新高考数学二轮培优精讲精练专题04 数列的通项、求和及综合应用（含解析）

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专题04 数列的通项、求和及综合应用
【命题规律】
数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有．其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度．往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合．在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．数列与数学归纳法的结合问题，也应适度关注．
【核心考点目录】
核心考点一：等差、等比数列的基本量问题
核心考点二：证明等差等比数列
核心考点三：等差等比数列的交汇问题
核心考点四：数列的通项公式
核心考点五：数列求和
核心考点六：数列性质的综合问题
核心考点六：实际应用中的数列问题
核心考点七：以数列为载体的情境题
【真题回归】
1．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
2．（2022·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
【答案】2
【解析】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
3．（2022·全国·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【解析】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
4．（2022·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【解析】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
5．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
【解析】（1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，
即证，
而显然成立，所以；
（3）因为
，
所以
，
设
所以，
则，
作差得
，
所以，
所以.
6．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【解析】（1）因为，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
（2）因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以

【方法技巧与总结】
1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列满足（常数）（，）不能判断数列为等差数列，需要补充证明；
2、数列满足，则是等差数列；
3、数列满足，为非零常数，且，则为等比数列；
4、在处理含，的式子时，一般情况下利用公式，消去，进而求出的通项公式；但是有些题目虽然要求的通项公式，但是并不便于运用，这时可以考虑先消去，得到关于的递推公式，求出后再求解．
5、遇到形如的递推关系式，可利用累加法求的通项公式，遇到形如的递推关系式，可利用累乘法求的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验．
6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式：
（1）形如（，），可变形为，则是以为首项，以为公比的等比数列，由此可以求出；
（2）形如（，），此类问题可两边同时除以，得，设，从而变成，从而将问题转化为第（1）个问题；
（3）形如，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，设，则有，从而将问题转化为第（1）个问题．
7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为进行讨论．
8、用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：，，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．
常见的裂项公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
9、用错位相减法求和时的注意点：
（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；
（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
10、分组转化法求和的常见类型：
（1）若，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前项和；
（2）通项公式为，其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和；
（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题．
11、在等差数列中，若（，，，，），则．
在等比数列中，若（，，，，），则．
12、前项和与积的性质
（1）设等差数列的公差为，前项和为．
①，，，…也成等差数列，公差为．
②也是等差数列，且，公差为．
③若项数为偶数，则，．
若项数为奇数，则，．
（2）设等比数列的公比为，前项和为
①当时，，，，…也成等比数列，公比为
②相邻项积，，，…也成等比数列，公比为．
③若项数为偶数，则，；项数为奇数时，没有较好性质．
13、衍生数列
（1）设数列和均是等差数列，且等差数列的公差为，，为常数．
①的等距子数列也是等差数列，公差为．
②数列，也是等差数列，而是等比数列．
（2）设数列和均是等比数列，且等比数列的公比为，为常数．
①的等距子数列也是等比数列，公比为．
②数列，，，，，
也是等比数列，而是等差数列．
14、判断数列单调性的方法
（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）．
15、求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理）
方法：利用数列的单调性；
方法2：设最大值项为，解方程组，再与首项比较大小．
【核心考点】
核心考点一：等差、等比数列的基本量问题
【规律方法】
利用等差数列中的基本量（首项，公差，项数），等比数列的基本量（首项，公比，项数）翻译条件，将问题转换成含基本量的方程或不等式问题求解．
【典型例题】
例1．（2022·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，，则（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，
由已知，
解得，

故选：D.
例2．（2022·江西·临川一中高三阶段练习（文））已知数列满足，，则=（    ）
A．80 B．100 C．120 D．143
【答案】C
【解析】因为，
所以，即，
等式两边开方可得：，即，
所以数列是以首项为，公差为1的等差数列，
所以，所以，
所以.
故选：C．
例3．（2022·新疆·高三期中（理））已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前4项之积为64，则（    ）
A．1 B． C．2 D．1或
【答案】D
【解析】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为，
因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以，
所以，，
故满足，解得，
又，
所以.
故选：D
例4．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前9项的和为（    ）
A．1 B．2 C．81 D．80
【答案】C
【解析】因为，所以，解得.
又，，成等比数列，所以.设数列的公差为，
则，即，整理得.
因为，所以.
所以.
故选:C.
例5．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知数列满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，，，
∴数列是首项为，公比为4的等比数列，
∴，
当时，

