苏科版初中数学八年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析）

苏科版初中数学八年级上册期中测试卷

考试范围：第一 二 三章 考试时间 ：120分钟  总分 ：120分

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图，是的角平分线，于点，，和的面积分别为和，则的面积为
(    )
 

A.  B.  C.  D.

2.如图，，，，于，的延长线交于，下列结论：；；；，其中正确的结论为(    )
 

A.  B.  C.  D.

3.如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

4.如图，在中，，平分，交于点已知，，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

5.如图，和都是等边三角形，连接，，，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.在中，，，边上的高，则另一边等于
(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7.若中，，高，则的长为
(    )

A.  B.  C. 或 D. 以上都不对

8.如图，在等腰中，，平分，平分，、分别为射线、上的动点，若，则的最小值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.如图，已知点、、、在同一条直线上，，，添加一个条件仍无法证明≌是(    )

A.  B.  C.  D.

10.在联合会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的                                     (    )

A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三边中垂线的交点 D. 三边上高的交点

11.锐角中，，，，于点则的值为

A.  B.  C.  D.

12.如图，中，，，将它沿翻折得到，点、、分别为线段、、上的动点，则的最小值是(    )
 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.如图，在中，，，，平分交于点，、分别是、上的动点，则的最小值为________．


 

14.如图，在四边形中，，，对角线，相交于点，下列结论：；与相互平分；，分别平分四边形的两组对角；四边形的面积其中正确的是_____________填写所有正确结论的序号．
 

15.如图，与关于直线对称，则的度数为        ．

16.如下图所示，平分，，于点，，，那么的长度为__________．
 

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

如图，、分别是与的中线，且求证：．

18.本小题分
如图所示，工人赵师傅用块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙、和、，点在上，已知，．
求证：≌；
求的长．

19.本小题分
如图所示，、是的高，点在的延长线上，，点在上，．
探究与之间的关系；
若把中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论．

 

20.本小题分
如图，是等边三角形，，，垂足分别为、，、相交于点，连接．

判断的形状，并说明理由．
若，求的长．

21.本小题分

如图，在中，边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于，与相交于点，若，求的度数．

22.本小题分

如图，在和中，，，，连接、交于点，与交于点，与交于点．

试判断、之间的关系，并说明理由；

连接，从下面两个结论中选择你认为正确的一个，并说明理由．

射线平分   射线平分

23.本小题分
如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：≌．

24.本小题分

如图，中，，，垂足分别为、，为的中点．
求证：；
若，求的度数．

25.本小题分

如图，和都是等腰直角三角形，，点在边上，点在边的左侧，连接．
求证：；
试探究线段、与之间的数量关系；
过点作交于点，若：：，，求线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质及三角形面积．
过点作于点，在上取一点，连接，使利用角平分线的性质得到，进而得出一组三角形全等，将的面积转化为的面积来求即可．
【解答】
解：如图，过点作于点，在上取一点，连接，使．
 

，，
．

是的角平分线，，，

，．

在和中，

，

，

．

在和中，
 

，

．
在和中，
≌，
．

和的面积分别为和，

，

．
故选：．

2.【答案】 

【解析】【分析】如图，过点  分别作  的垂线交  及  的延长线于点  ，证明  ，  ，  即可得结论；延长  至  ，使  ，连接  证明  ，取  的中点  ，连接  并延长至  ，使得  ，可得  ，证明  ，  ，则可得   ，即  ，  ；由可知    ，故  不一定等于  ；，由可知，  ，则  ，由  可得  即可得 

【详解】解：如图，过点  分别作  的垂线交  及  的延长线于点  ，

 ，，  ，

同理可得 

又 

故正确

如图，延长  至  ，使  ，连接 

 ， 

如图，取  的中点  ，连接  并延长至  ，使得  ，

 是  的中点，

 ，

 ， 

又 

如图，由可知    ，故  不一定等于 

故不正确

如图，由可知， 

故正确

综上所述，故正确的有

故选B

【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

为等边三角形，，，
，，，，
为等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
当时，值最小，
此时，，，
，
故选：．
连接，由等边三角形的性质可得三角形全等的条件，从而可证≌，推出，再由垂线段最短可知当时，值最小，利用含的直角三角形的性质定理可求的值．
本题考查了构造全等三角形来求线段最小值，同时也考查了所对直角边等于斜边的一半及垂线段最短等几何知识点，具有较强的综合性．

4.【答案】 

【解析】解：如图，

作于，
，平分，
，
，
故选：．
作于，根据角平分线性质可得，，进而得出结果．
本题考查了角平分线的性质，解决问题的关键是熟练掌握角平分线的性质．

5.【答案】 

【解析】解：和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
设，
则，
，，
，
，
．
故选：．
根据等边三角形的性质证明≌，可得，设，则，，，然后根据三角形内角和定理即可解决问题．
本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质，解决本题的关键是能够熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质．

6.【答案】 

【解析】【分析】

分两种情况考虑，如图所示，分别在直角三角形与直角三角形中，利用勾股定理求出与的长，即可求出的长． 
此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

