河北省石家庄市部分学校2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷

2023-2024学年河北省石家庄市部分学校八年级（上）第一次月考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共16小题，共38.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程中，是分式方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.分式和的最简公分母是(    )

A.  B.  C.  D.

3.下列命题的逆命题是真命题的是(    )

A. 两直线平行，内错角相等 B. 如果，那么
C. 钝角三角形中有两个锐角 D. 对顶角相等

4.下面是马小虎的答卷，他的得分应是(    )

A. 分 B. 分 C. 分 D. 分

5.下列各式从左到右的变形正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.若运算的结果为整式，则“”中的式子可能是(    )

A.  B.  C.  D.

7.如图，点，，在同一直线上，≌，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.解分式方程时，去分母正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.下面是某同学化简分式的部分计算过程，则在化简过程中的横线上依次填入的序号为(    )



．



 

A.  B.  C.  D.

10.化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

11.如图，点在上，≌，当，时，的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

12.在计算时，甲、乙两位同学使用方法不同，但计算结果相同，则(    )
甲同学：．
乙同学：．

A. 甲同学正确 B. 乙同学正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确

13.某校举办以“晋魂”为主题的综合实践活动，组织八年级学生去距离学校的山西博物院参观其中一名老师带学生乘坐大巴车先走，过了，另一名老师乘坐小轿车出发，结果他们同时到达已知小轿车的速度是大巴车速度的倍，求大巴车的速度若设大巴车的速度为，则可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

14.如图，“丰收号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了千克，那么“丰收号”小麦和“丰收号”小麦的单位面积产量相比，(    )

A. “丰收号”高 B. “丰收号”高 C. 一样高 D. 无法确定哪个高

15.若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

16.已知关于的分式方程无解，求的值甲同学的结果：，乙同学的结果：关于甲、乙两位同学计算的结果，下列说法正确的是(    )

A. 甲同学的结果正确 B. 乙同学的结果正确
C. 甲、乙同学的结果合在一起正确 D. 甲、乙同学的结果合在一起也不正确

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共3小题，共10.0分）

17.化简： ______ ．

18.如图，点，，在同一条直线上，，≌，，，的周长为______ ，阴影部分的面积为______ ．

19.已知关于的分式方程．
若此方程的解为，则 ______ ．
若此方程的解为正数，则的取值范围为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.本小题分
计算：
；
．

21.本小题分
解方程：
；
．

22.本小题分

如图，≌，且点，，，在同一直线上，点，，在同一直线上．
若，求证：
若，，求的度数．

23.本小题分
下面是小白同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务：
填空：
上面的化简步骤中，第______ 步是进行分式的通分，通分的依据是______ ．
第______ 步开始出现错误，这一步错误的原因是______ ．
请写出正确的化简过程．
当时，求该分式的值．

24.本小题分

【证明】
如图，于点，于点，，求证：请补全证明过程．
证明：，已知，
垂直的定义，
______
两直线平行，同位角相等．
已知，
______ 等量代换，
______
【拓展】
若把条件中的“”与结论“”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例．
【迁移】
如图，请你从四个选项：，，，中，选出三个作为条件，另一个作为结论，可以组成______ 个真命题．

25.本小题分
嘉嘉和淇淇研究一道习题：“已知，若分式分子、分母都加上，所得分式的值增大了还是减小了？”．
嘉嘉想到了“用减去判断差的正负性”的思路．
淇淇想到了“可以将两个分式化成分母相同，再比较分子的大小”的思路．
两人的解题思路都正确．
请你任选一个思路说明．
当所加的这个数为时，所得分式的值______ 填“增大了”或“减小了”．
当所加的这个数为时，你能得到什么结论？请说明理由．

26.本小题分
近年来，随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装辆，便抽调了部分熟练工和招聘一批新工人来完成新式电动汽车的安装，培训后上岗，一段时间后，调研部门发现：名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月也可安装辆电动汽车．
求每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装电动汽车的数量．
从这款电动汽车和某款燃油车的对比调查中发现：电动汽车平均每千米的行驶费用比燃油车平均每千米的行驶费用少元当两款车的行驶费用均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的倍．
求这款电动汽车平均每千米的行驶费用；
若电动汽车和燃油车每年的其他费用分别为元和元问：每年行驶里程为多少千米时，买电动汽车的年费用更低？年费用年行驶费用年其他费用

