2022-2023学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期中数学试卷及答案

这是一份2022-2023学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期中数学试卷及答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
2．（3分）“保护生态，人人有责”，下列生态环保图片中，是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
3．（3分）下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是　　
A． B． C． D．
4．（3分）将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是　　
A． B． C． D．
5．（3分）若抛物线与轴的两个交点为，，则该抛物线的对称轴为　　
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
6．（3分）用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是　　
A．完全平方公式 B．平方根的意义
C．等式的性质 D．一元二次方程的求根公式
7．（3分）如图，在中，，，将以为旋转中心，顺时针旋转角度，若的中点恰好在上，则旋转角的度数是　　

A． B． C． D．
8．（3分）抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是　　

A．
B．
C．
D．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
9．（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111．若设每个支干长出的小分支的个数是，则下面所列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，线段，在线段上找一点，把分为和两段，其中，若，则点就叫做线段的黄金分割点，其中（或的值叫做黄金分割数．则黄金分割数是　　

A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，在中，，，，将以为中心逆时针方向旋转，得到，当点的对应点落在边上时，线段的长度值是 　　．

12．（3分）若抛物线的顶点在轴上，则的值是 　　．
13．（3分）在2022年第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛女团决赛中，国乒女团零封日本女团，实现五连冠，第22次捧起象征“最强女子乒团”的荣誉——考比伦杯．此次世锦赛小组赛中，中国乒乓球女队被分在组，在本组单循环赛中（每两个队之间比赛一场）共进行了10场比赛，则在组中共有 　　个国家的女队参加了比赛．

14．（3分）已知点和都在二次函数的图象上，则和的大小关系是 　　．
15．（3分）有一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个平行四边形，其中，点，，分别在，，上．则剪出的平行四边形的面积的最大值是 　　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）解方程
（1）；
（2）．
17．（7分）已知抛物线．请用配方法将其化为的形式，并写出其开口方向、对称轴及顶点坐标．
18．（7分）某农户种植有图1所示蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的水平线，点是塑料顶棚与地面的交点，是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点的水平距离是6米，到地面的高度是3米．现以所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系．若保温墙到点的距离米．请你求出保温墙的高度．

19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）若△与关于原点成中心对称（点，，分别与点，，对应），试在图中画出△；
（2）将以为中心顺时针旋转得到△，试在图中画出△；
（3）若△可由△以点为中心旋转得到，则点的坐标是 　　．

20．（10分）阅读下列材料，并完成相应学习任务：
古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数．
所有的三角形数都具有如图2所示的规律．

学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题：
（1）请判断78是第几个三角形数？写出判断过程．
（2）若相邻两个三角形数的和是121，求这两个三角形数．

21．（10分）山西土豆（马铃薯）色泽光鲜，含淀粉高，不容易腐烂，具有比其它地方土豆多淀粉、蛋白质、维生素等营养成份．某合作社2020年到2022年每年种植土豆100亩，2020年土豆的平均亩产量为1000千克，2021年到2022年引进先进的种植技术，2022年土豆的平均亩产量达到1440千克．
（1）若2021年和2022年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？
（2）2023年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2022年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？
22．（12分）综合与实践
问题情境：如图1，四边形和都是正方形，点，分别在边和上，点在正方形的内部．
猜想证明：
（1）和的位置关系是 　　，和的数量关系是 　　．
（2）将正方形以为中心顺时针方向旋转到图2所示位置，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
问题解决：
（3）如图3，在正方形以为中心顺时针旋转的过程中，当点落在正方形的边上时，若，，则的长度是 　　．（请直接写出答案即可）

23．（13分）综合与探究
如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点．点在第一象限内的抛物线上．
（1）请直接写出点，，的坐标；
（2）若，求出点的坐标；
（3）如图2，在满足（2）的条件下，连接交于点．则是否平分线段？请说明理由．


