2022-2023学年山西省忻州市原平实验中学九年级（上）期中数学试卷及答案

这是一份2022-2023学年山西省忻州市原平实验中学九年级（上）期中数学试卷及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西省忻州市原平实验中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）观察下列图形，是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
2．（3分）下列各式是一元二次方程的是　　
A． B．
C． D．
3．（3分）用配方法解方程，配方正确的是　　
A． B． C． D．
4．（3分）如图，以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，得△，则是　　三角形．

A．锐角三角形 B．正三角形 C．三角形 D．钝角三角形
5．（3分）如图，点、、、在上，，点是的中点，则的度数是　　

A． B． C． D．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为　　

A． B． C． D．
7．（3分）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
8．（3分）一元二次方程的根的情况为　　
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
9．（3分）如图，是正方形内一点，，，．则的长为　　

A．2 B． C． D．3
10．（3分）如图，一段抛物线，记为抛物线，它与轴交于点、；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交轴于点；如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为　　

A． B．5 C． D．0
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若是方程的一个根，则　　．
12．（3分）写一个满足下列条件的函数：当时，随的增大而减小，且当时，随的增大而增大，则该函数的解析式可以为 　　．
13．（3分）平行四边形绕点逆时针旋转，得到平行四边形（点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点），点恰好落在边上，与交于点，则　　．

14．（3分）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、、、、均在小正方形的顶点上，且弦上有4个正方形的格点（包括端点），则阴影部分的面积为 　　．

15．（3分）已知抛物线的图象如图①所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②恰有三个公共点时，则的值为 　　．

三、解答题（共8题，共75分）
16．（10分）解下列一元二次方程：
（1）．
（2）．
17．（9分）已知二次函数回答下列问题：
（1）用配方法将其化成的形式；
（2）指出抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）根据你的理解，写出该二次函数的性质．（至少两条）
18．（9分）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根；
（2）求证：不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
19．（9分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标，点的坐标．
（1）画出关于原点对称的△，的对称点分别为，．
（2）画出关于原点按逆时针方向旋转所得的△，的对应点分别为，，并写出，的坐标．
（3）若将点向上平移个单位，使其落在△的内部，请直接写出的取值范围．

20．（9分）如图，在中，，以为直径的与交于点，过点作的切线交于点．
（1）求证：．
（2）若的半径为，，求的长．

21．（9分）某玩具商店以成本为每件60元购进一批新型玩具，以每件100元的价格销售则每天可卖出20件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价5元，则每天可多卖10件．
（1）若商店平均每天盈利1200元，每件玩具的售价应定为多少元？
（2）若商店为增加效益最大化，每件玩具的售价定为多少元时，商店平均每天盈利最多？最多盈利多少元？
22．（10分）把两个等腰直角和按图1所示的位置摆放，将绕点按逆时针方向旋转，如图2，连接，，设旋转角为．

（1）如图1，与的数量关系是 　　，与的位置关系是 　　；
（2）如图2，（1）中和的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．
（3）如图3，当点在线段上时，　　．
（4）当旋转角　　时，的面积最大．

23．（10分）如图，已知抛物线与轴交于、两点，过点的直线与抛物线交于点，其中点的坐标是，点坐标是．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线的下方，试求的最大面积及点的坐标．


2022-2023学年山西省忻州市原平实验中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）观察下列图形，是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：、不是中心对称图形，故本选项错误．
、不是中心对称图形，故本选项错误．
、不是中心对称图形，故本选项错误．
、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：．
2．（3分）下列各式是一元二次方程的是　　
A． B．
C． D．
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【解答】解：、不是整式方程，故此选项不合题意；
、化简后为，是一元一次方程，故此选项不合题意；
、符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意；
、是二元一次方程，故此选项不合题意；
故选：．
3．（3分）用配方法解方程，配方正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：



故选：．
4．（3分）如图，以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，得△，则是　　三角形．

A．锐角三角形 B．正三角形 C．三角形 D．钝角三角形
【答案】
【分析】根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，再根据旋转角求出，然后根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判断．
【解答】解：旋转得△，
，
旋转角是，
，
是等边三角形．
故选：．
5．（3分）如图，点、、、在上，，点是的中点，则的度数是　　

A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，再根据圆周角定理解答．
【解答】解：连接，如图所示，
点是的中点，
，
由圆周角定理得，，
故选：．

6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为　　

A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据要求作出图形，利用图象法解决问题即可．
【解答】解：如图，点．

