四川省绵阳市绵阳中学2023-2024学年高一数学上学期9月月考试题（Word版附解析）

绵阳中学高2023级高一上期第一学月考试

数学试题

满分150分，时长120分钟

一､选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1. 下列各式中，正确的是（    ）

①；②；③；④；⑤；⑥.

A. ①② B. ②⑤ C. ④⑥ D. ②③

【答案】D

【解析】

【分析】

理解元素与集合、集合与集合之间的关系即可判断各项的正误，进而得到正确选项.

详解】①集合之间没有属于、不属于关系，错误.

②是相等的，故成立，正确.

③空集时任何集合的子集，正确.

④不相等，错误.

⑤集合研究的元素不一样，没有相等或包含关系，错误.

⑥，元素与集合只有属于、不属于关系，错误.

故选：D

2. 满足条件的集合有（    ）种

A. 3 B. 5 C. 7 D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意知集合必包含，再根据列举出集合即可.

【详解】因为，

所以集合可以为，，共个.

故选：D.

3. 若，则的值是（    ）

A. 1或或2 B. 1或2 C.  D. 1或

【答案】C

【解析】

【分析】根据得到或，然后解方程根据元素的互异性进行取舍即可.

【详解】因为，所以①或②，

由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，

符合题意，此时，由②得，符合题意，此时，

故选：C.

4. 设集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式化简集合A，再利用交集、补集的定义求解作答.

【详解】解不等式，得，即，因此，

所以，.

故选：C.

5. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先找到命题成立的等价条件，再分析充分不必要条件.

【详解】等价于，

∴“”为真命题等价条件为，
∴命题“”是真命题的一个充分不必要条件，则a的取值范围是的真子集，

故选：A

6. 设a，，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由，可得，A错；利用作差法判断B错；由，而，可得C错；利用基本不等式可得D正确．

【详解】，，故A错；

，，即，可得，，故B错；

，，而，则，故C错；

，，，等号取不到，故D正确；

故选：D

7. 若下列3个关于x的方程，，中最多有两个方程没有实数根，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据3个关于x的方程都没有实数根求出a的取值范围，再求其补集即可.

【详解】假设3个关于x的方程都没有实数根，则即所以，

所以若这3个关于x的方程中最多有两个方程没有实数根，则实数a的取值范围是.

故选：A.

8. 已知，，且，若对任意的，恒成立，则实数m的值不可能为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】先用基本不等式求出 的最小值，以确定 的范围，再解不等式即可求出m的范围.

【详解】由条件 ，得 ， ，

，即 ，得 ，解得 或 ；

故选：B.

二､多选题（共4小题，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，共20分）

9. 下列选项中正确的有（    ）

A. {质数}{奇数}

B. 集合与集合没有相同的子集

C. 空集是任何集合的子集

D. 若，则

【答案】CD

【解析】

【分析】对于A，举例判断，对于B，根据子集的定义判断，对于C，根据空集的性质分析判断，对于D，根据子集的性质分析判断

【详解】对于A，因为2是质数，但2不是奇数，所以{质数}不是{奇数}的子集，所以A错误，

对于B，因为空集是任何集合的子集，所以集合与集合有相同的子集为空集，所以B错误，

对于C，因为空集是任何集合的子集，所以C正确，

对于D，因为，所以，所以D正确，

故选：CD

10. 下列命题中是真命题的有（    ）

A. “”是“”成立的充分不必要条件

B. “”是“”成立的充要条件

C. “是“”成立的既不充分也不必要条件

D. 命题“”的否定是“”

【答案】AC

【解析】

【分析】根据特殊值、不等式的性质以及全称命题的否定逐项判断即可.

【详解】对A，由不等式的性质知：，则，

当，，满足，

但不满足，

“”是“”成立的充分不必要条件，故A正确；

对B，由不等式的性质知：，则，

当时，满足，但不满足，

“”是“”成立的充分不必要条件，故B错误；

对C，当时，满足，但，

当时，满足，但，

“”是“”成立的既不充分又不必要条件；故C正确；

对D，根据全称命题否定得其否定为“”，故D错误.

故选：AC.

11. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是（    ）

A. 且 B.

C.  D. 不等式的解集是

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据一元二次不等式解集可判断出的正负以及的关系，由此可判断各选项的对错.

【详解】因为的解集为，解集属于两根之内的情况，所以，

又因为，所以；

A．，故正确；

B．因为，所以，故正确；

C．因为解集为，所以，故错误；

D．因为即为，即，解得，故正确；

故选：ABD.