，
∵n＝1时，，∴，
，
故选：D.
例6．（2022·湖北·高三阶段练习）在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，设数列的前项和为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，由，，成等比数列，得，即，解得或（舍去），所以.从而，故
，
，
两式相减，得
，所以.所以.
故选：C.
例7．（2022·江苏无锡·高三期中）已知两个等差数列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（    ）
A．1460 B．1472
C．1666 D．1678
【答案】C
【解析】有两个等差数列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，
由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182，194是两个数列的相同项.
共有个，也是等差数列，
它们的和为，
这个新数列的各项之和为1666.
故选：C.
核心考点二：证明等差等比数列
【规律方法】
判断或证明数列是等差、等比数列常见的方法如下．
（1）定义法：对于的任意正整数：
①若为一常数，则为等差数列；
②若为常数，则为等比数列．
（2）通项公式法：
①若，则为等差数列；
（2）若，则为等比数列．
（3）中项公式法：
①若，则为等差数列；
②若，则为等比数列．
（4）前项和法：若的前项和满足：
①，则为等差数列．
②，则为等比数列．
【典型例题】
例8．（2022·吉林长春·模拟预测）已知数列满足：，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和．
【解析】（1）将两侧同除，
可得，，
又因为，
即数列是首项为1，,公差为1的等差数列．
（2）由（1）可知，，即，
则，

.
例9．（2022·河南·高三期中（理））已知数列的前项和为，，.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）当时，,
当时，由得，
∴，又∵，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，
∴，
∵，
∴是以1为首项，1为公差的等差数列
（2）由（1）知，∴
∵，
∴
∴
，
∴.
例10．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，.
(1)求，；
(2)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
【解析】（1）因为，
所以当时，，则，即，解得，
当时，，则，即，解得，
所以，.
（2）因为，
所以，且，
所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
故，则.
例11．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理））现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．
(1)设乙接到球的次数为，通过三次传球，求的分布列与期望；
(2)设第次传球后，甲接到球的概率为，
（i）试证明数列为等比数列；
（ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
【解析】（1）由题意知的取值为，
； ；
；
所以X的分布列为

0
1
2




所以；
（2）（i）由题意：第一次传球后，球落在乙或丙手中，则，
时，第次传给甲的事件是第次传球后，球不在甲手上并且第次必传给甲的事件，
于是有 ，即 ，
故数列是首项为，公比为的等比数列;
（ii） ，所以 ，
当时， ，所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数.
例12．（2022·湖南·宁乡一中高三期中）已知数列满足：，．
(1)求，；
(2)设，，证明数列是等比数列，并求其通项公式；
(3)求数列前10项中所有奇数项的和．
【解析】（1）依题意，数列满足：，，
所以.
（2），

.
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
（3），，
所以，
所以.
例13．（2022·河南·高三期中（理））已知数列的各项均不为0，其前项的乘积.
(1)若为常数列，求这个常数；
(2)若，设，求数列的通项公式.
【解析】（1）已知，当时，有，
因为为常数列，所以
故这个常数为2.
（2）已知，
所以当时，，
两边同时取对数，则，
当时，，，
因此的首项为1，且从第二项开始，是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，所以
所以数列的通项公式为.
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，.求数列的通项公式;
【解析】，，，即，解得：；
由题意知：；由得：，又，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，则.
例15．（2022·全国·高三专题练习）问题：已知，数列的前n项和为，是否存在数列，满足，__________﹖若存在．求通项公式﹔若不存在，说明理由．
在①﹔②；③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】选①：


，即是以2为公差，1为首项的等差数列
，即
当时，
显然，时，上式不成立，所以.
选②：当时，，即
所以
整理得
又，
所以从第二项起，是以2为公比，4为首项的等比数列
当时，，即
显然，时，上式成立，所以
选③：

又
是以2为公比和首项的等比数列
，即
核心考点三：等差等比数列的交汇问题
【规律方法】
在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可以达到减少运算量的目的．
【典型例题】
例16．（2022·河南·一模（理））已知等比数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项（其中是公差不为的等差数列）成等比数列？若存在，求出这项；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）当时，由得：，
，则，
为等比数列，等比数列的公比为；
当时，，，解得：，

