第4章 图形的相似复习课 北师大版九年级数学上册学案

单元复习课

第四章　图形的相似

　平行线分线段成比例

平行线分线段成比例是相似的基础，也是求线段长的一种方法．在中考命题时，常以选择题和填空题形式出现．

1．(2020·上海期中)已知线段a，b，c，求作线段x，使x＝，以下作法正确的是(C)

2. (2021·攀枝花质检)如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A，B，C和点D，E，F, ＝，DE＝1.5，则EF的长为__6__．

方法·技巧

　利用平行线分线段成比例定理时，先确定对应线段，然后写出比例式，注意比例式不唯一．

　特别提醒

用平行线分线段成比例定理时，易出错的地方是线段没有对应，为减少错误，应用时可把在同一条直线上被截得的两条线段安排在比例的一边．

　相似三角形的判定与性质

相似三角形的判定和性质是中考常见考点，相似三角形的判定方法有多种，解题时要合理选用判定方法，相似三角形的性质在应用时经常结合判定．

1. (2019·枣庄中考)如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积为9.若AA′＝1，则A′D等于(B)

A．2 B．3 C．4 D．

2. (2020·眉山中考)如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG.以下四个结论：①∠EAB＝∠GAD；②△AFC∽△AGD；③2AE2＝AH·AC；④DG⊥AC.

其中正确的个数为(D)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3. (2020·乐山中考)把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连接BE交AC于点F.则＝____．

4．(2020·杭州中考)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB.

(1)求证：△BDE∽△EFC.

(2)设＝.

①若BC＝12，求线段BE的长；

②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．

【解析】(1)∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，

∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，

∴△BDE∽△EFC.

(2)①∵EF∥AB，∴＝＝，

∵EC＝BC－BE＝12－BE，

∴＝，解得：BE＝4.

②∵＝，∴＝，

∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，

∴＝＝＝，

∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45.

5．(2020·福建中考)如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P.

(1)求∠BDE的度数；

(2)F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC.

①判断DF和PF的数量关系，并证明；

②求证：＝.

【解析】见全解全析

　相似三角形的应用

主要考查利用相似三角形的判定和性质测量物体的高度、宽度或两点间的距离．

1. (2020·绍兴中考)如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2∶5，且三角板的一边长为8 cm.则投影三角板的对应边长为(A)

A．20 cm B．10 cm C．8 cm D．3.2 cm

2. (2020·上海中考)《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为__7__米．

方法·技巧

1．利用相似三角形解决应用问题的一般步骤

建立数学模型→判定三角形相似→利用相似三角形的性质→求解未知线段．

2．特别提醒

(1)利用镜面反射测物高注意应用反射角等于入射角.

(2)利用影长测物高时，注意灯光与阳光的区别．

　位似

位似图形常与平移、旋转、轴对称进行综合命题，主要考查学生的动手操作能力，常用填空题的形式考查．

1. (2020·盘锦中考)如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A(5，0)，O(0，0)，B(3，6)，以点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是__(2，4)或(－2，－4)__．

2. (2019·百色中考)如图，△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A(2，2)，B(3，4)，C(6，1)，B′(6，8)，则△A′B′C′的面积为__18__．

方法·技巧

1．位似判断：相似是前提，对应点的连线都过同一点是保证．

2．作图原理：位似中心在对应点连线上且两对应点与位似中心的距离之比等于相似比．

3．位似与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.

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