12. 下列不等式正确的有（    ）

A. 若，则函数的最小值为2

B. 最小值等于4

C. 当

D. 函数最小值为

【答案】CD

【解析】

【分析】利用基本不等式的性质和对勾函数单调性依次判断选项即可.

【详解】对选项A，，令，则，，，

根据对勾函数的单调性知：在上单调递增，，故A错误；

对选项B，当时，根据对勾函数的单调性知：为减函数，所以，故B错误；

对选项C，因为，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，故C正确；

对选项D，，

当且仅当，即时，等号成立，故D正确.

故选：CD.

三､填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13. 某班共人，其中人喜欢篮球，人喜欢乒乓球，人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数为______．

【答案】

【解析】

【分析】设出喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数，根据题意，列方程即可解出答案.

【详解】设喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数为，则，解得.

故答案为：.

14. 已知集合有且仅有两个子集，则实数__________.

【答案】1或

【解析】

【分析】结合已知条件，求出的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可.

【详解】若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解，

①当时，，满足题意；

②当时，，所以，

综上所述，或.

故答案为：1或.

15. 已知实数，满足且，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】结合已知条件，利用不等式性质即可求解.

【详解】因，

所以    ①，

又由可得，     ②，

由①②相加可得，，

故的取值范围是.

故答案为：

16. 已知关于的不等式的解集为且，则_________，的最小值为_________.

【答案】    ①. 2    ②. 4

【解析】

【分析】由题可得，从而得出的关系，然后利用基本不等式即得.

【详解】因为关于的不等式的解集为，

所以，

所以，又，，

因为

当且仅当时取等号，

所以的最小值为

故答案为：2；.

四､解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，满分70分）

17. 已知集合（为实数）．

（1）求；

（2）若，求的值；

【答案】（1）.   

（2）.

【解析】

【分析】（1）解一元二次不等式即可求解；

（2）由一元二次不等式的解可知方程的根，由根与系数的关系求解.

【小问1详解】

由题意，，

由解得或，

所以.

【小问2详解】

因为，

所以是方程的两根，

则，解得.

18. 求解下列问题：已知，，，，．

（1）比较与的大小；

（2）比较与的大小.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用作差法即可比较；

（2）作差后配方再比较大小.

【小问1详解】

因为，所以.

【小问2详解】

因为

，，

，故.

19. 已知集合，．

（1）当时，求，；

（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）或，；（2）.

【解析】

【分析】（1）先求出集合,再利用集合的交并补运算即可；

（2）利用，按，分类讨论，求出a的取值范围即可.

【详解】（1）当时，集合,

，

（2）由，得当时，即时，解得，符合题意；

当时，时， ，    解得

综上可知：

【点睛】本题考查了集合交并补运算，集合的包含关系，分类讨论思想，属于基础题.

20. 已知，.

（1）若，，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围；

（2）若，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出集合B，由题意可得出，即可得出关于实数的不等式组，即可解出答案；

（2）由参变分离法得出，对于任意恒成立，利用二次函数的基本性质求出在上的最大值，即可解出答案.

【小问1详解】

，且，

，

若，，且是的必要不充分条件，

则,

则且等号不同时成立，

解得：，

即实数的取值范围为：；

【小问2详解】

若，恒成立，

即，，

令，，

当时，取最大值为，

则，

即实数的取值范围为：.

21. 设．

（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；

（2）解关于的不等式．

【答案】（1）   

（2）答案见解析.

【解析】

【分析】(1)根据给定条件利用一元二次不等式恒成立求解作答.

(2)分类讨论解一元二次不等式即可作答.

【小问1详解】

，恒成立等价于，，

当时，，对一切实数不恒成立，则，

此时必有，

即，解得，

所以实数的取值范围是.

【小问2详解】

依题意， ，可化为，

当时，可得，

当时，可得，又，

解得，

当时，不等式可化为，

当时，，解得，

当时，，解得或，

当时，，解得或，

所以，当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为或.

22. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）.

（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？

（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.

【答案】（1）4米；    （2）.

【解析】

【分析】（1）由题意得出甲工程队报价元关于左右两侧墙的长度的函数，利用均值不等式求最小值即可；

（2）由题意得不等式恒成立，分离参数后，利用均值不等式求最小值即可得解.

【小问1详解】

因为屋子的左右两侧墙的长度均为米（），底面积为12平方米，

所以屋子的前面墙的长度均为米（），

设甲工程队报价为元，

所以（元），

因为，

当且仅当，即时等号成立，

所以当左右两面墙的长度为米时，甲工程队报价最低为元.

【小问2详解】

根据题意可知对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

所以对任意的恒成立，

因为，，

当且仅当，即时等号成立，

所以，