（2）假设存在满足题意的项，
由（1）得：，又，；
成等比数列，，即，
成等差数列，，，
，
整理可得：，又，，
即，解得：，则，与已知中是公差不为的等差数列相矛盾，
假设错误，即不存在满足题意的项.
例17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)判断数列中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论．
【解析】（1），，则当时，，即，而，因此，数列是公比为2的等比数列，则，即，所以.
（2）记，由（1）知，，不妨假设存在三项成等差数列，则，因为，所以，令，则，于是有对是递增的，则，即，因此，即，其左边为负数，右边为正数，矛盾，所以数列中不存在成等差数列的三项．
例18．（2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习）已知在正项等比数列中成等差数列，则__________．
【答案】9
【解析】设正项等比数列的公比为，则，
因为成等差数列，所以，
即，又，
所以或（不符合题意，舍去）.
所以，
故答案为：9.
例19．（2022·湖北·高三期中）已知是等差数列，是等比数列，是数列的前n项和，，，则=______．
【答案】−1
【解析】因为是等差数列，且是数列的前n项和，所以，解得，
因为是等比数列，所以，
则.
故答案为：.
例20．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知等差数列的前项利为，若，，1成等比数列，且，则的公差的取值范围为______．
【答案】
【解析】因为，，1成等比数列，所以，所以，即，即．由，得，解得，即的公差的取值范围为．
故答案为：．
例21．（2022·上海·华东师范大学第一附属中学高三阶段练习）已知等差数列的公差不为零，等比数列的公比是小于1的正有理数．若，，且是正整数，则的值可以是______．
【答案】
【解析】由题意知：是首项为，公差为，且的等差数列，
是首项为，公比为，且的等比数列，
∴，
要使为正整数，即为正整数，
∵，，∴，
设，，即，即，
又∵，∴为正整数，
则满足范围的的值有：5，6，7，8，9，10，11，12，13，
又，
即，
又由题意知：，且为有理数，
∴，∴只有当时，满足题意，
此时：.
故答案为：.
例22．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））对于集合A，，定义集合. 己知等差数列和正项等比数列满足，，，．设数列和中的所有项分别构成集合A，，将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，则数列的前30项和_________.
【答案】1632
【解析】为正项等比数列，则，解得或（舍），∴；
为等差数列，则，∴，∴.
由，可得当时，，
故数列的前30项包含数列前33项除去数列第2、4、6项，
.
故答案为：1632
例23．（2022·全国·模拟预测（文））设数列，满足，，则它们的公共项由小到大排列后组成新数列．在和中插入个数构成一个新数列：，1，，3，5，，7，9，11，，…，插入的所有数构成首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前20项和______．
【答案】1589
【解析】，数列是以2首项，公比为2的等比数列，
，，，，
因为，所以，，，
知显然不是数列中的项．
，
是数列中的第4项，
设是数列中的第项，则、．
，
不是数列中的项．
，
是数列中的项．
，，，，，
数列的通项公式是．
因为，
所以的前项包括的前项，以及的前项，
所以

