湖北省荆州市沙市中学2022-2023学年高一数学上学期11月期中试题（Word版附解析）

2022—2023学年度上学期2022级

期中考试数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 函数y的定义域为（　　）

A. [﹣2，3] B. [﹣2，1）∪（1，3]

C. （﹣∞，﹣2]∪[3，+∞） D. （﹣2，1）∪（1，3）

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式组即得解.

【详解】解：由题意得，

解得﹣2≤x＜1或1＜x≤3，

故选：B．

2. 命题，则为（    ）

A. ，使得 B.

C. ，使得 D. ，使得

【答案】C

【解析】

【分析】根据全称量词命题否定的结构形式可得正确的选项.

【详解】因为，故为：，使得，

故选：C.

3. 已知a=0.60.6，b=0.61.6，c=1.60.6，则（    ）

A. a>b>c B. a>c>b C. c>b>a D. c>a>b

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数函数单调性判断．

【详解】因为，，所以.

故选：D．

4. 若、都是正实数，则“”是“”（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】利用特殊值法、基本不等式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】因为、都是正实数，若，取，，则，即“”“”；

若，由基本不等式可得，即“”“”.

因此，“”是“” 必要不充分条件.

故选：B.

5. 若函数满足关系式，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

分别令和，即可联立方程求解.

【详解】令，则，

令，则，

联立方程可解得.

故选：D.

【点睛】本题考查方程组法求函数值，属于基础题.

6. 是定义域为上的奇函数，当时，为常数），则

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：因为是定义域为且是奇函数，所以，所以，，，故选D.

考点：1、函数的奇偶性；2、分段函数的解析式.

7. 若，且，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将已知等式条件两边平方可得，再将目标式平方结合指数幂的性质即可求值.

【详解】由题设，，即，

又，且，

所以.

故选：A.

8. 若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（    ）

A. 或 B. 或

C. 或 D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论.

【详解】因为是奇函数，又，

所以，

由得或，

而且奇函数在内是增函数，

所以或

解得或，

所以不等式的解集为或

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知可用列表法表示如下:

若，则可以取（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据所给函数关系一一代入计算可得；

详解】解：当时，，故不适合;

当时，适合;

当时，适合;

当时，适合，

所以或或.

故选：BCD

10. 下列各不等式，其中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】取特殊值可判断AC；利用基本不等式可判断BD.

详解】对A，当时，，故A错误；

对B，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；

对C，当时，，故C错误；

对D，由，故，

当且仅当时等号成立，即时等号成立，故D正确.

故选：BD

11. 几位同学在研究函数时给出了下列结论正确的是（    ）

A. 的图象关于轴对称 B. 在上单调递减

C. 的值域为 D. 当时，有最大值

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A：利用定义研究函数奇偶性； 对B：化简整理函数，利用反比例函数平移可知函数的单调性；对C：利用不等式的性质分析的值域；对D：利用单调性与对称性分析判断的最值.

【详解】由题意可得：函数的定义域为，

对A：∵，故为偶函数，即的图象关于轴对称，A正确；

对B：当时，是由向右平移2个单位得到，故在上单调递减，B正确；

对C：∵，则，故的值域为，C错误；

对D：当时，是由向右平移2个单位得到，故在上单调递减，

∵为偶函数，则在上单调递增，故当时，有最大值，D正确.

故选：ABD.

12. 若函数满足对∀x1，x2∈(1，+∞)，当x1≠x2时，不等式恒成立，则称在(1，+∞)上为“平方差增函数”，则下列函数中，在(1，+∞)上是“平方差增函数”有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】

令，问题转化为判断在上是增函数，分别对各个选项判断即可．

【详解】若函数满足对，，当时，不等式恒成立，

则，

令，则，，，且，

在上是增函数，

对于，则，对称轴是，

故在递增，在递减，故错误；

对于，则，是对勾函数，

故在递增，故正确；

对于，故，对称轴是，

故在递增，故正确；

对于，则，

故在递减，故错误；

故选：BC

【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的新定义问题，考查函数的单调性问题，考查转化思想，关键在于恒成立可转化为新函数满足上恒成立，即在上是增函数，属于中档题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. ________．

【答案】

【解析】

【分析】直接利用指数运算法则求解即可．

【详解】因为

故答案为:．

14. 函数的单调递增区间为___________.

【答案】

【解析】

【分析】将函数解析式转化为分段函数，再画出函数图象，数形结合即可判断；

【详解】解：因为，所以函数图象如下所示：

由函数图象可得函数的单调递增区间为

故答案为：

15. 若实数满足，则的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】由已知条件，应用基本不等式可得，即可求目标式的范围，注意等号成立条件.

【详解】由题设，，当且仅当时等号成立，

所以，可得.

