广东省佛山市南海区狮山石门高级中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题

石门高级中学2023-2024学年度第一学期高一级数学科

第一次统测试题

（全卷共4页，供高一年级1-20班使用，）  命题人：郑兆圣

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，及时上交答题卡.

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

2.设集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A. B. C. D.

3.设，则下列命题正确的是（    ）

A.若，，则 B.若，则

C.若，，则 D.若，则

4.设集合，，，则的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

5.设：，：，那么是的条件（    ）

A.充分不必要  B.必要不充分

C.充要  D.既不充分也不必要

6.已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

A. B.

C.  D.

7.为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造，改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区（阴影部分）和四周绿化带组成.规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）.当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的边长为（    ）

A. B. C. D.

8.关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知集合，，，则集合可以表示为（    ）

A.  B.

C.  D.

10.下列说法中正确的是（    ）

A.“，都是偶数”是“是偶数”的充要条件

B.“两个三角形全等”是“两个三角形的面积相等”的充分不必要条件

C.“”是“关于的方程有两个实数解”的必要不充分条件

D.“”是“”的既不充分也不必要条件

11.下列结论正确的是（    ）

A.若，则的最小值为2

B.若，，则

C.若，，且，则的最大值为9

D.若，则的最大值为2

12.已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ）

A.

B.

C.的最小值为6

D.不等式的解集为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.集合，，若，.则______.

14.若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为______.

15.已知关于的方程，则该方程有两个正根的充要条件是______.

16.设，，，则的最小值为______.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知集合，，.

（1）求，；

（2）若，求实数的取值范围.

18.（本小题12.0分）

某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池.由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过，且高度一定.如果四周池壁的造价为400元，中间两道隔墙的造价为248元，池底造价为80元，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）

19.（本小题12.0分）

已知集合，集合.

（1）当时，求，；

（2）设，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.

20.（本小题12.0分）

已知，，.

（1）求的最小值；

（2）证明：.

21.（本小题12.0分）

（1）已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的两个交点的横坐标，的平方和为15，求该二次函数的解析式.

（2）在（1）条件下，当时，求一元二次不等式的解集.

22.（本小题12.0分）

新学期开学季，成都某学校附近又新开了一家奶茶店，其中有一种名为“奶茶三兄弟”的饮品很受学生欢迎，老板费尽心思想在这种饮品上赚得第一桶金，其销售的价格在一学期不同周次有所变化.设开始时每杯定价10元，从第一次周开始每周涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售，10周后，学生的新鲜感已过，平均每周削价2元，直到16周周末，老板为了让学生安心准备期末考试复习而不挂念“三兄弟”，该饮品暂停销售.

（1）试求该饮品每杯价格（元）与周次之间的函数关系式；

（2）若此饮品每杯成本价（元）与周次之间的关系是，，，试问该饮品第几周每杯的销售利润最大，并求出最大值.

石门高级中学2023-2024学年度第一学期高一级数学科

第一次统测试题答案和解析

1.【䇾案】D

解：集合，，可得，，，所以D正确.故选D.

2.【答案】D

解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于集合但不属于集合的元素构成，所以阴影部分表示的集合为，∵集合，，，

∴，∴

∴图中阴影部分表示的集合为，故选D.

3.【答案】D

解：A：令，，，，则，故错误；

B：令，，则，故错误；

C：令，，，，则，故错误；

D：因为，所以即，故正确；故选D.

4.【答案】C

解：∵，∴，

由于集合，若要，则必有，故选C.

5.【答案】B

解：由得，即，

于是得，所对集合分别为，

显然，所以是的必要不充分条件.故选：B

6.【答案】A

解：∵的解集为，∴的根为，2

即，，解得，

则不等式可化为，即为，

解得.故答案选：A.

7.【答案】B

解：设，知，

∴整个项目占地面积为

.

当且仅当，即时取等号.

∴当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的边长为.

故选B.

8.【答案】B

解：恰有2个整数解，即恰有2个整数解，

所以，解得或.