故答案为：.
核心考点四：数列的通项公式
【规律方法】
常见求解数列通项公式的方法有如下六种：
（1）观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式．
（2）累加法：形如的解析式．
（3）累乘法：形如
（4）公式法
（5）取倒数法：形如的关系式
（6）构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差（比）数列构造为等差（比）数列来求通项公式．
【典型例题】
例24．（2022·上海市南洋模范中学高三期中）在数列中.，是其前n项和，当时，恒有、、成等比数列，则___________
【答案】
【解析】当时，由题可得，即，
化简得，得，
两边取倒数得，
，
所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，
，
当时，，
所以，.
故答案为：.
例25．（2022·黑龙江·肇州县第二中学高三阶段练习）已知数列的前项和为，，，则数列_____________．
【答案】
【解析】由题意可得，
所以，
所以，
所以，
又因为，所以，
故答案为：
例26．（2022·福建·高三阶段练习）设等差数列的前项和为，若，则______.
【答案】
【解析】当时，，则；
当时，，
两式相减，整理得，
设公差为，则，即，
所以，
所以.
故答案为：.
例27．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为______．
【答案】
【解析】由两边取倒数可得，即．
所以数列是首项为2，公差为3等差数列.
所以，所以．
故答案为：.
例28．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列中，，，则__________．
【答案】
【解析】因为，当时，，
则，即有，当时，，得，满足上式，
，，因此数列是常数列，即，所以.
故答案为：
例29．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列中，，，则______．
【答案】
【解析】因为，，所以，
整理得，所以数列是以为首项，
为公比的等比数列，所以，解得．
故答案为：.
例30．（2022·全国·高三专题练习）设是首项为1的正项数列且，且，求数列的通项公式_________
【答案】
【解析】依题意，，
所以，
又因为，
所以，所以，
，
所以，
经检验，也符合上式. 所以.
综上所述， .
故答案为： .
例31．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，（），则___________
【答案】
【解析】因为，则，当时，，因此，
化简整理得，而，有，即有，，
因此，数列是以为首项，2为公比的等比数列，则，即，
所以.
故答案为：
例32．（2022·全国·高三专题练习）数列满足：，，则的通项公式为_____________.
【答案】
【解析】由得，，
则，
即，又，所以.
故答案为：.
例33．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，则第n次由甲掷的概率______（用含n的式子表示）．
【答案】
【解析】易知掷出的点数之和为3的倍数的概率为．“第次由甲掷”这一事件，包含事件“第n次由甲掷，第次继续由甲掷”和事件“第n次由乙掷，第次由甲掷”，这两个事件发生的概率分别为，，
故（其中），
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
于是，即．
故答案为：
核心考点五：数列求和
【规律方法】
求数列前项和的常见方法有以下四种．
（1）公式法：利用等差、等比数列的前项和公式求数列的前项和．
（2）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项．其方法核心有两点：一是裂项，将一个式子分裂成两个式子差的形式；二是要能相消．常见的裂项相消变换有以下形式．
①分式裂项：；
②根式裂项：；
③对数式裂项；
④指数式裂项
（3）错位相减法
（4）分组转化法
【典型例题】
例34．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)令，求数列的前2020项和.
【解析】（1）因为点均在函数的图象上，
所以，
当时，，
当时，，适合上式，所以.
（2）因为，所以，
所以.
（3）由（1）知，可得，
所以，①
又因为，②
因为，
所以①②，得，
所以.
例35．（2022·陕西渭南·一模（理））已知各项均为正数的数列的前项和为，且，.各项均为正数的等比数列满足，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】（1）因为，
当时，，解得；
当时，，
两式相减，得，即，
又各项均为正数，所以，即.
因为满足上式，
所以是首项为1，公差为3的等差数列.
所以.
设等比数列的公比为，因为，，
所以，
解得（或舍去），
所以.
（2），
所以，
，
两式相减得：

所以.
例36．（2022·陕西渭南·一模（文））已知等差数列的前项和为，不等式的解集为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
关于的不等式的解集为.
和4是方程的两个根，由韦达定理有，
解得，所以，.
数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，，
则.
数列的前项和

.
例37．（2022·全国·模拟预测）在数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【解析】（1）（1）解法一  由知，
可得，，…，，
则，（累乘法的应用）
即，又，所以，
当时，也满足上式，（注意验证的情况）
所以．
解法二  由知，
又，则是以－2为首项，2为公比的等比数列，
所以，
所以．
（2）由（1）知
，
故．
例38．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）已知数列的各项均为正数的等比数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【解析】（1）设公比为，由题意得
解得

（2）
当为偶数时，，
当为奇数时，；
．
例39．（2022·四川省蓬溪县蓬南中学高三阶段练习）给定数列，若满足，对于任意的，都有，则称为“指数型数列”.若数列满足：；
(1)判断是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】（1）将两边同除
得：，
是以为首项，公比为的等比数列，


是“指数型数列”
（2）因为，则

.
例40．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列满足，（为正常数），且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）数列满足,，
可得成等差数列，即奇数项成等差数列,设公差为,
且偶数项成等比数列,公比为,且，，,
可得,,
解得,
则,化为
（2）当为偶数时,
数列的前项和



当为奇数时,


当时也适合上式.
综上:
例41．（2022·全国·高三专题练习）为等差数列的前项和，且，记，其中表示不超过的最大整数，如.
(1)求；
(2)求数列的前2022项和.
【解析】（1）因为为公差为的等差数列的前项和，
且
所以，解得，则公差，
所以，
由于，所以，