2022-2023学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：、，是二元二次方程，故不符合题意．
、，是一元二次方程，故符合题意．
、，是一元二一次方程，故不符合题意．
、，是分式方程，故不符合题意．
故选：．
2．（3分）“保护生态，人人有责”，下列生态环保图片中，是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【解答】．不是中心对称图形，不符合题意；
．不是中心对称图形，不符合题意；
．不是中心对称图形，不符合题意；
．是中心对称图形，符合题意．
故选：．
3．（3分）下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程的根的情况，即可得出答案．
【解答】解：化为一般式为，△，则方程有两个不相等的实数根，故选项符合题意；
．△，则方程有两个相等的实数根，故选项不符合题意；
．△，则方程没有实数根，故选项不符合题意；
．化为一般式为，△，则方程没有实数根，故选项不符合题意．
故选：．
4．（3分）将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标，根据平移后的顶点坐标求解．
【解答】解：，
抛物线的顶点坐标为，
将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点坐标为，
平移后解析式为，
故选：．
5．（3分）若抛物线与轴的两个交点为，，则该抛物线的对称轴为　　
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】
【分析】直接根据两个交点坐标可得对称轴．
【解答】解：抛物线与轴的两个交点为，，
该抛物线的对称轴为直线，
故选：．
6．（3分）用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是　　
A．完全平方公式 B．平方根的意义
C．等式的性质 D．一元二次方程的求根公式
【答案】
【分析】用直接开平方法解形如“”一元二次方程，根据平方根的定义，可得，即可得出答案．
【解答】解：用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是平方根的意义．
故选：．
7．（3分）如图，在中，，，将以为旋转中心，顺时针旋转角度，若的中点恰好在上，则旋转角的度数是　　

A． B． C． D．
【答案】
【分析】由直角三角形的两个锐角互余得出，再由旋转的性质得出，．最后由直角三角形斜边中线的性质即可得出，从而得出，即．
【解答】解：，，
．
由旋转的性质可知，．
又的中点恰好在上，
，
，
即旋转角的度数是．
故选：．
8．（3分）抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是　　

A．
B．
C．
D．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
【答案】
【分析】观察图象：开口向上得到；对称轴在轴的左侧得到、异号，则；抛物线与轴的交点在轴的下方得到，所以；由对称轴为，可得；当时，图象在轴下方得到，抛物线相当于把图象往上平移了3个单位，观察图象可知抛物线顶点所对应的值小于，所以平移后得到与轴仍有2个交点，所以方程有两个不相等的实数根，据此对各选项进行判断即可．
【解答】解：观察图象：开口向上得到；对称轴在轴的左侧得到、异号，则；抛物线与轴的交点在轴的下方得到，所以，故选项错误；
由对称轴为，可得；故选项错误；
当时，图象在轴下方得到，故选项错误；
抛物线相当于把图象往上平移了3个单位，观察图象可知抛物线顶点所对应的值小于，所以平移后得到与轴仍有2个交点，所以方程有两个不相等的实数根，故选项正确，
故选：．
9．（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111．若设每个支干长出的小分支的个数是，则下面所列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】设每个支干长出个小分支，则主干生出个支干，而个支干每个又生出个小分支，所以一共有个，从而可列出方程．
【解答】解：设每个支干长出个小分支，
依题意可列方程：．
故选：．
10．（3分）如图，线段，在线段上找一点，把分为和两段，其中，若，则点就叫做线段的黄金分割点，其中（或的值叫做黄金分割数．则黄金分割数是　　

A． B． C． D．
【答案】
【分析】设，则，代入并整理得：，求出的值，再舍去不合题意的值，最后计算比值即可．
【解答】解：设，则，
，
，
整理，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解．
，
，
，
．
故选：．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，在中，，，，将以为中心逆时针方向旋转，得到，当点的对应点落在边上时，线段的长度值是 　　．

