辽宁省锦州市渤海大学附属高级中学2024届高三上学期第二次考试 数学试题及答案

 2024高三第二次考试数学试题参考答案

一、单选题

1．【详解】对于集合，；对于集合，，所以.故选：A

2．【详解】,

则 ，即z的共轭复数在复平面内所对应的点位于第三象限，故选：C

3．【详解】四张电影票编号为1，2，3，4，任取2张的基本事件有：12，13，14，23，24，34，共6种，其中相邻的是12，23，34共3种，所求概率为．故选：A.

4．【详解】由，

得，故是以为周期的函数，

则，又当时，，则，

所以.故选：C.

5．【详解】，，，成等比数列，故，，，，成等差数列，故，因为，，所以，当且仅当时等号成立，故的最小值是4.故选：D

6．【详解】若“，使得”为假命题，可得当时，恒成立只需又函数在上单调递增，所以.故选：B

7．【详解】由题设，，即在R上为奇函数；在上，故在上递增，易知：在R上递增，

又，则，即上；

令，则，故上，递增；上，递减，而，，此时；综上，的最小值为.故选：A

8．【详解】，而，

令，则，，

∴时，递减；而，，

∴上，即递减，则在上，

∴由，则，即.综上，.故选：D

二、多选题

9．【详解】对A：由可得，

所以或，所以A错误.对B：由可得，所以，

所以是的充分不必要条件，所以B正确.

对C：由，当且仅当时取等号，

但是，所以，所以C错误.

对D：若当时，不等式恒成立，①当时，不等式为恒成立，满足题意；②当时，只要，解得；

所以不等式的解集为，则实数的取值范围为，D错.选：ACD

10．【详解】A. ，故错误；

B. ，故正确；

C. ，故正确；

D. 因为，所以 ，所以，故错误.选：BC

11．【详解】为奇函数，，且，函数关于点，偶函数，，函数关于直线对称，

，即，，

令，则，，，故的一个周期为4，故A正确；则直线是函数的一个对称轴，故B不正确；当时，，，，

又，，解得，，，

当时，，故C不正确；

，故D正确.故选：AD.

12【详解】，

∴上，即上递减，则，∴A错误，B正确；

令，则在上，即递减，

∴时，有，C正确；

，则等价于，等价于，

令，则，，

∴当时，，则递增，故；

当时，，则递减，故；

当时，存在使，∴此时，上，则递增，；上，则递减，∴要使在上恒成立，则，得.综上，时，上恒成立，时上恒成立，∴若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1，正确.故选：BCD

三、填空题

13．【详解】在处的切线与直线垂直，，

又，，解得：.答案为：.

14.【详解】因为是函数的两个零点，

可得，由，可得，即，解得或，

因为，所以，

即，所以

15.【详解】设该污染物排放前需要过滤的次数为，则由题意得

，即，所以，，

，所以，

因为，，所以，所以，

因为，所以的最小值为8，

16.【详解】∵，①

∴，又函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数，

∴，②由①②得，，

不等式为，（*），

设，这是一个增函数，当时，，

（*）变为，，

若存在，使不等式成立，则为：存在，使成立，由于，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值是．∴．

四、解答题

17．（满分10分）

【详解】（1）解：（1）设等差数列的公差为，由已知得

                                            ------2分

解得，                                                    ------4分

所以数列的通项公式为；                                 ------5分

（2）解：由（1）得，               ------6分

所以

                                             ------8分

                                                ------10分

18．（满分12分）

【详解】（1）由，

因为，                                     ------2分

所以，                           ------4分

 ------6分

（2）∵，，∴，                        ------7分

 ∴，                                         ------9分

，                                       ------11分

∴．                    ------12分

19．（满分12分）

【详解】（1）根据题中信息可得如下列联表：

，                              ------4分

注意：填表1分，计算结果准确值2分，保留小数点后三位的结果1分，共4分

因此，在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”； -----5分

（2）根棉花纤维中“短纤维”共根，其中，地的“短纤维”共根，

所以，随机变量的可能取值有、、，

，                                                ------6分

，                                               ------7分

，                                                ------8分

所以，随机变量的分布列如下表所示：

所以，；                              ------10分

（3）从地棉花（大量的棉花）中任意抽取根是“长纤维”的频率是，所以，，故.                                ------12分

20．（满分12分）

【详解】（1）解：已知①，

则，                                               ------1分

且②，

，得，整理得，                  ------2分

∴，，，，

由累乘法可得，                           ------4分

又，，符合上式，                                         ------5分

所以数列的通项公式为.                                  ------6分

（2）由（1）可知，，

因为，所以，                         ------7分

则数列是首项为1，公比为的等比数列，                       ------8分

∴，                                             ------10分

，即，得证.                                    ------12分

21．（满分12分）

【详解】（1）（i）假设面包师说法是真实的，则每个面包的质量

由已知结论可知，                                    ------2分

由附①数据知，

                                      ------4分

（ii），由附②知，事件“”为小概率事件，

由题25个面包质量的平均值，

小概率事件“”发生所以庞加莱认为面包师的说法不真实，进行了举报 ------6分

（2）由题意，设随机挑选一箱，取出两个面包，其中黑色面包个数为，则的取值为0，1，2

设“所取两个面包来自第箱”，所以               ------7分

设“所取两个面包有个黑色面包”，由全概率公式

，        ------8分

，    ------9分

，      ------10分

所以黑色面包个数的分布列为

所以                           ------12分

22．（满分12分）

【详解】（1）设，

则，                                     ------1分

故在上单调递减．

因为（1），                                                   ------2分

所以当时，；当时，；当时，．

即当时，；                                         ------3分

当时，；                                             ------4分

当时，．                                             ------5分

（2）①因为，所以，

令，得；令，得，

则在上单调递减，在上单调递增，                       ------6分

故．

因为有两个零点，所以，即．

因为，，                             ------7分

所以当有两个零点时，的取值范围为．                     ------8分

②证明：因为，是的两个零点，

不妨设，则．

因为，，                                 ------9分

所以，，

即，，                                    ------10分

则，即，

即．                                         

因为，所以，则，即．          ------12分

参考答案，仅供参考

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