+3＜5，
∴6，2，6不能构成三角形；
B、∵3﹣3＜4＜3+3，
∴7，3，3能构成三角形；
C、∵7+3＜8，
∴6，3，8不能构成三角形；
D、∵6+3＝7，
∴6，3，7不能构成三角形．
故选：B．
【点评】本题主要考查构成三角形的三边关系，掌握其判定方法是解题的关键．
2．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点E，下列说法中错误的是（ ）
A．△ABC中，AC是BC上的高 B．△ABD中，DE是AB上的高
C．△ABD中，AC是BD上的高 D．△ADE中，AE是AD上的高
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、△ABC中，说法正确；
B、△ABD中，说法正确；
C、△ABD中，说法正确；
D、△ADE中，不是AD上的高，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
3．（3分）在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°∠C=（ ）
A．75° B．105° C．55° D．65°
【分析】利用三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理．
4．（3分）如图，∠ABC＝∠ACB，AD；②∠ACB＝2∠ADB；③BD⊥AC．其中正确的有（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②
【分析】根据角平分线的定义和三角形的外角性质得出AD∥BC可判断①正确；再根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠ABC＝2∠DBC＝2∠ADB可判断②正确；根据等腰三角形的三线合一性质可判断③错误，进而可得答案．
【解答】解：如图，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ABC，
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确；
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝3∠DBC＝2∠ADB，
∴∠ACB＝∠ABC＝2∠ADB，故②正确；
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴只有当∠BAC＝∠ACB时，BD⊥AC，
综上，正确的有①②，
故选：D．
【点评】本题考查角平分线的定义、三角形的外角性质、平行线的判定与性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，并正确推理是解答的关键．
5．（3分）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，则这个定值为（ ）
A．135° B．150° C．120° D．110°
【分析】利用三角形内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵AD平分∠CAB，EB平分∠ABC，
∴，
∴，
∴∠AFB＝180°﹣45°＝135°．
故选：A．
【点评】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
6．（3分）如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章ABCDE上，若直尺的下沿MN⊥DE于点O，上沿PQ经过点E，则∠ABM的度数为（ ）
A．152° B．126° C．120° D．108°
【分析】利用多边形的内角和及正多边形的性质求得∠AED，∠A的度数，然后结合已知条件及四边形的内角和求得∠ABO的度数，从而求得∠ABM的度数．
【解答】解：由题意可得∠AED＝∠A＝（5﹣2）×180°÷8＝108°，
∵MN⊥DE，
∴∠BOE＝90°，
∴四边形ABOE中，∠ABO＝360°﹣90°﹣108°﹣108°＝54°，
∴∠ABM＝180°﹣∠ABO＝180°﹣54°＝126°，
故选：B．
【点评】本题考查多边形的内角和，结合已知条件求得∠AED，∠A的度数是解题的关键．
7．（3分）如图所示的2×2正方形网格中，∠1+∠2等于（ ）
A．105° B．90° C．85° D．95°
【分析】标注字母，然后利用“边角边”求出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，再根据直角三角形两锐角互余求解．
【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠2＝∠3，
在Rt△ABC中，∠5+∠3＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
故选：B．
【点评】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键．
8．（3分）如图，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，且BE平分∠ABC，则下列结论：①AD∥BC；③△CDE≌△ABF．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据条件∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC可以判断四边形ABCD是平行四边形，于是可判断答案①②④正确，由④再进一步判断答案③也正确，即可做出选择．
【解答】解：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，且∠ABC＝∠ADC，
∴AB∥CD且∠ACB＝∠CAD，
∴BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴答案①正确；
∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠D，
而∠D＝∠ABC，
∴∠ACE＝∠D＝∠ABC，
∴答案②正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＜BF，
∴△CDE与△ABF不会全等．
∴答案③错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
9．（3分）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，则需要添加的条件是（ ）
A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD
【分析】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
A．AD＝CB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项符合题意；
B．∠A＝∠C，BD＝DB，不是两直角三角形全等的判定定理HL；
