+江苏省宿迁市沭阳县怀文中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）+

2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县九年级（上）月考数学试卷（9月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程中，关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.用配方法解方程时，原方程应变形为(    )

A.  B.  C.  D.

3.的半径为，点到圆心的距离为，点与的位置关系是(    )

A. 点在外 B. 点在内 C. 点在上 D. 不能确定

4.若关于的一元二次方程，该方程的解的情况是(    )

A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定

5.下列结论正确的是(    )

A. 三点确定一个圆 B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 等弧所对的弦相等 D. 三角形的外心到三角形各边的距离相等

6.如图，将放在每个小正方形边长为的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是(    )

 

A.  B.  C.  D.

7.已知是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

8.如图，，是的弦，，点在内，点为上的动点，点，，分别是，，的中点若的半径为，则的长度的最大值是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.一元二次方程的根______．

10.一元二次方程的一个根是，则值为______ ．

11.若与的值互为相反数，则的值是______ ．

12.如图，是的内接三角形．若，，则的半径是          ．
 

13.如图：为的直径，是的弦，、的延长线交于点，已知，，则的大小是______

14.设，分别为一元二次方程的两个实数根，则 ______ ．

15.如图，是的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则圆心到弦的距离等于______．

16.一条弦把圆分成：两部分，则这条弦所对的圆周角为______

17.已知关于的方程的两根为，，则方程的两根之和为______ ．

18.如图，已知正方形的边长为，点是边的中点，为正方形内一动点，且，点是边上另一动点，连接，，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分
解方程：；
解方程：．

20.本小题分
阅读下面的例题，解方程
解：原方程化为令，原方程化成
解得：，
当，；当时不合题意，舍去
原方程的解是
请模仿上面的方法解方程：．

21.本小题分
如图，的弦、相交于点，且求证．

 

22.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
求的取值范围；
若，求的值．

23.本小题分

如图，在中，，以点为圆心，长为半径的与相交于点．
若弧的度数为，则 ______ ；
若，，求线段的长．

24.本小题分
如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”
通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
已知关于的二次方程是常数是“邻根方程”，求的值．

25.本小题分

如图，已知
用直尺和圆规作出的外接圆；
若，，求的半径．

26.本小题分
年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢．某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店年月的“冰墩墩”销量为万件，年月的“冰墩墩”销量为万件．
求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
该零售店月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价元的“冰墩墩”按每件元出售，每天可销售件，在此基础上售价每涨元，那么每天的销售量就会减少件，该零售店要想每天获得元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？

27.本小题分
探索一个问题：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半完成下列空格．
当已知矩形的边长分别是和时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是，，由题意得方程组，消去化简得：
，______；______；所以满足要求的存在；
如果已知矩形的边长分别是和，请你仿照小亮方法研究是否存在满足要求的矩形；
如果矩形的边长为，，请你研究满足什么条件时，矩形存在？

28.本小题分
【基础巩固】如图，内接于，若，弦，则半径 ______ ；
【问题探究】如图，四边形的四个顶点均在上，若，，点为弧上一动点不与点，点重合求证：；
【解决问题】如图，一块空地由三条直路线段、、和一条道路劣弧围成，已知千米，，的半径为千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点处，另外三个入口分别在点、、处，其中点在上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段、、、，某数学兴趣小组探究后发现、、、四个点在同一个圆上，请你帮他们证明、、、四点共圆，并判断是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度即四边形的周长最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该方程是二元一次方程，故此选项不符合题意；
B.该方程是二元二次方程，故此选项不符合题意；
C.该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、该方程是分式方程，故此选项不符合题意；
故选：．
根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是”；“二次项的系数不等于”；“整式方程”．

2.【答案】 

【解析】解：，
移项，得，
两边同时加，得，
，
故选：．
根据配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．

3.【答案】 

【解析】解：的半径为，点到圆心的距离为，
即点到圆心的距离大于圆的半径，
所以点在外．
故选：．
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．