故答案为：

16. 若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”．已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】由题意得在上恒成立，又，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，设，研究的最小值即可．

【详解】因为函数与是区间上的“2阶依附函数”，

所以在上恒成立，

又在上单调递增，则，

所以在上恒成立，即在上恒成立，

，

令，，设，

，则在上单调递增，

所以，

所以．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 设全集，集合，，.

（1）求和；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】(1) ， (2) 或

【解析】

【分析】（1）先解出A，然后进行交集、补集的运算即可；

（2）根据题意可得C⊆A可讨论C是否为空集，从而可求出实数a的取值范围．

【详解】（1），，

（2）由知

当时，即时，，满足条件；

当时，即时，且，

综上，或

【点睛】本题考查描述法的定义，分式不等式的解法，交集、补集的运算，以及子集的定义．

考查了分类讨论的数学思想，属于中档题.

18. 已知幂函数在上是减函数.

（1）求的解析式；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）（2，5）.

【解析】

【分析】（1）根据幂函数的性质可求得的值.

（2）根据幂函数的单调性解不等式求参数.

【小问1详解】

解：由题意得：

根据幂函数的性质可知，即，解得或.

因为在上是减函数，所以，即，则.

故.

【小问2详解】

由（1）可得，设，

则的定义域为，且在定义域上为减函数.

因为，所以

解得.

故的取值范围为（2，5）.

（2022·浙江宁波·高一期中）

19. 已知函数

（1）若是奇函数，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由奇函数的性质得到，即可求得的值，再检验即可；

（2）设，则，由函数的单调性求得函数的最小值，即可求出参数的取值范围．

【小问1详解】

解：∵的定义域为且是奇函数，  

∴，即，解得，

此时，则，符合题意．

【小问2详解】

解：∵上恒成立，

∴．

令，因为，所以，

所以，，

因为 在单调递增，

所以 ，

即 ，

故，解得，

所以的取值范围是．

20. 某企业为生产某种产品，每月需投入固定成本万元，每生产万件该产品，需另投入流动成本万元，且，每件产品的售价为元，且该企业生产的产品当月能全部售完.

（1）写出月利润（单位：万元）关于月产量（单位：万件）的函数关系式；

（2）试问当月产量为多少万件时，企业所获月利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）   

（2）当月产量为万件时，企业所获最大利润为万元

【解析】

【分析】（1）利用销售收入减去投入流动成本再减去固定成本万元即可求解；

（2）根据二次函数的性质和基本不等式分别求分段函数两段的最大值，取最大的即可求解.

【小问1详解】

因为每件产品的售价为元，所以万件产品的销售收入为万元.

当时，；

当时，，

所以

【小问2详解】

当时，，

此时当时，取得最大值（万元）.

当时，，

当且仅当，即时，取得最大值（万元）.

因，所以当月产量为万件时，企业所获月利润最大，最大利润为万元.

21. 函数对任意实数恒有，且当时，

（1）判断的奇偶性；

（2）求证∶是上的减函数∶

（3）若，求关于的不等式的解集.

【答案】（1）奇函数    （2）证明见解析   

（3）答案见解析

【解析】

【分析】（1）取得，取得进而得答案；

（2）根据题意得，，再结合奇函数性质得，进而证明结论；

（3）根据题意得，在分类讨论求解即可；

【小问1详解】

解∶取，则，∴.

取，则，即 对任意 恒成立，

∴为奇函数.

【小问2详解】

证明∶任取， 且，

则，，

∴，

又为奇函数，

∴

∴是上的减函数.

【小问3详解】

解：为奇函数，整理原式得， .

∵在上是减函数，

∴， 即

①当时，原不等式的解为；

②当时，原不等式化为，即

若，原不等式化为，原不等式的解为；

若，则，原不等式的解为或；

若，则 ，原不等式的解为或

③当时，原不等式化为即

则， 原不等式的解为

综上所述∶

当时，原不等式的解集为

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为或

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为或

22. 已知函数是定义在上的奇函数，且，.

（1）求函数的解析式；

（2）判断并证明函数在上的单调性；

（3）令，若对任意的都有，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）

【解析】

【详解】试题分析：(1)由题意易得：，从而解得a，b的值，得到函数的表达式；（2）利用函数的单调性定义判断函数在上的单调性；（3）对任意的都有恒成立，即.
试题解析：

（1）

，即    

又函数是定义在上的奇函数

，，即   

解得：

(2) 函数在上的单调递减，在上单调递增  

证明如下：取且

且

即                                           

，即

函数在上的单调递减                 

同理可证得函数在上单调递增 .     

(3)

令                         

由（2）可知函数在上单调递减，在上单调递增

函数的对称轴方程为

函数在上单调递增

当时，；当时，

即，      

又对任意的都有恒成立

即

解得.

点睛：恒成立的问题常规处理方法，往往转化为函数的最值问题，如果含有参数的话，可以先变量分离，然后再求不含参的函数的最值即可，有时也可以构造两个函数通过数形结合的方法来处理恒成立问题.