C．∠ABD＝∠CDB，不符合两直角三角形全等的判定定理，故本选项不符合题意；
D．AB＝CD，BD＝DB，不是两直角三角形全等的判定定理HL；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
10．（3分）如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC＝∠AFE；③∠BFE＝∠BAE；④∠BFD＝∠CAF．其中正确的结论有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△AEF，由全等三角形的性质和外角性质可依次判断即可求解．
【解答】解：∵AB＝AE，BC＝EF，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠C＝∠AFE，∠EAF＝∠BAC，
∴∠AFC＝∠C，
∴∠AFC＝∠AFE，故①符合题意，
∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠AFE+∠BFE，
∴∠BFE＝∠FAC，故④符合题意，
∵∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAB＝∠FAC，
∴∠EAB＝∠BFE，故③符合题意，
由题意无法证明BF＝DE，故②不合题意，
正确的结论有①③④，共3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
11．（3分）如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形那么两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
【分析】根据图示，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
12．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
【分析】作DH⊥AC于H，如图，利用角平分线的性质得DH＝DE＝2，根据三角形的面积公式得×2×AC+×2×4＝7，于是可求出AC的值．
【解答】解：作DH⊥AC于H，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DH＝DE＝2，
∵S△ABC＝S△ADC+S△ABD，
∴×2×AC+，
∴AC＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．这里的距离是指点到角的两边垂线段的长．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 23 cm．
【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝10﹣7＝3（cm），
∵△ACD的周长为20cm，AB比AC长3cm，
∴△ABD周长为：20+3＝23（cm）．
故答案为23．
【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC的长度的差是解题的关键．
14．（4分）如图，直角△ABC中，∠C＝90°，AE、BD分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，则∠DEA＝ 45° ．
【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC+∠ABC，再根据角平分线的定义求出∠EAB+∠EBA，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠DEA＝∠EAB+∠EBA，从而得解．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∵AE、BD分别是∠CAB，
∴∠EAB＝∠BAC∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA＝（∠BAC+∠ABC）＝，
由三角形的外角性质得，∠DEA＝∠EAB+∠EBA＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
15．（4分）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是 30° ．
【分析】根据多边形内角和及正多边形性质求得∠ABO的度数，从而求得∠OBC的度数，再结合正方形性质及三角形内角和定理即可求得答案．
【解答】解：∵图中六边形为正六边形，
∴∠ABO＝（6﹣2）×180°÷4＝120°，
∴∠OBC＝180°﹣120°＝60°，
∵正方形中，OC⊥CD，
∴∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
16．（4分）如图，△ABC≌△FDE，AB＝FD，AE＝20cm，FC＝10cm则AF的长是 5 cm．
【分析】根据全等三角形的对应边相等得到AC＝EF，结合等式的性质推知AF＝CE，结合已知相关线段的长度解答．
【解答】解：∵AE＝20cm，FC＝10cm，
∴AF+CE＝AE﹣FC＝10cm．
∵△ABC≌△FDE，AB＝FD，
∴AC＝EF．
∴AC﹣FC＝EF﹣FC，
∴AF＝CE．
∴AF＝（AF+CE）＝5cm．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出AF＝CE是解题关键．
17．（4分）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，这两个滑梯与地面夹角中∠ABC＝35°则∠DFE= 55 °．
【分析】利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△DEF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DEF＝∠ABC，再根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．
【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠DEF＝∠ABC＝35°，
∴∠DFE＝90°﹣35°＝55°．
故答案为：55．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形两锐角互余的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键．
18．（4分）如图，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，垂足为E，若BC＝8，则DE的长为 3 ．
【分析】根据角平分线的性质定理，即可求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，
∴CD＝DE，
∵BC＝8，BD＝5，
∴CD＝DE＝8．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
三．解答题（共6小题，共40分）