故选：．
7．（3分）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向下，在对称轴的右侧，随的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，与关于对称轴对称，可判断．
【解答】解：，
对称轴为，开口向下，
，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
，
，
根据二次函数图象的对称性可知，与关于对称轴对称，
故，
故选：．
8．（3分）一元二次方程的根的情况为　　
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
9．（3分）如图，是正方形内一点，，，．则的长为　　

A．2 B． C． D．3
【答案】
【分析】由四边形是正方形得，，将绕点沿逆时针方向旋转，得到，连接，则是等腰直角三角形，所以，可根据勾股定理求出的长，再证明，即可根据勾股定理求出的长，并且根据旋转的性质得到的长．
【解答】解：如图，四边形是正方形，
，，
将绕点沿逆时针方向旋转，得到，连接，
，，
，，
，
，
，
，
，
的长为3，
故选：．

10．（3分）如图，一段抛物线，记为抛物线，它与轴交于点、；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交轴于点；如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为　　

A． B．5 C． D．0
【答案】
【分析】根据可以得到：整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，而，由此即可计算．
【解答】解：，
，
整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，
，
所以的值等于时的纵坐标，
所以．
故选：．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若是方程的一个根，则　　．
【答案】．
【分析】把代入方程得，然后解一元二次方程即可．
【解答】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：．
12．（3分）写一个满足下列条件的函数：当时，随的增大而减小，且当时，随的增大而增大，则该函数的解析式可以为 　（答案不唯一）　．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】根据“当时随增大而减小；当时随增大而增大”确定对称轴和开口方向，然后写出满足条件的一个二次函数的解析式即可．
【解答】解：当时随增大而减小；当时随增大而增大，
对称轴为，开口向上，
符合条件的二次函数可以为：，
故答案为：（答案不唯一）．
13．（3分）平行四边形绕点逆时针旋转，得到平行四边形（点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点），点恰好落在边上，与交于点，则　　．

【答案】．
【分析】根据旋转的性质和平行四边形的性质，可以求得和的度数，然后根据三角形内角和即可得到的度数．
【解答】解：平行四边形绕点逆时针旋转，得到平行四边形，点恰好落在边上，与交于点，
，，，
，
，，
，
，
故答案为：．
14．（3分）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、、、、均在小正方形的顶点上，且弦上有4个正方形的格点（包括端点），则阴影部分的面积为 　　．

【答案】．
【分析】如图，连接，交于点，连接，．证明，可得结论．
【解答】解：如图，连接，交于点，连接，．

由题意，是的直径，是圆心，
，
，
故答案为：．
15．（3分）已知抛物线的图象如图①所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②恰有三个公共点时，则的值为 　1或　．

【答案】1或．
【分析】先根据图①所对应的解析式求出点、的坐标以及顶点坐标，再根据翻折变换求出曲线所对应的解析式，再根据直线与图象②恰有三个公共点，结合图象进行计算即可．
【解答】解：抛物线的解析式为，
抛物线的顶点坐标为，
令，则，
解得：，，
，，
根据翻折变换，关于轴的对称点为，
曲线所对应的函数解析式为，
当直线与图象②恰有三个公共点时，如图所示：

①当直线过点时，，
解得：；
②当直线过与只有一个公共点时，
即，
△，
则，
的值为1或．
故答案为：1或．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（10分）解下列一元二次方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；
（2）方程整理后，利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1）方程，
分解因式得：，
所以或，
解得：，；
（2）方程，
这里，，，
△，
，
解得：，．
17．（9分）已知二次函数回答下列问题：
（1）用配方法将其化成的形式；
（2）指出抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）根据你的理解，写出该二次函数的性质．（至少两条）
【答案】（1）；
（2）；直线；
（3）图象开口向上，时，随增大而减小；
当时，随增大而增大；
抛物线有最小值．
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
（2）二次函数的一般形式中的顶点式是：，且，，是常数），它的对称轴是直线，顶点坐标是．
（3）结合对称轴及开口方向可确定抛物线的增减性和最值．
【解答】解：（1）；
（2）由（1）可得顶点为；对称轴为直线；
（3）图象开口向上，时，随增大而减小；
当时，随增大而增大；
抛物线有最小值．
18．（9分）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根；
（2）求证：不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根；
（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△，由此可证出不论取何值，方程必有两个不相等的实数根．
【解答】（1）解：把代入方程可得，
解得，
当时，原方程为，
解得，，
即方程的另一根为2；

