浙江省杭州市余杭区2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

2023-2024学年浙江省杭州市余杭区九年级（上）月考数学试卷（10月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.二次函数的图象的对称轴是(    )

A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线

2.下列选项中的事件，属于必然事件的是(    )

A. 在一个只装有白球的袋中，摸出黑球
B. 是实数，
C. 在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交
D. 两数相加，和是正数

3.二次函数的图象向左平移个单位后的函数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.从，，，，五个数中任意取出个数做加法，其和为奇数的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.函数和函数是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

6.已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是(    )

A. 当时，有最大值 B. 当时，随的增大而减小
C. 当取和时，所得到的的值相同 D. 图象与轴的交点坐标是

7.二次函数若，则自变量的取值范围是(    )

A. 或 B. 或 C.  D.

8.地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离与时间的函数关系如图中的部分抛物线所示其中是该抛物线的顶点则下列说法正确的是(    )

 

A. 小球滑行秒停止 B. 小球滑行秒停止
C. 小球滑行秒回到起点 D. 小球滑行秒回到起点

9.已知二次函数的图象如图所示，则它的表达式可能是(    )

A.
B.
C.
D.

10.已知抛物线是实数，与直线交于，，则下面判断正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.二次函数的最小值是______．

12.抛物线的形状与相同，顶点是，该抛物线解析式为______ ．

13.一个布袋里放有个红球，个球黄球和个黑球，它们除颜色外其余都相同，则任意摸出一个球是黑球的概率是______．

14.抛物线经过点，则的值是______．

15.已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的范围是______ ．

16.已知二次函数的对称轴为直线，则，满足的关系式是______，若把该函数向上平移个单位，使得对于任意的都有，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
已知二次函数的图象如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数的图象．
 

18.本小题分
已知二次函数的图象过点．
求该二次函数的表达式．
求该二次函数图象与轴的交点坐标．

19.本小题分
一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“”，“”，“”，除数字外三个小球无其他差别．
从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“”的概率．
从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为的概率．要求列表或画树状图说明

20.本小题分

如图，在矩形中，，，，，，四点一次是边，，，上一点不与各顶点重合，且，记四边形面积为图中阴影，．
求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．
求为何值时，的值最大，并写出的最大值．

21.本小题分
二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如表：

直接写出的值，并求该二次函数的表达式；
点能否在该函数图象上？若能，请求出的值，若不能，请说明理由．

22.本小题分

如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于、的动点，过点作轴于点，交抛物线于点．
求抛物线的解析式；
是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

23.本小题分
某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元．
直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？
该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围．

24.本小题分
已知，在平面直角坐标系中，有二次函数的图象．
若该图象过点，求这个二次函数的表达式；
，是该函数图象上的两个不同点．
若时，有，求的值；
当时，恒有，试求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
函数图象与轴的交点坐标为，，
函数图象的对称轴为直线，
故选：．
由交点式得到函数图象与轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴，
本题考查了二次函数的性质和图象，会由交点式得到函数图象与轴的交点坐标是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：、在一个只装有白球的袋中，摸出黑球，是不可能事件，不符合题意；
B、是实数，，是必然事件，符合题意；
C、在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交，是随机事件，不符合题意；
D、两数相加，和是正数，是随机事件，不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

3.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象向左平移个单位后，所得函数的表达式是，即，
故选：．
根据“左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
其中和为奇数的结果有种，
和为奇数的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及其和为奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：当时：
函数的图象过一、二、三象限，函数的图象开口向下；
不正确，不符合题意．
当时：
函数的图象过二、三、四象限，函数的图象开口向上；
不正确，不符合题意．
函数的对称轴为直线，
A正确，符合题意；不正确，不符合题意．
故选：．
分别分析当和时两种情况下两个函数在同一平面坐标系中的图象，并结合二次函数的对称轴进行综合判断即可．
本题考查一次函数及二次函数的图象，熟悉它们图象的性质是本题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：二次函数的对称轴为，开口向上，
当时，有最小值，故A不符合题意；
二次函数的对称轴为，开口向上，
当时，随的增大而增大，故B不符合题意；
当时，，当时，
当取和时，所得到的的值相同，故C符合题意；
令，则，
二次函数的图象与轴的交点坐标为，故D不符合题意．
故选：．
根据函数性质可判定、不符合题意．在中，令得，可判定符合题意；根据当时，；可判定不符合题意．
本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握抛物线与轴交点、抛物线增减性及函数的最值等知识．

7.【答案】 

【解析】解：二次函数，
该抛物线的开口向上，对称轴为直线，
令，则，
抛物线与轴的交点是，
点关于对称轴的对称点为，
当时，自变量的取值范围是或．
故选：．
把一般式转化为顶点式，即可得到抛物线开口向上，对称轴为直线，求得抛物线与轴的交点，进而求得其对称点，然后根据二次函数的性质即可得到时的取值范围．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：如图，根据滑行的距离与时间的函数关系可得，当秒时，滑行距离最大，即此时小球停止．
故选：．
根据函数图象结合与的关系得出答案．
此题主要考查了二次函数的应用，正确数形结合分析是解题关键．

9.【答案】 

【解析】解：抛物线顶点为，而，顶点在轴下方，故A不符合题意；
在中，令得，，则抛物线对称轴为直线，故B不符合题意；
图中抛物线可能是，故C符合题意；
在中，令得，，故抛物线与轴有一个交点横坐标为，故D不符合题意；
故选：．
根据二次函数图象与系数的关系判断．
本题考查二次函数的图象，解题的关键是掌握二次函数图象的顶点、对称轴、与轴轴交点等．