19．（6分）若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程，若这个三角形的周长为整数求这个三角形的周长．
【分析】利用加减消元法解出方程组，求出a、b，根据三角形的三边关系求出c，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：解方程组，得，
则4﹣1＜c＜4+1，即3＜c＜8，
∵周长为整数，
∴c＝4，
∴三角形的周长＝4+5+1＝9．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系、二元一次方程组的解法，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
20．（6分）如图，△ABC与△CDE的位置如图所示，BC，AB∥EC，连接AD．若∠B＝65°，∠E＝70°，AD平分∠CDE求∠CAD的度数
【分析】先根据平行线的性质求出∠ECD＝∠B＝65°，再由三角形内角和定理∠CDE的度数，根据角平分线的定义求出∠ADC的度数，最后根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即∠ACB＝∠ADC+∠CAD，进而得出∠CAD的度数．
【解答】解：∵AB∥EC，∠B＝65°，
∴∠ECD＝∠B＝65°，
∵∠E＝70°，
∴∠CDE＝180°＝∠E﹣∠ECD＝180°﹣70°﹣65°＝45°，
∵AD平分∠CDE，
∴∠ADC＝∠CDE＝，
∵∠ACB＝∠ADC+∠CAD，∠ACB＝45°，
∴∠CAD＝∠ACB﹣∠ADC＝45°﹣22.5°＝22.2°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理，平行线的性质，三角形外角的性质，并能进行推理和计算．
21．（6分）如图∠1是四边形ABCD的一个外角，∠A与∠C互补．
（1）如果∠2＝110°，求∠D的大小；
（2）求证：∠1＝∠D．
【分析】（1）根据多边形的内角和定理解答即可；
（2）根据多边形的内角和定理和同角的补角相等证明即可．
【解答】（1）解：∵∠A与∠C互补，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A+∠2+∠C+∠D＝360°，∠2＝110°，
∴∠D＝360°﹣（∠A+∠C+∠8）
＝360°﹣（180°+110°）
＝70°；
（2）证明：∵∠A与∠C互补，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A+∠C+∠2+∠D＝360°，
∴∠D+∠2＝360°﹣（∠A+∠C）＝360°﹣180°＝180°；
∵∠4+∠2＝180°，
∴∠1＝∠D．
【点评】本题考查了多边形的内角和，多边形的内角与外角的关系，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
22．（6分）如图，△ABC≌△ADE，∠EAB＝125°，求∠BAC的度数．
【分析】根据全等三角形的性质求出∠EAD＝∠CAB，∠B＝∠D，求出∠EAC＝∠DAB＝50°，即可得到∠BAC的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠EAD＝∠CAB，∠B＝∠D，
∴∠EAD﹣∠CAD＝∠CAB﹣∠CAD，
∴∠EAC＝∠DAB，
∵∠EAB＝125°，∠CAD＝25°，
∴∠DAB＝∠EAC＝（125°﹣25°）＝50°，
∴∠CAB＝50°+25°＝75°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的性质求出∠EAD＝∠CAB，∠B＝∠D是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
23．（8分）为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝21°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝69°，量得旗杆与楼之间距离为DB＝30米，求每层楼的高度大约多少米？
【分析】根据题意可得：CD⊥DB，AB⊥DB，从而可得∠CDP＝∠ABP＝90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠PAB＝21°，从而可得∠PAB＝∠CPD＝21°，然后根据AAS证明△BAP≌△DPC，从而利用全等三角形的性质可得DP＝AB＝18米，最后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：CD⊥DB，AB⊥DB，
∴∠CDP＝∠ABP＝90°，
∵∠APB＝69°，
∴∠PAB＝90°﹣∠APB＝21°，
∵∠CPD＝21°，
∴∠PAB＝∠CPD＝21°，
∵DB＝30米，PB＝12米，
∴DP＝BD﹣BP＝18（米），
在△BAP和△DPC中，
，
∴△BAP≌△DPC（AAS），
∴DP＝AB＝18米，
∴每层楼的高度＝＝3（米），
∴每层楼的高度大约为2米．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（8分）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AD于D点．
（1）求证：∠ADE＝∠AED；
（2）若AB＝6，CE＝2，求△ABE的面积．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠DAB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠D+∠ABD＝90°，∠CEB+∠CBE＝90°，再利用角平分线的定义可得∠CBE＝∠ABD，从而可得∠D＝∠CEB，最后利用对顶角相等可得∠CEB＝∠AED，从而利用等量代换即可解答；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，利用角平分线的性质可得EC＝EF＝2，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AD⊥AB，
∴∠DAB＝90°，
∴∠D+∠ABD＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠CEB+∠CBE＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABD，
∴∠D＝∠CEB，
∵∠CEB＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵BD平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EC＝EF＝2，
∵AB＝6，
∴△ABE的面积＝AB•EF＝，
∴△ABE的面积为6．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
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