吉林省长春市榆树市八号镇中学等校2023-2024学年九年级上学期10月月考联考数学试题

2023年10月份月考九年级数学试题

一．选择题（每题3分，共24分）

1．（3分）已知一元二次方程x2+kx+2＝0有一个根为﹣1，则k的值为（　　）

A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣1

2．（3分）下列各选项中的两个图形是相似图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

3．（3分）下列各式中，是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

4．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　）

A．x﹣1＝0 B．x2+3＝0 C．x﹣a＝1 D．y＝2x

5．（3分）下列事件是必然事件的是（　　）

A．经过有信号灯的十字路口，遇见红灯 

B．从一副扑克中任意抽出一张是黑桃 

C．在一个三角形中，任意两边之和大于第三边 

D．明天一定下雨

6．（3分）如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长40米、宽34米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为960平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　）

A．（40﹣2x）（34﹣x）＝960 

B．40×34﹣40x﹣34x+2x2＝960 

C．（40﹣x）（34﹣2x）＝960 

D．40×34﹣40x﹣2×34x＝960

7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P是函数y＝（k≠0）图象上的一点，且点P在第一象限，过点P作PA⊥x轴于点A，作PB⊥y轴于点B．若四边形PBOA的面积为6，则k的值为（　　）

A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6

8．（3分）如图，在▱ABCD中，E为边AB上一点，连结DE、AC交于点F．若，则下列说法错误的是（　　）

A． 

B．△AEF与△CDF的周长比为1：4 

C．△AEF与△CDF的面积比为1：4 

D．△ADF与△CDF的面积比为1：4

二．填空题（每题3分，共18分）

9．（3分）抛物线y＝﹣（x+3）2的顶点坐标为 　         　．

10．（3分）买一包医用口罩需x元，买一包酒精消毒湿巾需y元，那么买5包医用口罩和3包酒精消毒湿巾共需 　          　元．

11．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是　      　．

12．（3分）在等边三角形、平行四边形、矩形、圆中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是　        　．

13．（3分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为二次函数y＝（x﹣1）2图象上的两点，若x1＜x2＜1，则y1　   　y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）

14．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α（0°＜α＜180°），得到△ADE，若AC＝1，CE＝，则α的度数为 　      　．

三、解答题（共78分）

15．（6分）解方程：（1）2x2﹣4x+1＝0       （2）2x2+5＝4x．

16．（6分）先化简，再求值：（m﹣n）2﹣（m+n）（m﹣n），其中m＝+1，n＝．

17．（6分）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．

（1）∠B＝　     　°．

（2）求边x，y的长度．

18．（6分）图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在图①、图②中，各画一个△ABP，使得△ABP与△ABC相似，且点P在格点上．

19．（6分）北京冬奥会于2022年2月4日至20日在我国首都北京举行，北京也成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市，小冬是个集邮爱好者，他收集了如图所示的3张纪念邮票，分别是冬奥会会徽（记为A）、吉祥物冰墩墩（记为B）、吉祥物雪容融（记为C）（3张邮票除正面内容不同外，其余均相同），现将3张邮票背面朝上，洗匀放好．

（1）小冬从中随机抽取一张邮票是“吉祥物”的概率是 　                　．

（2）小冬从中随机抽取一张邮票记下图案后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求抽到的两张邮票都是吉祥物的概率．

20．（6分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元．已知两次降价的百分比相同，求每次降价的百分率是多少．

21．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20．求∠B的大小和AC的长．

22．（6分）已知：关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．

（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；

（2）若方程的一个根为5时，求m的值．

23．（6分）小明进行实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，实心球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，在点B处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．

（1）根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式．

（2）若实心球投掷距离（实心球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于9.6m，成绩为满分，请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到满分．

24．（6分）某校为了增强学生的疫情防控意识，组织全校600名学生进行了疫情防控知识竞赛．从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分），分成四组：A组60≤x＜70；B组70≤x＜80；C组80≤x＜90；D组90≤x≤100，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：

（1）求n的值．

（2）补全频数分布直方图．

（3）若规定学生竞赛成绩x≥90为优秀，请估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数．

25．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，点E为ABCD内一点，将BE绕点B顺时针旋转90°得到BF，连接EF、AE、CF，EF与CB交于点G．

（1）求证：AE＝CF；

（2）若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小．

26．（10分）在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y＝﹣x2+（k﹣1）x+4的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且S△OAB＝6．