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是整式方程，
故A不符合题意；
是整式方程，
故B不符合题意；
是整式方程，
故C不符合题意，
是分式方程，
故D符合题意，
故选：．
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，分别判断即可．
本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：和的最简公分母是，
故选：．
根据最简公分母的概念解答即可．
本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．

3.【答案】 

【解析】解：、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是真命题，符合题意；
B、如果，那么的逆命题是如果，那么，逆命题是假命题，不符合题意；
C、钝角三角形中有两个锐角的逆命题是有两个锐角的三角形是钝角三角形，逆命题是假命题，不符合题意；
D、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；
故选：．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．

4.【答案】 

【解析】解：代数式和的分母中都含有字母，都是分式，正确；
当时，分式无意义，错误；
是最简分式，正确；
当时，分式的值为，错误；
，分式的值是原来的倍，正确；
所以他的得分是分．
故选：．
根据分式的定义即可判断，根据分式无意义的条件即可判断，根据最简分式的定义即可判断，根据分式的值为的条件即可判断，先列出算式，再根据分式的基本性质进行计算，即可判断．
本题考查了分式的定义，最简分式的定义，分式无意义的条件，分式的值为零的条件等知识点，能熟记分式的有关概念是解此题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：．，故本选项符合题意；
B.当时，不能推出，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质逐个判断即可．
本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行计算是解此题的关键，注意：分式的分子和分母同乘或除以同一个不等于的式子，分式的值不变．

6.【答案】 

【解析】解：，
运算的结果为整式，
“”中的式子可能是含的单项式．
故选：．
根据分式的乘法的法则进行整理，再由运算的结果为整式进行分析即可求解．
本题主要考查分式的乘法，解答的关键是明确运算结果为整式，得到“”中的式子可能是含的单项式．

7.【答案】 

【解析】解：≌，，，
，，
，
故选：．
根据全等三角形的性质得出，，再求出即可．
本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，全等三角形的对应边相等，对应角相等．

8.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
去括号得：．
故选：．
去分母时，方程两边各项都乘以分母的最小公倍数，再去括号即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解答本题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：
，
所以在化简过程中的横线上依次填入的卡片序号为．
故选：．
先根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
本题考查了分式的乘法和除法，能正确根据分式的乘法和除法法则进行计算是解此题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：
，
故选：．
先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：≌，
，，
，
，
，
．
故选：．
根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据等边对等角求出，然后求出，再根据两直线平行，内错角相等解答即可．
本题考查了全等三角形的性质，等边对等角的性质，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：由甲乙两名同学的解答过程可知，两人都正确，
故选：．
甲同学：先通分，计算括号内的式子，再将括号外的除法转化为乘法，然后计算乘法；乙同学：先把括号外的除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算，然后再根据同分母分式加法法则计算；观察他们的解答过程都是正确的，从而可以判断哪个选项符合题意．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：小轿车的速度是大巴车速度的倍，且大巴车的速度为，
小轿车的速度为．
根据题意得：，
即．
故选：．
根据小轿车及大巴车速度间的关系，可得出小轿车的速度为，利用时间路程速度，结合大巴车比小轿车多用，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
“丰收号”小麦单位面积产量为：，
“丰收号”小麦单位面积产量为：，
，
“丰收号”高，
故选：．
根据题意和图形，可以用含的代数式表示出两块试验田的单位面积，然后比较大小即可．
本题考查分式的混合运算、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
故选：．
根据，可以得到的值，再变形，即可求得所求式子的值．
本题考查分式的化简求值、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式的应用．

16.【答案】 

【解析】解：方程去分母得：，
解得：，
当时分母为，方程无解，
甲、乙同学的结果合在一起也不正确，
故选：．
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于．
本题考查了分式方程无解的条件，解题的关键是掌握解分式方程．