（2）由于，
，

，
所以数列的前2022项和，


例42．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）因为，
所以当时，；
当时，，
故，则；
经检验：满足，
所以.
（2）由（1）知，令，得，
故当时，，
；
当时，，易知，，，，
所以；
综上：.
核心考点六：数列性质的综合问题
【典型例题】
例43．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，且，则的最小值是（    ）
A．-15 B．-14 C．-11 D．-6
【答案】A
【解析】∵，∴当时，，当时，，∴，显然的最小值是.
又，∴
，即的最小值是.
故选：A
例44．（2022·福建三明·高三期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，则下列结论正确的是（    ）
A． B．是数列中的最大值
C． D．数列无最大值
【答案】C
【解析】等比数列的公比为，则，由，则有，必有，
又由，即，又，则有或，
又当时，可得，由，则与矛盾
所以，则有，
由此分析选项：
对于A，，故，故A错误；
对于B，等比数列中，，，所以数列单调递减，又因为，所以前项积为中，是数列中的最大项，故B错误；
对于C，等比数列中，则，则，故C正确；
对于D，由B的结论知是数列中的最大项，故D错误.
故选：C.
例45．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列的前项和，则数列中的最大项为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，.
当时，由已知得，，，
则.
当时，，满足.
所以，.
设，则.
设数列中的第项最大，则应满足，即，整理可得
解得，又，所以，，
又.
所以，数列中的最大项为.
故选：C.
例46．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（文））已知数列的前n项和为，且，若恒成立，则实数的最大值为（    ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】因为
当时，解得：
当时，，
两式相减得：
数列是首相为，公比为2得等比数列
所以，所以
易得
，即
，即
所以，即
易知时， ，，，，
满足 ，所以
所以，
故选：C
例47．（2022·山西运城·高三期中）已知数列满足，若，数列的前项和为，且对于任意的都有，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，可知为等比数列，所以，故，进而，所以
，
故，即，
当为奇数时，则对任意的奇数，满足，由于单调递减，
当时，有最大值 ，所以,
当为偶数时，满足，由于单调递减， ，
综上可得 ，
同理，
故当 时， ，故，
综上：，
故选：D
例48．（2022·山东聊城·高三期中）若函数使得数列，为递增数列，则称函数为“数列保增函数”．已知函数为“数列保增函数”，则a的取值范围为（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，对，，
即，
即，对恒成立，
由于在上单调递增，故，
故.
即.
故选：B
例49．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知等比数列的前5项积为32，，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由等比数列性质可知，，
因为，所以，
从而
不妨令，则，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，
故对于，，，
从而，则.
故的取值范围为.
故选：D.
例50．（2022·北京八中高三阶段练习）已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】数列是递增数列，且，
则，解得，
故的取值范围是
故选：D
例51．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知数列，的前项和分别为，，，，当时，，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由①，可得②，所以②－①得，即.因为，所以，故是首项为，公比为的等比数列，所以，故.
当时，，当时，也符合，故.
显然随着增大而增大，随着增大而减小，且，，
故要使得恒成立，则.
故选：B
核心考点六：实际应用中的数列问题
【规律方法】
解数列应用题的一般步骤
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
（2）根据题意数列问题模型．
（3）应用数列知识求解．
（4）将数列问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
【典型例题】
例52．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，总房价1150万元.约定：2021年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付50万元，并加付此前欠款利息，月利率，当付清全部房款时，各次付款的总和为（    ）
A．1205万元 B．1255万元 C．1305万元 D．1360万元
【答案】B
【解析】由题意知，还的次数为次，每次付款本金均为50万元，利息依次为构成了一个等差数列，
则所还欠款利息总额为万元，故各次付款的总和为万元.
故选：B.
例53．（2022·全国·高三专题练习）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为，则下列结论正确的是（    ）（参考数据：，）
①
②
③2020年小王的年利润约为40000元
④两年后，小王手中现款约达41万
A．②③④ B．②④ C．①②④ D．②③
【答案】A
【解析】对于①选项，元，故①错误
对于②选项，第月月底小王手中有现款为，则第月月底小王手中有现款为，由题意故②正确；
对于③选项，由得
所以数列是首项为公比为1.2的等比数列，
所以，即
所以2020年小王的年利润为元，故③正确；
对于④选项，两年后，小王手中现款为元，即41万，故④正确.
故选：A.
例54．（2022·全国·高三专题练习）为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（    ）（取，）
A．32500元 B．40000元 C．42500元 D．50000元
【答案】B
【解析】设，从6月份起每月底用于下月进货的资金依次记为，，…，，，同理可得，
所以，
