2023-2024学年上海市新中高级中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年上海市新中高级中学高一（上）月考数学试卷（10月份）

一、单选题（本大题共3小题，共9.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.用反证法证明“已知，，，求证：”时，应假设(    )

A.  B.  C. 且 D. 或 

2.设非空集合，，定义集合且，则集合是(    )

A.  B.  C.  D.

3.设，是实数，集合，，且，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共1小题，共3.0分。在每小题有多项符合题目要求）

4.关于的不等式的解集为，则下列正确的是(    )

A.
B. 关于的不等式的解集为
C.
D. 关于的不等式的解集为

三、填空题（本大题共10小题，共40.0分）

5.已知，则集合用列举法表示为______ ．

6.已知集合，，则 ______ ．

7.若，则实数 ______ ．

8.设集合，，，则集合与的关系是______ ．

9.已知，，，则下列命题为真命题的序号是______ ．
若，则；
若，且，则；
若，则；
若，则．

10.已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______ ．

11.已知集合，若，且，则实数的取值范围是______ ．

12.已知命题“存在，”为假命题，则实数的取值范围为______ ．

13.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”对于集合，若这两个集合构成“全食”或“偏食”，则实数的取值范围是______ ．

14.已知不等式的解集为，不等式的解集为，其中，是非零常数，则“”是“”的______ 条件选填“充分非必要”，“必要非充分”，“既非充分又非必要”，“充要”

四、解答题（本大题共5小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分
已知，，，证明：若，则，，中至少有一个小于；
已知，，，判断“”是“，，中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由．

16.本小题分
设全集，集合，．
若，求实数的取值范围；
若，，求．

17.本小题分
已知，不等式的解集为，不等式的解集为．
求实数的值及集合；
设集合，若，求的取值范围．

18.本小题分

行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离单位：与汽车的车速单位：满足下列关系：为常数，且，做了两次刹车实验，有关数据如图所示，其中．
求的值；
要使刹车距离不超过，则行驶的最大速度是多少？
若该型号的汽车在某一限速为的路段发生了交通事故，交警进行现场勘查，测得该车的刹车距离超过了，请问该车是否超速行驶？说明理由．

19.本小题分
已知函数，关于的不等式的解集为．
求实数，的值；
关于的方程的相异两根为，，是否存在这样的，使得若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
求关于的不等式的解集．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：用反证法证明“已知，，，求证：”时，应先假设或．
故选：．
熟记反证法的步骤，直接填空即可．反面有多种情况，需一一否定．
此题主要考查了反证法的第一步，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：
假设结论不成立；
从假设出发推出矛盾；
假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

2.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
所以．
故选：．
准确理解新定义，根据定义先求，再结合定义求．
本题考查集合的运算，属于基础题．

3.【答案】 

【解析】解：由题意得，，或，
因为，
所以或，
即或，即．
故选：．
先分别求出集合，，然后结合集合的包含关系即可求解．
本题主要考查了集合包含关系的应用，属于基础题．

4.【答案】 

【解析】解：由已知可得且，是方程的两根，A正确，
则由根与系数的关系可得：，解得，，
则不等式可化为：，即，所以，B错误，
，C正确，
不等式可化为：，即，
解得或，D正确，
故选：．
先由已知可得且，，然后代入各个选项验证是否正确即可．
本题考查了一元二次不等式的解法以及应用，涉及到不等式的性质问题，属于基础题．

5.【答案】 

【解析】解：因为，
当，时，，
当，时，，
当时，．
故答案为：．
由已知对，的正负进行分类讨论求出集合中的元素，即可求解．
本题主要考查了集合的表示方法，属于基础题．

6.【答案】 

【解析】解：集合，或，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合交集及其定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．

7.【答案】或 

【解析】解：，
，即，此时，符合题意；
，即，此时，，不满足元素的互异性，故舍去；
，即，经检验符合题意；
综上，或．
故答案为：或．
分三种情况讨论即得实数的值．
本题考查元素与集合的关系，属于基础题．

8.【答案】 

【解析】解：由，
得，即，即，
又由，即，
所以．
故答案为：．
根据绝对值不等式的解法和二次函数的性质，分别求得集合，，即可求解．
本题主要考查集合的运算，属于基础题．

9.【答案】 

【解析】解：若，，
则，故正确；
，
则，
，
则，
故，故正确；
，
则，即，
，
，故正确；
不妨设，，，满足，但，故错误；
故正确的命题数为．
故答案为：．
根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．