【答案】．
【分析】先根据勾股定理计算出，根据旋转的性质求得，，从而计算出，最后根据勾股定理即可计算出．
【解答】解：，
，
根据旋转的性质得，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．（3分）若抛物线的顶点在轴上，则的值是 　　．
【答案】．
【分析】根据二次函数的顶点的纵坐标列式求解即可．
【解答】解：抛物线，
顶点在轴上，
，解得．
故答案为：．
13．（3分）在2022年第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛女团决赛中，国乒女团零封日本女团，实现五连冠，第22次捧起象征“最强女子乒团”的荣誉——考比伦杯．此次世锦赛小组赛中，中国乒乓球女队被分在组，在本组单循环赛中（每两个队之间比赛一场）共进行了10场比赛，则在组中共有 　5　个国家的女队参加了比赛．

【答案】5．
【分析】设在组中共有个国家的女队参加了比赛，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【解答】解：设在组中共有个国家的女队参加了比赛，根据题意得：
，
解得，（舍去）．
故答案为：5．
14．（3分）已知点和都在二次函数的图象上，则和的大小关系是 　　．
【答案】．
【分析】根据二次函数的增减性即可得；
【解答】解：由可知，该函数的顶点坐标为，且在时取最大值，
根据点和可知，点距离顶点比点远，所以．
故答案为：．
15．（3分）有一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个平行四边形，其中，点，，分别在，，上．则剪出的平行四边形的面积的最大值是 　　．

【答案】．
【分析】根据含的直角三角形的性质，可得，设，则，根据平行四边形的性质，有，可得，利用锐角三角函数，可得，则可表达出平行四边形的面积的表达式，利用二次函数的性质，即可求出平行四边形的面积的最大值．
【解答】解：，，，
，
设，则，
在平行四边形中，，
，
在中，，
，
平行四边形的面积，
当时，平行四边形的面积最大，最大值是．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）解方程
（1）；
（2）．
【答案】（1），；（2），．
【分析】（1）整理后，利用配方法求解即可；
（2）整理后，利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）
，
配方得，即，
，
所以，；
（2）解：，
，
，
或，
所以，．
17．（7分）已知抛物线．请用配方法将其化为的形式，并写出其开口方向、对称轴及顶点坐标．
【答案】函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为．
【分析】根据配方法的步骤先将抛物线化为顶点式，再根据对称轴为直线，顶点坐标．，以及的取值范围即可进行解答．
【解答】解：


，
，
，
函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为．
18．（7分）某农户种植有图1所示蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的水平线，点是塑料顶棚与地面的交点，是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点的水平距离是6米，到地面的高度是3米．现以所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系．若保温墙到点的距离米．请你求出保温墙的高度．

【答案】保温墙的高度是米．
【分析】根据顶点坐标，设函数的表达式为，再将原点坐标代入求出函数的表达式，最后将代入求解即可．
【解答】解：设塑料顶棚所在抛物线的解析式为，
点，
把，代入抛物线解析式，得：，
解得：，
抛物线的解析式为，
当时，，
答：保温墙的高度是米．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）若△与关于原点成中心对称（点，，分别与点，，对应），试在图中画出△；
（2）将以为中心顺时针旋转得到△，试在图中画出△；
（3）若△可由△以点为中心旋转得到，则点的坐标是 　　．

【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）．
【分析】（1）根据成中心对称的两个图形的特征，即可画出图形；
（2）根据旋转图形的性质，即可画出图形；
（3）根据旋转的性质，即可找到点，从而求出点的坐标．
【解答】（1）解：△如图所示：

（2）解：△如图所示：

（3）解：点的位置如图所示：

由图可知，点的坐标为．
故答案为：．
20．（10分）阅读下列材料，并完成相应学习任务：
古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数．
所有的三角形数都具有如图2所示的规律．

学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题：
（1）请判断78是第几个三角形数？写出判断过程．
（2）若相邻两个三角形数的和是121，求这两个三角形数．