而，所以数列是等比数列，公比为1.2，
所以，，
∴总利润为，
故选:B．
例55．（2022·云南昭通·高三阶段练习（文））某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（    ）
A．2806万元 B．2906万元 C．3106万元 D．3206万元
【答案】A
【解析】设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为万元，则，且，解得，故.依题意，，即，所以，总费用为：.
故选：A.
例56．（2022·全国·高三专题练习）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（    ）
A．35 B．42 C．49 D．56
【答案】B
【解析】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,
则每轮新增感染人数为，
经过n轮传染，总共感染人数为：，
∵，∴当感染人数增加到1000人时，，化简得，
由，故得，又∵平均感染周期为7天，
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天，
故选：B
核心考点七：以数列为载体的情境题
【规律方法】
1、应用数列知识解决此类问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——等差、等比数列模型．
2、需要读懂题目所表达的具体含义，观察给定数列的特征，进而判断出该数列的通项与求和公式．
3、求解时要明确目标，认清是求和、求通项、还是解递推关系问题，然后通过数学推理与计算得出结果，并回归实际问题中，进行检验，最终得出结论．
【典型例题】
例57．（2022·上海市行知中学高三期中）定义：对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数列具有“性质”；不论数列是否具有“性质”，如果存在数列与不是同一数列，且满足下面两个条件：
（1）是的一个排列；
（2）数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”.给出下面三个数列：
①数列的前项和；
②数列：1，2，3，4，5；
③数列：1，2，3，4，5，6.
具有“性质”的为________；具有“变换性质”的为_________.
【答案】     ①     ②
【解析】对于①，当时，
，
，2，3，为完全平方数
数列具有“性质”；
对于②，数列1，2，3，4，5，具有“变换性质”，数列为3，2，1，5，4，具有“性质”， 数列具有“变换性质”；
对于③，，1都只有与3的和才能构成完全平方数，，2，3，4，5，6，不具有“变换性质”．
故答案为：①；②．
例58．（2022·江苏·沭阳县建陵高级中学高三阶段练习）在数列的每相邻两项之间插入这两项的和，组成一个新的数列，这样的操作叫做这个数列的一次“拓展”.先将数列1，2进行拓展，第一次拓展得到；第二次拓展得到数列；第次拓展得到数列.设，其中___________，___________.
【答案】         
【解析】由题意可知，第1次得到数列1，3，2，此时，
第2次得到数列1，4，3，5，2，此时，
第3次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此时，
第4次得到数列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此时，
第次得到数列1，，，，，，2，此时，
由上述列出的数列可得：，
所以，
所以，
故答案为：；；
例59．（2022·河北唐山·三模）角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列满足：（m为正整数），①若，则使得至少需要_______步雹程；②若；则m所有可能取值的和为_______．
【答案】     9     385
【解析】m=13，依题意， ，
共9共 步骤；
若， ，  或，
若，
若，
的集合为 ，其和为385；
故答案为：9,385.
例60．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）已知数列为1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此规律类推．若其前n项和，则称k为的一个理想数．将的理想数从小到大依次排成一列，则第二个理想数是______；当的项数时，其所有理想数的和为______．
【答案】     2     115
【解析】由题意可知 ,故第一个理想数为1，第二个理想数为2，
当时，数列可分为：
第1组1个数：1，其和为，
第2组2个数：，，其和为，
第3组3个数：，，，其和为，
……，
第N组N个数：，，，…，，其和为，
于是，前N组共个数，其和为，
当时，不可能是2的整数幂，
设第组还有t个数（），这t个数的和为，
所以项数，其前n项和，
当时，若，则是的一个理想数．
由项数，即得，
由，因此．
当时，，理想数为6；当时，，理想数为14；
当时，，理想数为30；当时，，理想数为62；
所以当项数时，所有理想数的和为．
故答案为：2；115
例61．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“数列”.已知数列满足：，，则数列的通项公式___________；若，，且数列是“数列”，则t的取值范围是___________.
【答案】         
【解析】∵，，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴；
∴，则，
∵数列是“数列”，∴对任意n≥2，均成立，
即对于任意n≥2，均成立，
∵函数在R上单调递增，故≥，
∴，解得t<1；
又在t<1时也成立，
故当t<1时，对任意，均成立，故t的范围是．
故答案为：；．
例62．（2022·全国·模拟预测）将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级Koch曲线“”，将1级Koch曲线上每一线段重复上述步骤得到2级Koch曲线，同理可得3级Koch曲线（如图1），…，Koch曲线是几何中最简单的分形．若一个图形由N个与它的上一级图形相似，相似比为r的部分组成，称为该图形分形维数，则Koch曲线的分形维数是________．（精确到0.01，）在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花（如图2）飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3），…，依次得到n级Kn（）角雪花曲线．若正三角形边长为1，则n级Kn角雪花曲线的周长________．