①当时，不等式的解为，又，故2个整数解为1和2，

则，即，解得；

②当时，不等式的解为，又，故2个整数解为，，

则，即，解得.

综上所述，实数的取值范围为.故选B.

9.【答案】ABD

解：∵，，，

∴，∴，故选项A正确：

∴，∴，故选项B正确；

∵，∴

∴，故选项C错误，

∴，

∴，故选项D正确，故选ABD.

10.【答案】BC

解：A.若“，都是偶数”“是偶数”，反之不成立，例如，可以都是奇数，

因此“，都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件，不正确；

B.“两个三角形全等”“两个三角形的面积相等”，反之不成立，

因此“两个三角形全等”是“两个三角形的面积相等”的充分不必要条件，正确；

C.关于的方程有两个实数解，可得：，且，解得，

且∴“”是“关于的方程有两个实数解”的必要不充分条件，正确；

D.“”“”，反之不成立，

因此“”是“”的必要不充分条件，错误.

故选：BC.

11.【答案】AB

解：A、因为，所以，

当且仅当时取等号，即的最小值为2，故A正确；

B、，，则，

当且仅当时取等号，故B正确：

C、，且，则，

当且仅当，时取等号，所以的最小值为9，故C错误；

D、因为，则，

则，当且仅当，即时取等号，

故的最大值为1，故D错误.

故选AB.

12.【答案】BC

解：关于的不等式的解集为，

函数开口向下，与轴交点横坐标为2，3，

A选项，，故错误；

B选项，依题可得时，函数值小于0，即，故B正确；

C选项，因为开口向下与轴交点横坐标为2，3，

所以，即，且，

.

当且仅当时，即时取等号，故C正确，

D选项，不等式可化为，即，

解集为，故D错误.

故选：BC.

13.【答案】30

解：集合，

又，，所以，

所以，解得，即，故答案为30.

14.【答案】

解：命题“，使”的否定是：“，使”

即：，∴，故答案是

15.【答案】或

解：关于的方程，即，

则该方程有两个正根的充要条件是，且，

解得：或，因此该方程有两个正根的充要条件是：或.

故答案为：或，

16.【答案】

解：，

当且仅当，即，或，时等号成立.

故所求的最小值为.

17.【答案】解：（1）∵，，∴.

又，∴（5分）

（2）如图.

要使，则.（10分）

18.【答案】解：设污水池总造价为元，污水池长为.

则宽为，水池外圈周壁长为，中间隔墙长，池底面积.

∴

.

当且仅当，即，时，.

即当污水池长为，宽为时，总造价最低，最低为44800元.（12分）

19.【答案】解：（1）时，，

集合，∴，.（6分）

（2）时，，.

∵“”是“”的必要不充分条件，∴，

∴，解得.

∴实数的取值范围是（12分）

20.【答案】解：（1），

，

当且仅当，即，时取等号，故的最小值为；（6分）

（2）证明：要证明，由，，两边同时乘，即证，

因为，当且仅当时等号成立，

即有，即，

当且仅当时等号成立，故.

21.【答案】解：（1）根据题意，二次函数的图象与轴交于点，

则，则有，

又由该函数与轴的两个交点的横坐标，的平方和为15，

即，则有，

故，即，故；

（2）根据题意，由（1）的结论，，，则一元二次不等式

即，变形可得，

当时，，此时不等式的解集为；

当时，若，即，此时不等式的解集为，

若，即，此时不等式的解集为；

若，即，此时不等式的解集为；

综合可得：当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，此时不等式的解集为，

当时，不等式的解集为（12分）

22.【答案】解：（1）由题意得当且时，；

当且时，；

当且时，，

综上所述，

（2）由（1）得，，，

设利润为，则，

∴当且时，，

∴当时，；

当且时，，

∴当时，；

当且时，，

∴当时，，∵

∴该饮品第5周每杯的销售利润最大，且最大值9.125元.（12分）