10.【答案】 

【解析】解：抛物线与直线交于点，，
，
，
得，即，
则当，或，时，；
当，或，时，．
故D正确，、、A错误，
故选：．
将两点坐标分别代入并联立，从而得到，再根据有理数的乘法判断符号
本题考查了二次函数与一次函数，解题的关键是根据交点得到关于，，，的等式

11.【答案】 

【解析】解：，
当时，函数值有最小值，最小值为，
故答案为：．
根据二次函数的性质即可求解．
本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标．

12.【答案】或 

【解析】解：抛物线的形状与相同，顶点是，
当开口向下时，这条抛物线的解析式为：．
当开口向上时，这条抛物线的解析式是：．
故答案为：或．
由题意，抛物线的形状与相同，它的顶点坐标是，即可得抛物线的解析式．
此题考查二次函数图象的基本性质及其对称轴和顶点坐标，运用待定系数法求抛物线的解析式，同时也考查了学生的计算能力．

13.【答案】 

【解析】解：在一个布袋里放有个红球，个球黄球和个黑球，它们除了颜色外其余都相同，
从布袋中任意摸出一个球是黑球的概率为：．
故答案为：．
根据概率公式，求摸到黑球的概率，即用黑球除以小球总个数即可得出得到黑球的概率．
此题主要考查了概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：抛物线经过点，
，
，
故答案为：．
把点代入解析式即可求得．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
因为，
所以抛物线开口向下，
所以当时，的值随值的增大而减小，
因为时，随的增大而减小，
所以．
故答案为：．
由可得抛物线开口向下，进而当时，的值随值的增大而减小，再由时，随的增大而减小可得的范围．
本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．

16.【答案】   

【解析】解：，
对称轴直线为，
；
若把函数向上平移个单位，则平移后的函数解析式为，
对于任意的都有，
，
解得．
故答案为：；．
把函数解析式化为一般式，再求出对称轴即可；求出平移后的解析，再根据对于任意的都有可得，求出的取值范围．
本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，关键掌握判别式时，抛物线与轴有两个交点；时，抛物线与轴有一个交点；时，抛物线与轴没有交点．

17.【答案】解：答案如图：
． 

【解析】根据图象平移的规律，可得答案．
本题考查了二次函数图象，利用图象平移的规律：左加右减，上加下减．

18.【答案】解：把代入得：
，
解得，
该二次函数的表达式为；
令，则，
解得，，
二次函数图象与轴的交点坐标为和． 

【解析】用待定系数法求函数解析式即可；
令，解方程即可．
本题考查抛物线与轴的交点，关键是求出二次函数解析式．

19.【答案】解：从布袋里任意摸出一个小球，上面的数字恰好是“”的概率为；
画树状图如图：

共有个等可能的结果，两次记录的数字之和为的结果有个，
两次记录的数字之和为的概率为． 

【解析】直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有个等可能的结果，两次记录的数字之和为的结果有个，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

20.【答案】解：在矩形中，，，，
，
，，
≌，≌，
所以．
．
所以当时，的值最大，最大值为． 

【解析】利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到与的函数关系．
通过对函数配方，求出函数的对称轴，对称轴在定义域内，在对称轴处取得最值．
本题主要考查的是二次函数的应用，利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积得到函数的关系式是解题的关键．

21.【答案】解：，
将，和代入得：
解得：
这个二次函数的表达式为：．
点能在该函数图象上，
把代入，得：．
解得：或．
的值是或． 

【解析】根据图表可知：
二次函数的图象过点，，
对称轴为直线，，
的对称点为，
，
见答案；
见答案．

根据表格中对应值可知对称轴和抛物线与轴的交点，即可求得的值，根据抛物线的对称性即可求得的值，利用待定系数法求出二次函数表达式即可；
先根据二次函数的性质判断，然后把代入表达式，得到关于的一元二次方程，解方程即可求得的值．
本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

22.【答案】解：在直线上，
，即，
和在抛物线上，
，
解得：，
抛物线的解析式；

存在．
设动点的坐标为，点的坐标为，
，
，
开口向下，有最大值，
当时，线段有最大值． 

【解析】将点坐标代入直线解析式，求出的值，然后把、坐标代入二次函数解析式，求出、，即可求得解析式；
设动点的坐标为，点的坐标为，表示出的长度，然后利用配方法求出二次函数的最大值，并求出此时的值．
本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求函数解析式，配方法求最值等知识点，解答本题案的关键是根据解析式设出点和点的坐标，列出的代数式．

23.【答案】解：根据题意得：，
与之间的函数关系式为；
根据题意得：，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，最大值为，
将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元；
依题意剩余利润为元，
捐款后每天剩余利润不低于元，
，即，
由得或，
，，
捐款后每天剩余利润不低于元，，
答：捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是． 

【解析】根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
根据销售利润销售量售价进价，列出平均每天的销售利润元与销售价元箱之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；
根据题意得剩余利润为，利用函数性质求出时的的取值范围即可．
本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．

24.【答案】解：函数图象过点，
将点代入，
解得，
二次函数的解析式为；

函数的对称轴是直线，
，为此二次函数图象上的两个不同点，且，则，
，
；
函数的对称轴是直线，
，对任意的，都有，
当，时，；
；
当时，不符合题意舍去；
． 

【解析】直接将点代入即可；
利用题意，由，求解；
由已知当，对任意的，都有，则在时，二次函数是递增的，结合图象即可求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的特征．能够结合函数图象进行求解是解决本题的关键．