【答案】     1.26    
【解析】第一空：时，有1个基本图形，时，有4个基本图形，时，有16个基本图形，故，又相似比，故图形分形维数；
第二空：结合定义可知，后一个图形边数是前一个图形的4倍，边长是前一个图形的，故边数是公比为4的等比数列，边长是公比为的等比数列，
又第1级六角雪花曲线边数为12，边长为，故n级Kn角雪花曲线边数为，边长为，
故周长.
故答案为：1.26；.

【新题速递】
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，，数列的前n项和为，则（    ）
A．0 B．50 C．100 D．2525
【答案】B
【解析】法一：由于①，则当时，②，
①-②，得，即，易知，
所以．
又满足，故，则，
易知，所以.
法二：由于①，则当时，②，
①-②，得，即，又易知，
所以数列为常数列，所以，所以，则，
易知，所以.
故选：B．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（    ）

A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】A
【解析】设成为等差数列的其中10层的塔数为：，由已知得，该等差数列为递增数列，因为剩下两层的塔数之和为8，故剩下两层中的任一层，都不可能是第十二层，所以，第十二层塔数必为；
故，①；
又由②，，且，所以，
①+②得，，得，
由知，
又因为观察答案，当且仅当时，满足条件，所以，；
组成等差数列的塔数为：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；
剩下两层的塔数之和为8，只能为2，6.
所以，十二层的塔数，从上到下，可以如下排列：
1，2，3，5，6，7，9，11，13，15，17，19；其中第二层的2和第五层的6不组成等差数列，满足题意，则第11层的塔数为17.
故答案选：A
3．（2022·江苏·常熟市中学高三阶段练习）等差数列各项均为正数，首项与公差相等，，则的值为（    ）
A．9069 B．9079 C．9089 D．9099
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，因为首项与公差相等，所以，
因为，
所以，所以
所以，
故选：D．
4．（2022·浙江·绍兴市越州中学高三阶段练习）记表示不超过实数的最大整数，如，，，设，则（    ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，且，，，，
所以，，
，，
所以，
，
，
，
所以.
故选：D.
5．（2022·上海市洋泾中学高三阶段练习）设等比数列，首项，实系数一元二次方程的两根为．若存在唯一的，使得，则公比的取值可能为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，等比数列，首项，所以，
由于实系数一元二次方程的两根为，
①若，且，
由，
得.
所以，
①若，
由求根公式可得，
解得.
综上所述，，注意到选项中的，所以（*），
当时，，没有符合题意的.
当时，，
其中符合（*），具有唯一性， B选项正确.
当，，
其中符合（*），没有唯一性.
当时，，
其中 符合（*），没有唯一性.
故选：B
6．（2022·全国·高三阶段练习）已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
由题意可得.
故选：B
7．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列满足，则满足的的最小值为（    ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】A
【解析】因为当时，，，
所以，
当时，，
所以当时，是以，的等比数列，故，
所以，
故，即，
因为，，所以，即，
所以的最小值为.
故选：A.
8．（2022·福建省福州第十一中学高三期中）已知定义在上的函数满足，当时，，设在上的最大值为（），且的前项和为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，
在上的最大值为：；
当时，由，
所以在上的最大值即在上的最大值为：；
同理，当时，在上的最大值即在上的最大值为：；
当时，在上的最大值即在上的最大值为：；

