云南省文山州文山市第二学区2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）

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2023-2024学年云南省文山州文山市第二学区九年级（上）月考数学试卷（9月份）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列方程是关于的一元二次方程的是(    )A.  B.
C.  D. 2.在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有个黑球且摸到黑球的概率为，那么口袋中球的总数为(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个3.一元二次方程配方后可变形为(    )A.  B.  C.  D. 4.如图，在菱形中，是的中点，点是的中点，连接如果，那么菱形的周长为
(    )
 A.  B.  C.  D. 5.已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有个，黑球有个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在附近，则的值约为(    )A.  B.  C.  D. 6.如图，矩形中，，，则的长是(    )A.
B.
C.
D. 7.方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，8.正方形具备而菱形不具备的性质是(    )A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等 D. 每条对角线平分一组对角9.已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是(    )A. 当时，它是菱形
B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形
D. 当，时，它是正方形10.如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，则道路宽为(    )A.
B.
C.
D. 11.某校九年级组织一次足球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行一场比赛，共需比赛场，则九年级班级的个数为(    )A.  B.  C.  D. 12.若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(    )A.  B.  C. 且 D. 且第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）13.方程的解是          ．14.已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为______．15.如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，若再添加一个条件，就可得平行四边形是矩形，则你添加的条件是______．
 16.已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为______ ．三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分
按照下列不同方法解方程．
直接开平方法．
因式分解法．18.本小题分
网络购物已经被越来越多的人接受，快递行业也进入了高速发展期，某快递公司今年月份投递快递的数量为万件，月份投递快递的数量为万件，设每月投递快递数量的增长率相同．求该快递公司投递快递数量的月平均增长率．19.本小题分
甲、乙两名同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动，各自随机选择种植辣椒、种植茄子、种植西红柿三种中的一种，记种植辣椒为，种植茄子为，种植西红柿为假设这两名同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等记甲同学的选择为，乙同学的选择为．
请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
求甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率．20.本小题分
已知方程，根据下列条件之一求的值：
方程有两个相等的实数根；
求方程的实数根．21.本小题分

如图，平行四边形中，、分别是、的平分线，且、分别在边、上，．
求证：四边形是菱形；
若，的面积等于，求平行线与间的距离．
22.本小题分
阅读下面的材料，回答问题：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为，解得，．
当时，，；
当时，，；
原方程有四个根：，，，．
解答问题：上述解题过程，在由原方程得到方程的过程中，利用______法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；
请利用以上知识解方程．23.本小题分
某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元为了增加销量，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价元时，平均每天可多卖出件．
若降价元，则平均每天销售数量为______ 件；
当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？24.本小题分