10.【答案】 

【解析】解：由：，得，
所以，所以：，
若，则：，此时满足是的充分不必要条件，
若，则：或，此时满足是的充分不必要条件，
若，则：或，此时要满足是的充分不必要条件，则，
综上，所以的取值范围为．
故答案为：．
根据不等式的解法求出命题，的等价条件，结合充分不必要条件的定义进行讨论求解即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出不等式的等价条件，结合充分不必要条件的定义建立不等式关系是解决本题的关键，是基础题．

11.【答案】 

【解析】解：集合，，，且，
则，即，
故实数的取值范围是．
故答案为：．
根据已知条件，结合集合交集、并集的定义，即可求解．
本题主要考查集合交集、并集的定义，属于基础题．

12.【答案】 

【解析】解：由特称命题的否定形式及真假可知：
“，”为假则其否定形式“，”为真命题，
显然当时符合题意，
当时，由一元二次不等式的恒成立问题得，解得，
综上可得，．
故答案为：．
根据已知条件，推得“，”为真命题，再分类讨论，并结合二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．

13.【答案】， 

【解析】解：集合，
，
若时，则，
即有，
即两个集合构成“全食”；
若，可得，
由，可得，解得，此时两个集合构成“全食”；
若，两个集合有公共元素，但互不为对方子集，
可得，解得，此时两个集合构成“偏食”．
综上可得，若这两个集合构成“全食”或“偏食”，则实数的取值范围是，．
故答案为：，．
讨论和，求得集合，再由新定义，得到的方程，即可解得的值．
本题主要考查集合的包含关系，属于中档题．

14.【答案】充分非必要 

【解析】解：不妨设，当时，若，，
则不等式的解集为，
不等式的解集为，可知；
若，，则不等式的解集为，
不等式的解集为，同样可得．
因此，“”可以推出“”．
反之，若，则可能，且，此时，，
所以由“”不可以推出“”．
综上所述，“”是“”的充分非必要条件．
故答案为：充分非必要．
根据一元二次不等式的解法，对两个不等式的解集加以讨论，结合充要条件的概念得出结论．
本题主要考查了一元二次方程与一元二次不等式的解法、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．

15.【答案】解：证明：假设，
则，这与矛盾，
所以，，中至少有一个小于；
由可得 ，，中至少有一个小于，
反之不一定成立，例如：，，，则，
所以“”是“，，中至少有一个小于“”的充分非必要条件． 

【解析】利用反证法即可证明；
利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果．
本题考查了反证法证明不等式、充分条件、必要条件的定义，属于基础题．

16.【答案】解：因为，
所以，即有实数根，
则，解得，
即的取值范围为；
 ，
，即，解得，
，，即，解得 ，
故A，，
此时，满足题意，
． 

【解析】由题意得，结合二次方程根的存在条件可得关于的不等式，可求；
由题意结合集合的交集及补集运算即可求解．
本题主要考查了补集及交集，并集运算，还考查了包含关系的应用，属于基础．

17.【答案】解：，不等式的解集为，
和是方程的两根，则．
解得．
不等式，即 ，即 ．
解得，因此，．
解不等式，解得，．
，或，解得 或．
因此，实数的取值范围是 ． 

【解析】由题意，和是方程的两根，由此求得值，再解分式不等式，求出．
先求出根据，可得或，由此求得的范围．
本题主要考查其它不等式的解法，交集运算，属于中档题．

18.【答案】解：在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离单位：与汽车的车速单位：满足下列关系：为常数，且，
做了两次刹车实验，有关数据如图所示，其中．
由题意得化简得
解得，因为，所以；
由于刹车距离不超过，即，所以，
因此，解得，
因为，所以，即行驶的最大速度为；
由题意知，即，即，
解得或，
由于，，因此该车已经超速行驶． 

【解析】根据给定条件，解不等式组求出值作答；
由求出函数解析式，再解一元二次不等式即可作答；
由题意知，解得或，和限速比较即可求解．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．

19.【答案】解：因为关于的不等式的解集为，
即不等式的解集为，
所以，
解得，，
所以．
方程变为，
由韦达定理得：，，
因为，
所以，
所以，
所以，
解得，
此时，
所以不存在这样的，使得．
由，
得，
即，
即，
所以若，则，
若，则不等式无解，
若，则，
综上所述，若时，不等式的解集为，
若时，不等式无解，
若时，不等式的解集为． 

【解析】根据题意可得不等式的解集为，即，解得，，即可得出答案．
方程变为，由韦达定理得：，，又，解得，且还需要判断是否满足，即可得出答案．
由，得，分类讨论不等式的解集，即可得出答案．
本题考查不等式的解集，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．