广东省广州天省实验学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

数学

一、选择题（单选，本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1．二次函数的图象如图所示，则该二次函数的顶点坐标为（    ）

第1题图

A． B． C． D．

2．一元二次方程用配方法可变形为（    ）

A． B． C． D．

3．将二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的解析式为（    ）

A． B． C． D．

4．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2021年至2023年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为，则可列方程为（    ）

A．  B．

C．  D．

5．关于的方桯的根的情况是（    ）

A．没有实数根  B．只有一个实数根

C．有两个不相等的实数根  D．有两个相等的实数根

6．已知点，，在抛物线上，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

7．在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是（    ）

A． B． C． D．

8．若函数与轴没有交点，则一次函数的图象不经过第（    ）象限．

A．一 B．二 C．三 D．四

9．如图，已知的顶点坐标分别为、、，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数的取值范围是（    ）

第9题图

A． B． C． D．

10．2022年11月20日，第二十二届世界杯足球表在卡塔尔拉开了序幕．32支球队的激烈角逐吸引着全世界亿万球迷的目光．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时到的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成拋物线．足球离地面高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：

下列结论不正确的是（    ）

A．足球飞行路线的对称轴是直线

B．足球在第9秒时落地

C．足球距离地面的最大高度为20米

D．足球被踢出5~7秒，距离地面的高度逐渐下降

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的为______．

12．二次函数的顶点在轴上；则______．

13．如图1是某公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽______米

第13题图

14．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则，的取值范围是______．

第14题图

15．如图，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段AB交于C、两点，且，则的值为______．

第15题图

16．二次函数（，，为常数，的图象如图所示，下列结论：①；②

；③；④；⑤，其中正确的结论有______．

第16题图

三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4分）解方程：

18．（4分）已知关于的方程的一个根是－1，求k的值；如果方程还有其他的根，请予求出．

19．（6分）设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量的部分对应取值如表所示：

（1）求此二次函数的解析式．

（2）______，______，并在图中画出二次函数的图象．

（3）当时，则的取值范围为______．

20．（6分）加强劳动教育，落实五育并举．为培养学生的劳动实践能力，学校计划在长为12m．宽为9m的矩形土地正中间建一座矩形的劳动实践大棚，并使大棚的占地面积为．建成后，大棚外围留下宽度都相同的区域，这个宽度应设计为多少米?

21．（8分）已知关于的一元二次方程．

（1）证明：无论取何值，此方程必有实数根；

（2）等腰三角形ABC中，，AC、BC的长是此方程的两个根，求的值．

22．（10分）某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：．

（1）当时，总利润为______元；

（2）若设总利润为元，则与的函数关系式是______；

（3）若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少?

23．（10分）已知抛物线，直线，的对称轴与交于点，，点与的顶点的距离是4．

（1）求的解析式；

（2）若随着的增大而增大，且与都经过轴上的同一点，求的解析式．

24．（12分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接AC、BC．

（1）求抛物线的表达式；

（2）D为抛物线上第一象限内一点，求面积的最大值；

（3）点是抛物线上的一动点，当时，求点的坐标．

25．（12分）在平面直角坐标系xOy，中，点在二次函数的图象上．

（1）当时，求抛物线的对称轴；

（2）若点在这个二次函数的图象上，结合函数图象作答；

①当这个函数的最小值为2时，求二次函数的解析式；

②当时，随的增大而增大，直接写出的取值范围．

10月练习答案与试题解析

选择：DCDCC    ACACC

，－2，20，，，①④⑤

17．两实数根2或4  18．略

19．【解答】解：（1）根据题意得，解得，

所以抛物线解析式为；

（2）当时，，即；当时，，即，

如图，

故答案为：1，4．

（3）

20．【解答】解：设这个宽度应设计为xm，则矩形大棚的长为，宽为，

由题意得：，

解得或，

因为当时，，不符题意，舍去，

所以这个宽度应设计为0.5m．

21．【解答】（1）证明：，

无论m取何值，此方程必有实数根；

（2）解：当为腰时，则AC或BC有一条边为腰，的解为1，

，

解得：，

时原方程两根为1和3，此时三角形三边为1，1，3，这样的三角形不存在，

不合题意，应舍去，

当为底时，则AC，BC为腰，

方程有两个相等的实数根，

，

解得，综上所述，m的值－3．

22．【解答】解：（1）当时，销售量为件，

利润为：（元），故答案为：400；

（2）由题意得：

，

（3），，解得：．

．

对称轴为，抛物线开口向下，

当时，随的增大而增大，

，

当时，有最大值，最大值为：．

销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元．

23．【解答】解：（1）抛物线，直线，的对称轴与交于点，点A与的顶点B的距离是4．

或，

，或9，

解得，或8，

的解析式为或；

（2）①当的解析式为时，抛物线与轴交点是（0，0）和（－2，0），

的对称轴与交于点，

与都经过x轴上的同一点，

把，代入得，

解得，．

②当时，解得或2，

随着的增大而增大，且过点，

与都经过轴上的同一点，

把，代入得，

解得；．

24．【解答】解：（1）抛物线与x轴交于、两点，

与y轴交于点，

，解得：．

抛物线的表达式为；

（2）如图，过点D作轴交BC于点E，交x轴于点F，

，直线BC解析式为，

设，则，

为抛物线上第一象限内一点，

，

，

当时，面积最大，最大值为16；

（3）①当点P在BC上方时，如图，

，，点C，P的纵坐标相等，点P的纵坐标为4，

令，则，解得：或，；

②当点P在BC下方时，如图，

设PC交x轴于点H，，．

设，，

在中，

，，解得：，

．

设直线PC的解析式为，，解得

，，解得，，

综上所述，点P的坐标为或．

25．【解答】解：（1）把代入得，，

抛物线对称轴为直线．

（2）①函数最小值为2，

点为抛物线顶点，且抛物线开口向上，

把代入得，

抛物线与y轴交点坐标为，

点在抛物线上，

抛物线对称轴为直线，

，解得，

把代入得，

解得，．

②抛物线的对称轴为直线，

i）当时，时y随x增大而增大，

即，解得，

在抛物线上，

，解得，

ii）当时，时y随x增大而增大，

，解得，

在抛物线上，，

当时，，解得，

当时，，解得，

．综上所述，或．