【答案】（1）78是第12个三角形数，理由见解析；
（2）55和66．
【分析】（1）根据题意易得第个三角形数可以表示为，则有，然后求解即可；
（2）设较小的三角形数是，则较大的三角形数是，由题意可知，，进而求解即可．
【解答】解：（1）根据材料可知，第个三角形数可以表示为，
当时，
解得，
解得，，
因为是正整数，
所以舍去，
是第12个三角形数．
（2）设较小的三角形数是，
则较大的三角形数是．
由题意可知，，
解得，（舍去），
当时，，．
所以这两个三角形数是55和66．
21．（10分）山西土豆（马铃薯）色泽光鲜，含淀粉高，不容易腐烂，具有比其它地方土豆多淀粉、蛋白质、维生素等营养成份．某合作社2020年到2022年每年种植土豆100亩，2020年土豆的平均亩产量为1000千克，2021年到2022年引进先进的种植技术，2022年土豆的平均亩产量达到1440千克．
（1）若2021年和2022年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？
（2）2023年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2022年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？
【答案】（1）土豆平均亩产量的年增长率为；
（2）该合作社增加土豆的种植面积20亩时，才能保证土豆种植的总成本保持不变．
【分析】（1）设2021年和2022年土豆平均亩产量的年增长率为，第2021年土豆平均亩产量为千克，第2022年土豆平均亩产量为千克，据此列出方程求解即可；
（2）设增加土豆种植面积亩，根据成本不变列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设2021年和2022年土豆平均亩产量的年增长率为．
根据题意，得，
解得，．（不合题意，舍去）
答：土豆平均亩产量的年增长率为．
（2）设增加土豆种植面积亩．
根据题意，得．
解得（不合题意，舍去），．
答：该合作社增加土豆的种植面积20亩时，才能保证土豆种植的总成本保持不变．
22．（12分）综合与实践
问题情境：如图1，四边形和都是正方形，点，分别在边和上，点在正方形的内部．
猜想证明：
（1）和的位置关系是 　　，和的数量关系是 　　．
（2）将正方形以为中心顺时针方向旋转到图2所示位置，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
问题解决：
（3）如图3，在正方形以为中心顺时针旋转的过程中，当点落在正方形的边上时，若，，则的长度是 　　．（请直接写出答案即可）

【答案】（1），；
（2）成立，理由见解析；
（3）．
【分析】（1）由正方形的性质即可得出结论；
（2）由正方形的性质，可证得△，可得，，再利用四边形内角和，可证得；
（3）连接，，由正方形的性质，可证得，设，则，在中，有，即可建立方程，再根据相似三角形得性质，即可求解．
【解答】解：（1）四边形和都是正方形，点，分别在边和上，
，，，
，，
即．
故答案为：，；
（2）成立，理由如下：
延长与交于点．

四边形和均为正方形，
，，，

，
，，
，
，
．
，
，即；

（3）连接，，如图，

四边形和均为正方形，
，，，
，，
，，
，
，
设，则，
，，
，
在中，，
，
解得，，
点落在正方形的边上，
，
，
．
故答案为：．
23．（13分）综合与探究
如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点．点在第一象限内的抛物线上．
（1）请直接写出点，，的坐标；
（2）若，求出点的坐标；
（3）如图2，在满足（2）的条件下，连接交于点．则是否平分线段？请说明理由．

【答案】（1），，；
（2）；
（3）平分．理由见解析．
【分析】（1）分别将和代入函数表达式求解即可；
（2）设，根据三角形的面积公式将和的面积表达出来，即可进行解答；
（3）过点作轴，并且交直线于点．通过证明即可得出结论．
【解答】解：（1）当时，，
，
当时，，解得：，，
，．
，，；
（2）如图1，过点分别作轴，轴，垂足分别为，．

设，
．
，
，
，
解得：，（舍去），
当时，，
；
（3）平分．理由如下：
如图2，过点作轴，并且交直线于点，

设直线的解析式为，
把，代入，得：，
解得：．
直线的解析式为：．
点的横坐标为2，把代入，得．
点．
．
．
又，，
，
．
平分．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/9/19 13:36:48；用户：初中数学；邮箱：ffbs8bs@126.com；学号：210051