4.【答案】 

【解析】解：，
方程没有实数根．
故选：．
先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．

5.【答案】 

【解析】解：、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；
C、等弧所对的弦相等，故故本选项正确；
D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误；
故选：．
根据圆的有关性质对每一项进行判断即可得出答案．
本题考查了命题与定理，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断．

6.【答案】 

【解析】解：如图所示：点为外接圆圆心，则为外接圆半径，

故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．
故选：．
根据题意得出的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径．
此题主要考查了三角形的外接圆与外心，得出外接圆圆心位置是解题关键．

7.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解三角形三边的关系有关知识，把代入已知方程求得的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．
【解答】
解：把代入方程得，
解得，
则原方程为，
解得，，
因为这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长，
当的腰为，底边为时，则的周长为；
当的腰为，底边为时，则的周长为．
综上所述，该的周长为或．
故选D．

8.【答案】 

【解析】解：连接、、，作于，

，
，，
，，
，
，
，，
，
，，
，
当是直径时，的值最大，最大值为，
的最大值为．
故选：．
连接、、，作于，首先求出的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题．
本题考查圆周角定理、三角形的中位线的定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

9.【答案】， 

【解析】解：由原方程得，
整理得，
则或，
解得，．
故答案是：，．
先移项，然后利用提取公因式法对等式的左边进行因式分解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．

10.【答案】 

【解析】解：根据题意将代入方程，得，
解得．
故答案为．
根据一元二次方程的根的定义，方程的根就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，因而把代入方程就得到一个关于的方程，就可以求出的值．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，逆用一元二次方程解的定义易得出的值．

11.【答案】 

【解析】解：与的值互为相反数，
，
，
，
解得．
故答案为：．
由题意得，整理得，根据方程系数的特点，应用因式分解法解答．
本题既考查了相反数的性质，又考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为后，方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法时，即可考虑用求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．

12.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
连接并延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的半径，即可解答．
【解答】
解：连接并延长交于点，连接，

是的直径，
，
，
，
即
，
的半径是，
故答案为：．

13.【答案】 

【解析】解：连接，

，，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
故答案为：．
连接，根据已知可得，从而可得，然后利用三角形的外角性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，最后利用三角形的外角性质可得，进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：为一元二次方程的实数根，
，
，
，
，分别为一元二次方程的两个实数根，
，
．
故答案为：．
先根据一元二次方程解的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．

15.【答案】 

【解析】解：如图，

连接、，交于点，
点是弧中点，，
，且，
，
，
，
，
故圆心到弦的距离为．
故答案为：．
根据题意连接、，交于点，根据垂径定理推出，且，再由圆周角定理推出，从而根据直角三角形的性质进行求解即可．
本题考查圆周角定理及垂径定理，解题的关键是根据题意作出辅助线，，从而根据垂径定理和圆周角定理进行求解，注意数形结合思想方法的运用．

16.【答案】或 

【解析】解：如图：连接，，

弦把分成：两部分，
的度数，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
弦所对的圆周角为或，
故答案为：或．
连接，，根据已知易得的度数为，从而可得，然后根据圆周角定理可得，再利用圆内接四边形对角互补进行计算，即可解答．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：把方程看作关于的一元二次方程，
关于的方程的两根为，，
或，
解得，，
．
故答案为：．
把方程看作关于的一元二次方程，则利用方程的两根为，得到或，于是可求出方程的两根，然后得到两根之和．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，利用换元的思想是解决问题的关键．

18.【答案】 

【解析】解：如图，点在以点为圆心，以为半径的圆上，作点关于直线的对称点，连接，，由对称知，，
，．
过点作，垂足为，则，，
在中，．
，，，四点共线时，，
的最小值为；

故答案为：．
如图，点在以点为圆心，以为半径的圆上，作点关于直线的对称点，连接，，由对称知，，可得当，，，四点共线时，最短，此时最短；过点作，垂足为，则中，，的最小值为．
本题考查两点之间线段最短，正方形的性质，轴对称的性质，圆的定义，勾股定理；通过轴对称，作线段的等量转移是解题的关键．