（2）证明：，，，
△，
不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
19．（9分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标，点的坐标．
（1）画出关于原点对称的△，的对称点分别为，．
（2）画出关于原点按逆时针方向旋转所得的△，的对应点分别为，，并写出，的坐标．
（3）若将点向上平移个单位，使其落在△的内部，请直接写出的取值范围．

【答案】（1）作图见解析部分；
（2）作图见解析部分，，．
（3）．
【分析】（1）根据中心对称的性质分别作出，的对应点，即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
（3）利用图象法判断即可．
【解答】解：（1）如图，△即为所求；
（2）如图，△即为所求，，．
（3）观察图象可知：．

20．（9分）如图，在中，，以为直径的与交于点，过点作的切线交于点．
（1）求证：．
（2）若的半径为，，求的长．

【答案】（1）证明过程见解析；
（2）．
【分析】（1）连接，如图，利用圆周角定理得到，再利用等腰三角形的性质得，平分，接着证明为的中位线得到，利用为切线得到，所以，然后根据等角的余角相等得到结论；
（2）先利用勾股定理可计算出，再利用面积法计算出，然后利用勾股定理可计算出．
【解答】（1）证明：连接，如图，
为直径，
，
，
，平分，
而，
为的中位线，
，
为切线，
，
，
，，
而，
；
（2）解：的半径为，
，
在中，，
，
，
．

21．（9分）某玩具商店以成本为每件60元购进一批新型玩具，以每件100元的价格销售则每天可卖出20件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价5元，则每天可多卖10件．
（1）若商店平均每天盈利1200元，每件玩具的售价应定为多少元？
（2）若商店为增加效益最大化，每件玩具的售价定为多少元时，商店平均每天盈利最多？最多盈利多少元？
【分析】（1）根据题意，可以得到关于的一元二次方程，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到利润与售价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）设每件玩具的售价为元，
，
解得：，，
扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
，
答：每件玩具的售价为80元；
（2）设每件玩具的售价为元时，利润为元，
，

有最大值
即当时，有最大值为1250元，
答：当每件玩具的售价为85元时，商店平均每天盈利最多，每天最多盈利1250元．
22．（10分）把两个等腰直角和按图1所示的位置摆放，将绕点按逆时针方向旋转，如图2，连接，，设旋转角为．

（1）如图1，与的数量关系是 　　，与的位置关系是 　　；
（2）如图2，（1）中和的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．
（3）如图3，当点在线段上时，　　．
（4）当旋转角　　时，的面积最大．

【答案】（1）；；（2），；（3）；（4）或．
【分析】（1）由，，则，可得答案；
（2）利用证明，得，作的延长线交于点，交于点，由全等知，又，则，从而证明；
（3）由，得，则；
（4）点的轨迹是以为圆心为半径的圆，在中，当为底时，点到的距离最大时，的面积最大，从而得出答案．
【解答】解：（1），且，理由如下：
，，
，
；
，点，分别在，上，
；
故答案为：；；
（2）成立，
证明：根据旋转的性质可得：，，，
，
，
作的延长线交于点，交于点，

，
，
，
，
；
（3）当点在线段上时，
，
，
，
又，，
，
，
，
故答案为：；
（4）由题意知，点的轨迹是以为圆心为半径的圆，
在中，当为底时，点到的距离最大时，的面积最大，

当时，的面积最大，
旋转角为或，
故答案为：或．
23．（10分）如图，已知抛物线与轴交于、两点，过点的直线与抛物线交于点，其中点的坐标是，点坐标是．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线的下方，试求的最大面积及点的坐标．

【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线与对称轴的交点即为所求点；
（3）根据直线的解析式，设出过点与平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉得到关于的一元二次方程，利用根的判别式△时，的面积最大，然后求出此时与平行的直线，然后求出点的坐标，并求出该直线与轴的交点的坐标，再求出，再根据直线与轴的夹角为求出两直线间的距离，再求出间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）抛物线经过点，点，
，
解得，
所以，抛物线的解析式为；

（2）点、关于对称轴对称，
点为与对称轴的交点时的周长最小，
设直线的解析式为，
则，
解得，
所以，直线的解析式为，
，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
抛物线对称轴上存在点，使的周长最小；

（3）如图，设过点与直线平行线的直线为，
联立，
消掉得，，
△，
解得：，
即时，点到的距离最大，的面积最大，
此时，，
点的坐标为，，
设过点的直线与轴交点为，则，，
，
直线的解析式为，
，
点到的距离为，
又，
的最大面积，此时点坐标为，．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/9/19 13:39:32；用户：初中数学；邮箱：ffbs8bs@126.com；学号：210051