【解答】

解：根据题意画出图形，如图所示，

如图所示，，，，
在和中，
根据勾股定理得：，，
此时；
如图所示，，，，
在和中，
根据勾股定理得：，，

此时，
则的长为或．
故选C．

7.【答案】 

【解析】解：如图，锐角中，，，边上高，
在中，，由勾股定理得
，
则，
在中，，由勾股定理得
，
则，
故BC；
钝角中，，，边上高，
在中，，由勾股定理得
，
则，
在中，，由勾股定理得
，
则，
故BC的长为．
故选：．
分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得，，再由图形求出，在锐角三角形中，，在钝角三角形中，．
本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查轴对称最短路线问题、等腰直角三角形、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点过点作于点，交的延长线于点，过点作于点，得出，此时的值最小，过点作于点，设，求出和的长，再利用等积法求出的长，即可得出答案．
【解答】
解：如图，过点作于点，交的延长线于点，过点作于点，

平分，
，
，此时的值最小，
过点作于点，设，
，
在等腰中，，平分，
，，，
，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故选A．

9.【答案】 

【解析】解：若添加：．
，，，
≌；
若添加：，则，
，，，
≌；
若添加：，
，，，
≌；
若添加：，则无法证明≌；
故选：．
已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边，即可得到结论．
本题主要考查了全等三角形的判定，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

10.【答案】 

【解析】解：三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等，
凳子应放在的三条垂直平分线的交点最适当．
故选：．
为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．

11.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查勾股定理以及方程的应用；根据已知条件画出相应的图形是解此题的关键；如图，可设，则，在中求出，在中求出，从而可得方程，求出的值即可求出的值，从而求出的值，最后再求的值．
【解答】
解：如图所示，

设，则，
在中，，
在中，，
，
解得：，
即，，
．
故选D．

12.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
首先证明四边形是菱形，作出关于的对称点，再过作，交于点，此时最小，求出即可．
【解答】
解：作出关于的对称点，再过作，交于点，此时最小，此时，过点作于，过点作于，

沿翻折得到，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
由勾股定理可得，，
，
，
，
最小为．

13.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称，解决最短问题．
在上取点，使，过点作，垂足为因为，推出当、、共线，且点与重合时，的值最小．
【解答】
解：如图所示：在上取点，使，过点作，垂足为．


在中，依据勾股定理可知，
，
，
，
当，，共线，且点与重合时，的值最小，最小值为．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，
根据题意逐项进行判断即可得到结果．

【解答】

解：在和中，
，
≌，
，
故结论正确；
≌，
，
，
，，
而与不一定相等，所以与不一定相等，
故结论不正确；
由可知：平分四边形的、，
而与不一定相等，所以不一定平分四边形的对角；
故结论不正确；
，
四边形的面积．
故结论正确；
所以正确的有：．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】解：与关于直线对称，
；
．
故答案为：．
由已知条件，根据轴对称的性质可得，利用三角形的内角和等于可求答案．
本题主要考查了轴对称的性质与三角形的内角和是度，解决本题的关键是明确≌．

16.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查的是全等三角形的判定和性质过点作于点，先根据证明≌，从而得到，，再根据证明≌，从而得到，进一步得到，代入数值进行计算即可．
【解答】
解：过点作于点，

平分，，，
，，
在和中，
≌，
，，
，，
，
在和中，
≌，
，
，
，，
．
故答案为．

17.【答案】如图，过点作，交的延长线于点．是的中线，，，，F.在和中，，，，．，作于点，易证，又是的中线，．，在和中，．

【解析】见答案

18.【答案】证明：，，
同角的余角相等．
在与中，
，
≌；
由题意知，，．
由知，≌，
，，
． 

【解析】根据全等三角形的判定定理证得结论；
利用中全等三角形的对应边相等得到：，，则．
本题主要考查了全等三角形的应用，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．

19.【答案】结论：，
证明：、是的高，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
而，
，
即，
；
即，；
上述结论成立，理由如下：
如图所示：

、是的高，
，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
即，． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
由条件可得出，可证得≌，可得结论；
根据题意画出图形，结合可证得≌，可得结论．

20.【答案】 解：是等边三角形，
理由：
是等边三角形，且，，
， ， ；而，
，
是等边三角形；
由知：
、分别是的中线，
，而，
． 

【解析】该题主要考查了等边三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握等边三角形的判定及其性质．
证明，，即可解决问题．
证明，即可解决问题．

21.【答案】解：，，
，
，
，，
，，
． 

【解析】根据四边形内角和定理和等腰三角形的性质求出，由，，计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．

22.【答案】解：且．
理由如下：
，
，
即，
，，
≌，
，，
，
，
，
且．
正确，
理由如下：过点作于，于，

≌，
，
，
，
，
，，
平分，
故正确． 

【解析】此题考查了全等三角形的性质及其判定有关知识．
根据，可得，已知，，可得≌，则，，，即且；
过点作于，于，利用≌得出，然后再解答即可．

23.【答案】证明：，
，
，
，
即，
在与中，
，
≌． 

【解析】根据平行线的性质和证明≌即可．
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．

24.【答案】证明：，，为的中点，
，，
；
解：，，
，
，，
、、、四点共圆，
． 

【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，得到答案；
根据四点共圆的判定得到、、、四点共圆，根据圆周角定理得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质和四点共圆的知识，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．

25.【答案】证明：和都是等腰直角三角形
，，
，
≌，
．

解：由得≌，
，
又是等腰直角三角形，
，
，
在中，，且，
，
，
，

解：连接，设，

：：，则，
都是等腰直角三角形，，
，
由、可得，在中，
，
，
解得，
． 

【解析】根据证明≌可得结论；
证得，根据勾股定理可得出结论；
连接，设，则，，根据，得出方程，解方程求出的值，则的长可求出．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．