19.【答案】解：，
，即，
则，
，；
，
，
或，
解得：，． 

【解析】利用配方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

20.【答案】解：原方程化为，
令，原方程化成，
解得：，，
当，
，
解得：，；
当时舍去．
则原方程的解是，． 

【解析】将方程第一项变形为，设，将方程化为关于的一元二次方程，求出方程的解得到的值，即为的值，利用绝对值的代数意义即可求出的值，即为原方程的解．
此题考查了换元法解一元二次方程，绝对值的代数意义，以及解一元二次方程分解因式法，弄清题意阅读材料中的例题的解法是解本题的关键．

21.【答案】证明：连接．

，
，即，
，
． 

【解析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
连接，利用圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定定理解答即可．

22.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
、是方程的实数根，
，，
，
解得：，，
经检验，，都是原分式方程的根．
又，
． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
根据根与系数的关系可得出、，结合即可得出关于的方程，解之经检验即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；根据根与系数的关系结合找出关于的方程．

23.【答案】 

【解析】解：连接，

弧的度数为，
，
，
，
，
，
故答案为：；
过点作于，

，
在中，，，
，
的面积，
，
解得：，
在中，，
，
，
线段的长为．
连接，根据已知可得，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；
过点作于，根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出的长，最后在
中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，进而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

24.【答案】解：解方程得：或，
，
是“邻根方程”；

由方程解得：或，
由于关于的二次方程是常数是“邻根方程”，
则或，
解得或． 

【解析】根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为，从而确定方程是否为“邻根方程”；
先解方程求得其根，再根据新定义列出关于的方程，注意有两种情况；
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．

25.【答案】解：如图，为所作；

连接交于，如图，
，
，
垂直平分，
即，，
在中，，
设的半径为，则，，
在中，，解得，
即的半径为． 

【解析】作和的垂直平分线，它们相交于点，然后以点为圆心，为半径画圆即可；
连接交于，如图，先得到，再根据垂径定理得到垂直平分，则可根据勾股定理计算出，设的半径为，则，，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

26.【答案】解：设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为，
由题意可得，，
解得，舍去，
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为．
设每件商品的售价应该定为元，
则每件商品的销售利润为元，
每天的销售量为件，
依题意可得，
解得，，
要使销量尽可能大，
，
答：每件商品的售价应该定为元． 

【解析】设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为，由题意可列方程为，求解即可．
设每件商品的售价应该定为元，根据题意可列方程为，求出的值，再使其满足销量尽可能大即可．
本题考查一元二次方程的应用，能根据已知条件列出方程是解答本题的关键．

27.【答案】  

【解析】解：，
，
，
，，
满足要求的矩形存在．
故答案为，；

设所求矩形的两边分别是和，由题意，得
，
消去化简，得
，
，
不存在矩形．
，
，
当时，矩形存在．
直接利用求根公式计算即可；
参照中的解法解题即可；
解法同上，利用根的判别式列不等关系可求，满足的条件．
此类题目考查了一元二次方程的应用，要读懂题意，准确的找到等量关系列方程组，要会灵活运用根的判别式在不解方程的情况下判断一元二次方程的解的情况．

28.【答案】 

【解析】解：连接、，过点作于点，

，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：；
证明：在上取点，使，连接、，

，，
为等边三角形，
，，
四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
即，
≌，
，
；
解：存在，理由如下：
千米，
当取得最大值时，四边形的周长最大，
连接，过点作于点，
设千米，

，，，
≌，
，
千米，
千米，
，
，
解得：，不符合题意，舍去，
千米，
千米，
、、、四点共圆，，
，
由可知，，
当是直径时，最大值为千米，
四边形的周长，
四边形的周长的最大值为：千米，
存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度即四边形的周长最大，最大值为千米．
连接、，求出的度数，过点作于点，解直角三角形求出的长，即可得出答案；
在上取点，使，连接、，证为等边三角形，得，，再证≌，得，即可得出结论；
连接，过点作于点，设千米，证≌，得，则千米，再由勾股定理求出，则千米，千米，进而证、、、四点共圆，然后由，当是直径时，最大值为千米，即可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆，含角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，本题综合性较强，熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判定与性质，正确地作出辅助线是解题的关键，属于中考常考题型．