2024省双鸭山一中高一上学期10月月考试题数学含解析

双鸭山市第一中学2023-2024学年度高一（上）学期

数学月考试题

本试卷满分150分，考试时间120分钟.

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1 设集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 设命题P：，，则为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

3. 设，则是的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 正实数a，b满足，，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知不等式的解集为，则不等式的解集是（    ）

A.  B.

C 或 D. 或

6. 若a，R，记，则函数(R)的最大值为（    ）

A. 0 B.  C. 1 D. 3

7 若，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 已知定义在上的函数，对，满足，，且对都有，则关于a的不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9. 若集合是全集的真子集，且，则下列命题正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 若a，，则下列命题正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

11. 下列说法正确的是（    ）

A. 函数的定义域可以是空集

B 函数图像与y轴最多有一个交点

C. 函数的单调递增区间是

D. 若，则定义域、值域分别是，

12. 若定义在上的函数满足，则下列说法成立的是（    ）

A. 无理数，，

B. 对任意有理数m，有

C. ，

D. ，

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 已知集合，，若，则实数s的值是______．

14. 若的定义域为，则函数的定义域为______．

15. 若两个正实数x，y满足，且存在，使不等式有解，则实数k的取值范围为______．

16. 若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数取值范围是______．

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 解下列不等式：

（1）；

（2）．

18. 已知集合，．

（1）若，求；

（2）若，求实数m的取值范围．

19. 已知函数．

（1）求，，的值；

（2）若，求m的值；

（3）求不等式的解集．

20. 已知函数的图像过点．

（1）求实数m的值；

（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明；

21. 已知定义在上的函数满足，二次函数的最小值为，且．

（1）分别求函数和的解析式；

（2）设，，求的最小值．

22. 已知函数，（）．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若对任意，不等式恒成立，求取值范围；

（3）若对任意，存在，使得，求的取值范围．

双鸭山市第一中学2023-2024学年度高一（上）学期

数学月考试题

本试卷满分150分，考试时间120分钟.

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据交集定义求解即可.

【详解】解：因为，，

所以=.

故选：C.

2. 设命题P：，，则为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案.

【详解】命题P：，，

则为，.

故选：B.

3. 设，则是的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先求解一元二次不等式，再由集合的包含关系得出结果.

【详解】设，

或，

所以，所以是充分不必要条件.

故选：A

4. 正实数a，b满足，，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得，，再利用基本不等式求解即可．

【详解】，，且，

，当且仅当，即，时，等号成立，

即的最小值为．

故选：A．

5. 已知不等式的解集为，则不等式的解集是（    ）

A.  B.

C. 或 D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】由已知不等式的解集与一元二次根的关系求得，再代入所求不等式后解之即得．

【详解】不等式的解集为，则方程的两根为和3，

所以，解得，

不等式为，即，或．

故选：D．

6. 若a，R，记，则函数(R)的最大值为（    ）

A. 0 B.  C. 1 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意作出函数的图象，进而求出函数的最大值.

【详解】比较函数与函数值的大小，取较小值，得到如图所示的图像：

当时，令，则解得，；

当时，令，则，解得，

所以函数与的交点坐标为，

，

由图可知时，函数有最大值1.

故选：C.

7. 若，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据构造函数，结合函数的单调性以及和“1”比较大小得出结果.

【详解】设函数，则在上单调递增，

故，即，又，即.

故选：B．

8. 已知定义在上的函数，对，满足，，且对都有，则关于a的不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】确定函数单调递减，计算，题目变换为，即，解得答案.

【详解】取，则，即，

故在上单调递减，

，

解得，

从而，即，则，

解得

所以原不等式的解集是．

故选：D.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9. 若集合是全集的真子集，且，则下列命题正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据题意作出Venn图，再逐一判断即可.

【详解】解：由题意可知，集合的关系如图所示：

由此可得，故A正确；

，故B错误；

，故C正确；

不一定为，故D错误.

故选：AC.

10. 若a，，则下列命题正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据不等式的性质可判断AB；利用基本不等式求最值可判断CD.

【详解】对于A，若，则，故A正确；

对于B，若，则，故B正确；

对于C，若，则，当且仅当时等号成立，但，故C错误；

对于D，若，则，当且仅当即等号成立，但，

所以，故D正确.

故选：ABD.

11. 下列说法正确的是（    ）

A. 函数的定义域可以是空集

B. 函数图像与y轴最多有一个交点

C. 函数的单调递增区间是

D. 若，则定义域、值域分别是，

【答案】BD

【解析】

【分析】根据函数的概念、单调性、定义域与值域，依次分析选项是否正确，综合可得答案．

详解】根据题意，依次分析选项：

对于A，函数的定义域为非空数集，不能为空集，A错误；

对于B，由函数的定义，函数的图像与直线（轴）最多有一个交点，B正确；

对于C，函数的单调递增区间是和，C错误；

对于D，若，则定义域满足，解得，

即函数定义域为，又，，

所以，即函数的值域为，D正确；

故选：BD．

12. 若定义在上的函数满足，则下列说法成立的是（    ）

A. 无理数，，

B. 对任意有理数m，有

C. ，

D. ，

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据函数的解析式逐项判断可得答案.