（1）求点A与点B的坐标；

（2）求此二次函数的解析式；

（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．

九年级数学参考答案

1． B．2． D．3． C．4． B．5． C．6． A．7． C．8． C．

9．（﹣3，0）．

10．（5x+3y）．

11． 85°．

12．等边三角形．

13．＞．

14． 90°．

15．

解：（1）2x2﹣4x+1＝0，

2x2﹣4x＝﹣1，

x2﹣2x＝﹣，

x2﹣2x+1＝﹣+1，即（x﹣1）2＝，

x﹣1＝±，

∴x1＝1+，x2＝1﹣；

（2）方程整理为一般式为2x2﹣4x+5＝0，

∵a＝2，b＝﹣4，c＝5，

∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×5＝﹣24＜0，

∴原方程无实数根．

16．

解：原式＝m2﹣2mn+n2﹣（m2﹣n2）

＝m2﹣2mn+n2﹣m2+n2

＝2n2﹣2mn

把m＝+1，n＝代入，

原式＝2（）2﹣2（+1）

＝4﹣4﹣2

＝﹣2

17．

解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，

∴∠C＝∠C'＝135°，

∴∠B＝360°﹣60°﹣96°﹣135°＝69°，

故答案为69°；

（2）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，

，

解得x＝4，y＝18．

18．

解：如图①、②，△ABP为所作．

19．

解：（1）∵有3张纪念邮票，分别是冬奥会会徽（记为A）、吉祥物冰墩墩（记为B）、吉祥物雪容融（记为C），

∴小冬从中随机抽取一张邮票是“吉祥物”的概率是．

故答案为：；

（2）画树状图如图：

共有9种等可能的结果数，其中抽到的两张邮票都是吉祥物的结果有4种，

则抽到的两张邮票都是吉祥物的概率为．

20．

解：根据题意得：56（1﹣x）2＝31.5，

解得：x1＝0.25，x2＝1.75，

经检验x2＝1.75不符合题意，

则x＝0.25＝25%．

答：每次降价百分率为25%．

21．

解：∠B＝180°﹣∠A﹣∠C

＝180°﹣60°﹣90°

＝30°；

∵sinB＝，

∴AC＝AB•sinB

＝20×sin30°

＝10；

答：∠B＝30°，AC＝10．

22．

（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（m+2），c＝2m，

∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×2m＝m2+4m+4﹣8m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，

∴无论m为何值，方程总有实数根；

（2）解：将x＝5代入原方程得：25﹣5（m+2）+2m＝0，

∴m＝5，

∴m的值为5．

23．

解：（1）依题意，抛物线的顶点B的坐标为（4，3.6），点A的坐标为（0，2）．

设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3.6，

∵抛物线过点A（0，2），

∴a（0﹣4）2+3.6＝2，

解得a＝﹣0.1，

∴该抛物线的表达式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6；

（2）令y＝0，得﹣0.1（x﹣4）2+3.6＝0，

解得x1＝10，x2＝﹣2（C在x轴正半轴，故舍去），

∴点C的坐标为（10，0），

∴OC＝10＞9.6，

∴小明此次试投的成绩能达到满分．

24．

解：（1）n＝12÷24%＝50；

（2）D组学生有：50﹣5﹣12﹣18＝15（人），

补全的频数分布直方图如图所示；

（3）600×＝180（人），

答：估算全校成绩达到优秀的有180人．

25．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝90°．

∵BE绕点B顺时针旋转90°得到BF，

∴BE＝BF，∠EBF＝90°．

∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠CBF+∠EBG＝90°，

∴∠ABE＝∠CBF．

在△ABE和△CBF中，

，

∴△ABE≌△CBF （SAS），

∴AE＝CF；

（2）解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°．

∵∠ABE＝55°，

∴∠EBG＝90°﹣55°＝35°

∵BE绕点B顺时针旋转90°得到BF，

∴BE＝BF，∠EBF＝90°，

∴∠BEG＝∠BFG＝45°．

∵∠EGC是△BEG的外角，

∴∠EGC＝∠EBG+∠BEG＝35°+45°＝80°．

26．

解：（1）由解析式可知，点A的坐标为（0，4）．（1分）

∵S△OAB＝×BO×4＝6

BO＝3．所以B（3，0）或（﹣3，0），

∵二次函数与x轴的负半轴交于点B，

∴点B的坐标为（﹣3，0）；（2分）

（2）把点B的坐标（﹣3，0）代入y＝﹣x2+（k﹣1）x+4，

得﹣（﹣3）2+（k﹣1）×（﹣3）+4＝0．

解得k﹣1＝﹣．（4分）

∴所求二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+4．（5分）

（3）因为△ABP是等腰三角形，

所以：①如图1，当AB＝AP时，点P的坐标为（3，0）（6分）

②如图2，当AB＝BP时，点P的坐标为（2，0）或（﹣8，0）（8分）

③如图，3，当AP＝BP时，设点P的坐标为（x，0）根据题意，得＝|x+3|．

解得x＝．

∴点P的坐标为（，0）（10分）

综上所述，点P的坐标为（3，0），（2，0），（﹣8，0），（，0）．