如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动设、分别从、同时出发，运动时间为，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动解答下列问题：
填空： ______ ， ______ 用含的代数式表示．
经过几秒，的面积等于？
是否存在这样的时刻，使线段恰好平分的面积？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、当时，不是一元二次方程，故A错误；
B、不是整式方程，故B错误；
C、是一元一次方程，故C错误；
D、是一元二次方程，故D正确；
故选：．
根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．2.【答案】 【解析】解：口袋中装有个黑球且摸到黑球的概率为，
口袋中球的总数为：个．
故选：．
由口袋中装有个黑球且摸到黑球的概率为，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．3.【答案】 【解析】解：，
，即，
故选：．
先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上，这样方程左边就为完全平方式．
本题考查了利用配方法解一元二次方程：先把二次系数变为，即方程两边除以，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半．4.【答案】 【解析】解：点、分别是、的中点，，
，
四边形是菱形，
菱形的周长是：．
故选：．
由点、分别是、的中点，，利用三角形中位线的性质，即可求得的长，然后由菱形的性质，求得菱形的周长．
此题考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5.【答案】 【解析】解：根据题意得，
解得：，
故选：．
根据白球的频率稳定在附近得到白球的概率约为，根据概率公式列出方程求解可得．
此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是了解白球的频率稳定在附近即为概率约为．6.【答案】 【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
故选：．
由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出，由，即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．7.【答案】 【解析】解：方程可变形为方程，
二次项系数是、一次项系数是、常数项是，
故选：．
一元二次方程的一般形式是：是常数且在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是首先把所给的方程化为的形式，再找二次项系数、一次项系数、常数项．8.【答案】 【解析】解：平行四边形的对角线互相平分，所以菱形和正方形对角线均互相平分，故本选项错误；
菱形和正方形的对角线均互相垂直，故本选项错误；
正方形对角线相等，而菱形对角线不相等，故本选项正确；
对角线即角平分线是菱形的性质，正方形具有全部菱形的性质，所以本选项错误．
故选：．
正方形具有矩形和菱形的性质，故根据正方形和菱形的性质即可解题．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形和菱形的性质，熟悉掌握菱形、正方形的性质是解本题的关键．9.【答案】 【解析】【分析】
本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据特殊三角形的判定方法一一判断即可．
【解得】
解：、错误．当时，平行四边形不一定是菱形．
B、正确．当时，平行四边形是菱形．
C、正确．当时，平行四边形是矩形．
D、正确．当，时，平行四边形是正方形．
故选A．10.【答案】 【解析】解：矩形空地的长为，宽为，且所修建的道路宽为，
剩余的部分可合成长为，宽为的矩形．
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，
．
故选：．
根据矩形空地的长、宽及所修建道路的宽，可得出剩余的部分可合成长为，宽为的矩形，结合剩余部分的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11.【答案】 【解析】解：设九年级共有个班，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
九年级共有个班．
故选：．
设九年级共有个班，利用比赛的总场数九年级班级数九年级班级数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12.【答案】 【解析】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，，
解得：，且．
故选：．
由一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，，继而可求得的范围．
此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得．13.【答案】， 【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解．
先移项得到，再把方程左边进行因式分解得到，方程转化为两个一元一次方程：或，即可得到原方程的解为，．
【解答】
解：
，
，
或，
，．
故答案为，．14.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程有一个根为，
，
解得：，
故答案为：．
把代入方程得出，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解和解一元一次方程等知识点，能熟记一元二次方程的解的定义是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．15.【答案】或 【解析】解：若使▱变为矩形，可添加的条件是：
；对角线相等的平行四边形是矩形
等．有一个角是直角的平行四边形是矩形
故答案为：或．
矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是直角；可针对这些特点来添加条件．
此题主要考查的是平行四边形的性质及矩形的判定方法，熟练掌握矩形和平行四边形的联系和区别是解答此题的关键．16.【答案】 【解析】解：一元二次方程的两根分别为，，
，，
则原式．
故答案为：．
根据已知方程，利用根与系数的关系求出，，原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．17.【答案】解：，
，
，
所以，；
，
，
，
或，
所以，． 【解析】先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程；
先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法．18.【答案】解：设该快递公司投递快递数量的月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该快递公司投递快递数量的月平均增长率为． 【解析】设该快递公司投递快递数量的月平均增长率为，根据该快递公司今年月份及月份投递快递的数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．19.【答案】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，分别为、、、，，、、、；
由可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的结果有种，
甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率． 【解析】根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果即可；
由可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．20.【答案】解：方程有两个相等的实数根，
且，
解得：，．

当，即时，方程为，解得；
当，即时，
． 【解析】根据一元二次方程的定义及根的判别式可得且，解之可得；
分和，分别求解．
本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
、分别是、的平分线，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的面积等于，
，
，
即，
由知四边形是菱形，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
即，
由勾股定理得，
即平行线与间的距离是． 【解析】根据平行四边形对角相等得到，再根据、分别是、的平分线，可得到，再根据平行四边形对边平行得到，于是有，得出，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证得四边形是平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；
连接，根据平行四边形的性质和角平分线的定义可证得，结合已知得到是等边三角形，从而求出，，再证得，即可得到，根据勾股定理求出的长，从而得出平行线与间的距离．
本题考查了菱形的判定与性质，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形是此题的关键，理解平行线间的距离的定义，等边三角形的性质与判定．22.【答案】换元 【解析】解：上述解题过程，在由原方程得到方程的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，
故答案为换元；
设，原方程可变为，
则，
好，
，，
当时，，解得；
当时，，无解；
原方程的解为，．
本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．
利用题中给出的方法先把当成一个整体来计算，求出的值，再解一元二次方程．
本题应用了换元法，把关于的方程转化为关于的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．23.【答案】 【解析】解：因为“每件降价元时，平均每天可多卖出件”，
所以若降价元，则平均每天多销售数量为：件．
所以若降价元，则平均每天销售数量为：件．
故答案为：；
设每件应降价 元，由题意可列方程为  ，
解得，，
当 时，能卖出 件；
当 时，能卖出件，
根据题意， 时能卖出 件，符合题意，
因为要减少库存，所以应降价 元．
答：每件衬衫应降价元．
本题的关键语“每件降价元时，平均每天可多卖出件”；
设每件应降价元，用来表示出商场所要求的每件盈利的数额量，然后根据盈利元来列出方程．
本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，此类问题更是中考的热点考题之一，难度不大．24.【答案】   【解析】解：设经过秒，的面积等于，则：
，，
故答案为：；；
，即，
解得：或，
即经过秒或秒，的面积等于；
不存在这样的时刻，使线段恰好平分的面积，理由如下：
设经过秒，线段恰好平分的面积，
的面积等于，
，
即，
，
的面积不会等于，
则线段不能平分的面积．
设出运动所求的时间，可将和的长表示出来；
代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；
将的面积表示出来，根据来判断．
本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示和的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解．