所以数列为以为首项，为公比的等比数列，所以：，
故选：A
二、多选题
9．（2022·江苏盐城·模拟预测）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（    ）
A．
B．
C．是数列中的最大值
D．若，则n最大为4038．
【答案】ABD
【解析】对A，∵，，，且数列为等比数列，
∴，，∴，
因为，∴，故A正确；
对B，∵，∴，故B正确；
对C，因为等比数列的公比，，所以数列是递减数列，
因为，，所以是数列中的最大项，故C错误；
对D，，因为，，故，，故，即，故n最大为4038，故D正确．
故选：ABD．
10．（2022·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】，∴，是递增数列，
又，所以，，，，，A显然错误；
，∴，B正确；
对选项C，，
∴，依此类推：
，
，下证，
时，，
时，，
时，，
假设时，成立，，
则时，，
所以对任意不小于3的正整数，，
所以，又是正整数，所以，C正确；
对选项D，由选项C得，所以， D正确．
故选：BCD．
11．（2022·山西临汾·高三阶段练习）已知数列的前项和为，则（    ）
A．若，则是等差数列
B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则
D．若是等比数列，且，，则
【答案】AC
【解析】对于A，若，则，
当时，，显然时也满足，
故，由，则为等差数列，故A正确；
对于B，若，则，，，
显然，所以不是等比数列，故B错误；
对于C，因为为等差数列，则，故C正确；
对于D，当时，，故当时，不等式不成立，即不成立，故D错误．
故选：AC．
12．（2022·山东·微山县第二中学高三期中）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ）
A．为递减数列 B．
C．是数列中的最大项 D．
【答案】ACD
【解析】因为数列为等比数列，且，，故，该数列为正项等比数列；
若，显然不满足题意，舍去；若，则，不满足，舍去；
若，则该数列为单调减数列，由，
故可得，或，，
显然，不满足题意，故舍去，则，
对A：因为，故数列为单调减数列，A正确；
对B：，即，即，故B错误；
对C：因为单调递减，且，故的最大值为，C正确；
对D：，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题
13．（2022·全国·模拟预测）已知正实数b是实数a和实数c的等差中项，且，若，，成等比数列，则______．
【答案】
【解析】设a，b，c的公差为d，则，，则，化简得，
因为，所以，则，得，因此．
故答案为：
14．（2022·全国·模拟预测）若定义在上的函数满足，且恰有（）个根（，2，…，），，则数列的前项和___________.
【答案】
【解析】因为定义在上的函数满足，
所以如果a是的一个根，即，
所以因为满足，即也是的一个根.
所以的根成对出现，且两根之积为.
所以，
所以.
故答案为：
15．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列的通项公式为，，记的前n项和为，前n项积为，则使不等式成立的n的最大值为___________.
【答案】17
【解析】由得，，，
，
，
由得，所以.
设，，
当时，，不等式成立；
当时，，显然成立；
当时，，，不等式不成立.
故使成立的n的最大值为17.
故答案为：17
16．（2022·河北·高三期中）定义n个正数的“均倒数”为，若各项均为正数的数列的前n项的“均倒数”为，则的值为______
【答案】8091
【解析】由已知可得数列的前项的“均倒数”为

可得,则时,

，
当时,,满足,
.
故答案为: 8091 .
四、解答题
17．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列的首项，公比为q，是公差为的等差数列，，，是与的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前n项和为，数列满足，求数列的前n项和．
【解析】（1）第一步：求数列的通项公式
因为是公差为的等差数列，，是与的等比中项，
所以，（等比数列的性质）
解得或（舍去），（注意）
所以数列的通项公式为．
第二步：求数列的通项公式
所以，又，所以，
所以数列的通项公式为或．
（2）第一步：求数列的通项公式
由（1）得，或，
由，得，
第二步：利用错位相减法求和
于是，
，
则，（运用错位相减法求和时最后一项注意变号）
即，
整理得，
所以数列的前n项和．
18．（2022·全国·模拟预测）已知数列的各项均不为零，，前n项和满足.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)记，求数列的前n项和.
【解析】（1）依题意，，，，
，
，
两边除以得，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列.
（2）由（1）得，所以，

所以.
19．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，且，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若数列满足，求的前n项和.
【解析】（1）由，得，
所以
，
又，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）可知，，
所以.记的前n项和为，
则①，
②，
由①-②得
，
所以.
20．（2022·全国·模拟预测）在①，②，③数列为等比数列这三个条件中选出两个，补充在下面的横线上，并解答这个问题.
问题：已知等比数列的前项和为，___________.
(1)求数列的通项公式；
(2)若的前项和为，且，求的值.
注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【解析】（1）选条件①②：
设数列的公比为，则，所以，
所以.
选条件①③：
设数列的公比为，因为，数列为等比数列，
所以，
得，
化简可得，得.
所以.
选条件②③：
设数列的公比为，因为数列为等比数列，
所以，
得，
化简可得，
因为，所以.
因为，所以，
所以.
（2）根据等比数列求和公式可得，
利用分组求和，可得.
所以，得.
21．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习）已知数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【解析】（1）因为，
则有，
两边同时除以得：，，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，
故，则，
当时，，符合，
故.
（2），
①
②
①②得：
即，
得.
22．（2022·上海市洋泾中学高三阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，向量，向量，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意正整数都有成立，求．
【解析】（1）因为，所以，
所以，.
当时，，解得（舍）或.
当时，，，
相减得，
即，，
化简得.
，
所以，是以2为首项，2为公差的等差数列.
.
（2）因为，所以.
由（1）知，，
所以
.
23．（2022·江苏盐城·模拟预测）已知数列满足，()，且()．
(1)求数列的通项公式；
(2)若()，求数列的前n项和．
【解析】（1）因为，，，
可得，，
又，
则当时，
，
上式对也成立，
所以，；
（2）由，
可得，
则数列的前n项和为
．