17.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
先找出分式的分子和分母的最大公因式，再根据分式的基本性质进行计算即可．
本题考查了约分和分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行计算是解此题的关键．

18.【答案】  

【解析】解：≌，
，，
，，
的周长为，
，
，
，
阴影部分的面积为，
故答案为：，．
根据全等得出，，根据三角形内角和定理求出，可得，即可求出答案．
本题考查了全等三角形的性质，能求出的长以及是解此题的关键，全等三角形的对应角相等，对应边相等．

19.【答案】  且 

【解析】当时，
，
，
；
原方程去分母得，
，
，
方程的解为正数，
，
当时，，
解得，
的取值范围为且．
故答案为：且．
当时，求得值即可；
解分式方程，可得出，结合此方程的解为正数，即可得出的取值范围，再由是分式方程的增根，可得出的取值范围为且．
本题考查了分式方程的解，牢记“求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于的未知数的值，这个值叫方程的解”是解题的关键．

20.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】先把除法转化为乘法，利用分式的乘法法则，最后约分得结论；
先利用同分母分式的加减法法则，再利用完全平方公式，最后约分得结论．
本题考查了分式，掌握分式的运算法则和分式的性质是解决本题的关键．

21.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程无解． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

22.【答案】证明：≌，
，
，即．
，
；
解：，，
，
，
≌，
，
． 

【解析】根据全等三角形的性质证明即可；
根据全等三角形的性质和三角形内角和定理即可求出的度数．
本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质是解题的关键．

23.【答案】二  分式的基本性质  三  括号前是“一”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号 

【解析】解：：故答案为：二，分式的基本性质；
故答案为：三，括号前是“一”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号．
．
当时，
原式
．
利用分式的基本性质得结论；
根据去括号法则得结论；
先利用异分母分式的加减法法则计算括号里面，再把除法转化为乘法，约分得结论；
把代入求值即可．
本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则、分式的基本性质、去括号法则等知识点是解决本题的关键．

24.【答案】同位角相等，两直线平行    内错角相等，两直线平行   

【解析】解：证明：，已知，
垂直的定义，
(    )
两直线平行，同位角相等．
已知，
等量代换，
内错角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行；；内错角相等，两直线平行；
是真命题．
证明：，已知，
垂直的定义，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等．
已知，
两直线平行，内错角相等，
等量代换；
从四个选项：，，，中，选出三个作为条件，另一个作为结论，可以组成个真命题．
故答案为：．
根据垂直的定义得出，根据平行线的判定可得，根据平行线的性质得出，等量代换得到，即可判定；
根据垂直的定义得出，根据平行线的判定可得，根据平行线的性质得出，又根据平行线的性质得出，等量代换即可得到；
将任意三个作为条件，另一个作为结论，均可以组成一个真命题，所以共有个真命题．利用垂直的定义，平行线的判定与性质即可证明．
此题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，熟记平行线的性质与判定是解题的关键．

25.【答案】增大了 

【解析】解：嘉嘉的思路：，
，
．
，
，
，
即所得分式的值增大了．
当所加的这个数为时，
，
增大了．
故答案为：增大了．
当所加的这个数为时，所得分式的值增大了，
理由：，
，
，，
，
，
即所得分式的值增大了．
选择嘉嘉的思路进行说明即可；
通分计算看结果的正负就可判断即可；
根据嘉嘉的比较方法进行比较即可．
本题考查了分式的加减法，找到公分母通分是解答本题的关键．

26.【答案】解：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，
根据题意得：，
解得：．
答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车；
设这款电动汽车平均每千米的行驶费用为元，则燃油车平均每千米的行驶费用为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：这款电动汽车平均每千米的行驶费用为元；
设每年行驶里程为千米，
根据题意得：，
解得：．
答：当每年行驶里程大于千米时，买电动汽车的年费用更低． 

【解析】设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月也可安装辆电动汽车”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设这款电动汽车平均每千米的行驶费用为元，则燃油车平均每千米的行驶费用为元，根据“当两款车的行驶费用均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的倍”，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
设每年行驶里程为千米，根据买电动汽车的年费用更低，可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．