【详解】对于A，若x为有理数，则为无理数，所以，，A错误；

对于B，对任意有理数m，则，x同为有理数或无理数，所以成立，B正确；

对于C，若x为有理数，则，若x为无理数，

则，C正确；

对于D，比如，，则，D正确．

故选：BCD.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 已知集合，，若，则实数s的值是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据子集的定义进行计算即可.

【详解】因为，又，所以，即.

故答案为：.

14. 若的定义域为，则函数的定义域为______．

【答案】

【解析】

【分析】结合抽象函数定义域的求法可得答案.

【详解】由已知可得，解得，

则函数的定义域为,

故答案为：,

15. 若两个正实数x，y满足，且存在，使不等式有解，则实数k的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】设，根据均值不等式以及“1”的妙用求的最大值，再解一元二次不等式得出结果.

【详解】依题意可得，存在，使不等式有解，

设，

，

当时，即时取等号.

所以.

所以，即，解得

实数k的取值范围为.

故答案为：.

16. 若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】求出给定函数的定义域，求出函数在上的取值集合，再分段讨论列出不等式求解作答.

【详解】依题意，函数的定义域为，

因函数在上单调递增，因此函数在上的取值集合为，

而函数的定义域和值域的交集为空集，则，

当时，，此时的定义域和值域的交集不为空集，因此，

函数在上单调递减，此时，

由的定义域和值域的交集为空集，得，解得或，于是得，

所以正数取值范围是.

故答案为：

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 解下列不等式：

（1）；

（2）．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）原不等式可化为，再根据一元二次不等式解集公式得出结果；

（2）先移项再通分转化为，由分子恒为正数，得出分母大于零求得结果.

【小问1详解】

原不等式可化为，即，

解得或，

所以原不等式的解集为.

【小问2详解】

原不等式可化为，，

因为，

所以，即.

所以原不等式的解集为.

18. 已知集合，．

（1）若，求；

（2）若，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）将代入，求出集合，，再根据并集的定义求解即可；

（2）根据题意，列出不等式组求解即可.

【小问1详解】

解：当时，，

所以或，

所以或= 或；

【小问2详解】

解：因为，

当， 即， 时，因为，不满足题意；

当时，则有，解得；

综上所述，实数m的取值范围为.

19. 已知函数．

（1）求，，的值；

（2）若，求m的值；

（3）求不等式的解集．

【答案】（1），，；   

（2）或；   

（3）．

【解析】

【分析】（1）将分别代入求解即可；

（2）分、分别求解即可；

（3）分、分别求解即可.

【小问1详解】

解：因为函数，

所以，，；

【小问2详解】

解：当时，，解得或（舍去）；

当时，，解得．

所以m的值为或；

【小问3详解】

解：当时，，解得，即；

当时，，解得．

所以n的取值范围为.

20. 已知函数的图像过点．

（1）求实数m的值；

（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明；

【答案】（1）；   

（2）单调递增，证明见解析；

【解析】

【分析】（1）将点代入解析式中，即可得到结果；

（2）根据题意，由单调性的定义法证明即可.

【小问1详解】

将点代入函数中，可得，

解得.

【小问2详解】

单调递增，证明如下.

由（1）可得，

任取，则

，因为，

则，，，即，

所以，即，

所以在区间上单调递增.

21. 已知定义在上的函数满足，二次函数的最小值为，且．

（1）分别求函数和的解析式；

（2）设，，求的最小值．

【答案】（1），；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）通过构造方程组的方法求得，设，根据已知条件可得的解析式；

（2）求出，分、、讨论可得答案.

【小问1详解】

定义在上的函数满足①，

可得②，

由①②可得；

设二次函数，

因为的最小值为，且，

所以，解得，

可得；

【小问2详解】

，

当时，在上单调递增，

所以，

当时，在上单调递减，

所以，

当时，所以，

所以．

22. 已知函数，（）．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；

（3）若对任意，存在，使得，求的取值范围．

【答案】（1）或   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）将代入不等式，解该一元二次不等式即可；

（2）转化为一元二次不等式恒成立问题，利用即可解得参数的范围；

（3）对任意，存在，使得，转化为的值域包含于的值域.同时对值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论，最终解不等式组求解.

【小问1详解】

当时，由得，

即，解得或．

所以不等式的解集为或．

【小问2详解】

由得，

即不等式的解集是．

所以，解得．

所以的取值范围是．

【小问3详解】

当时，．

又．

①当，即时，

对任意，．

所以，此时不等式组无解，

②当，即时，

对任意，．

所以解得，

③当，即时，

对任意，．

所以此时不等式组无解，

④当，即时，

对任意，．

所以此时不等式组无解．

综上，实数的取值范围是．

【点睛】关键点点睛，本题中“对任意，存在，使得”这一条件转化为函数值域的包含关系是解决问题的关键，而其中二次函数在闭区间上的值域问题，又需要针对对称轴与区间的相对位置进行讨论.