湖北省宜荆荆随2023-2024学年高二数学上学期10月联考试题（Word版附解析）

2023年宜荆荆随高二10月联考

高二数学试卷

命题学校：荆州中学  审题学校：宜昌一中

考试时间：2023年10月9日下午15：00-17：00    试卷满分：150分

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数，其中是虚数单位，则的虚部为（    ）

A. 2 B.  C. 1 D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先得到，即可判断其虚部.

【详解】复数，则，所以的虚部为.

故选：D

2. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知求出，进而即可根据投影向量求出答案.

【详解】由已知可得，，，

所以，向量在向量上的投影向量是.

故选：B.

3. 抛郑两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币反面向上”，事件“第二枚硬币正面向上”，下列结论中正确的是（    ）

A. 与为互斥事件 B.

C. 与为相互独立事件 D. 与互为对立事件

【答案】C

【解析】

【分析】由相互独立事件及互斥事件、对立事件的定义以及古典概率依次判断即可.

【详解】由相互独立事件的定义知，A与B为相互独立事件，C正确；

事件可以同时发生，则A与B不是互斥事件，也不是对立事件，A错误；D错误；

，B错误.

故选：C.

4. 直线过点，则直线与、正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ）

A. 6 B. 12 C. 18 D. 24

【答案】B

【解析】

【分析】依题意可得且、，利用基本不等式求出的最小值，从而求出三角形面积的最小值.

【详解】因为直线过点，所以，

令，可得，即直线与轴交于点，

令，可得，即直线与轴交于点，

依题意可得、，所以，则，当且仅当，

即、时取等号，

所以直线与、正半轴围成的三角形的面积，当且仅当、时取等号，

即直线与、正半轴围成的三角形的面积最小值为.

故选：B

5. 贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的9倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为，则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的体积之比为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设上面的六棱柱的底面面积为，高为，根据棱柱和棱台的体积公式直接计算，然后求比可得.

【详解】设上面的六棱柱的底面面积为，高为，由上到下的三个几何体体积分别记为，

则，

，

，

所以.

故选：D 

6. 一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的第60百分位数是众数的倍，则该组数据的方差是（    ）

A. 5 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据百分位数与众数的计算求解可得，再计算方差即可.

【详解】由题意该组数据共7个数，，故第60百分位数为从小到大第5个数，又众数为4，故，

故该组数据的平均数为，

故该组数据的方差是.

故选：B

7. 已知满足，且两条直线方程分别为，，试判断两条直线位置关系是（    ）

A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交且不垂直

【答案】B

【解析】

【分析】根据可得，进而结合正弦定理化简即可判断.

【详解】由可得，即，且，设外接圆半径为，则：

即

，即，故.

故两条直线位置关系是重合.

故选：B

8. 在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线方程为，经过点且法向量为的平面方程为，已知：在空间直角坐标系中，经过点的直线方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可得直线的方向向量与平面的法向量，进而可得直线与平面所成角的正弦值.

【详解】经过点直线方程为，即，

故直线的一个方向向量为，

又经过点的平面的方程为，即，故的一个法向量为.

设直线与平面所成角为，则.

故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 若十个学生参加知识竞赛的得分分别为，则下列说法正确的是（    ）

A. 极差为11 B. 众数为90

C. 平均数为88 D. 中位数是90

【答案】AB

【解析】

【分析】根据极差、众数、平均数与中位数的计算逐个判断即可.

【详解】将该组数据从小到大排列有：.

对A，极差为，故A正确；

对B，众数为90，故B正确；

对C，平均数为，故C错误；

对D，中位数为，故D错误.

故选：AB

10. 已知点与直线，下列说法正确的是（    ）

A. 过点且直线平行的直线方程为

B. 过点且截距相等的直线与直线一定垂直

C. 点关于直线的对称点坐标为

D. 直线关于点对称的直线方程为

【答案】ACD

【解析】

【分析】设所求直线方程为，代入点的坐标求出，即可判断A，当截距都为时求出直线方程，即可判断B，设点关于直线的对称点坐标为，即可得到方程组，解得即可判断C，求出直线上任意两点关于点对称的点的坐标，从而求出对称的直线方程，即可判断D.

【详解】对于A：设所求直线方程为，则，解得，

所以过点且直线平行的直线方程为，故A正确；

对于B：若截距都为，即过点且经过坐原点的直线为，

此时直线的斜率，但是，，所以直线与直线不垂直，故B错误；

对于C：设点关于直线的对称点坐标为，则，解得，

所以点关于直线的对称点坐标为，故C正确；

对于D：因为点、在直线上，点关于点对称点为，

点关于点对称的点为，

则过和的直线方程为，即，

所以直线关于点对称的直线方程为，故D正确；

故选：ACD

11. 如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点，，则下列结论正确的是（    ）

A. 圆锥SO的侧面积为

B. 三棱锥S-ABC体积的最大值为

C. 的取值范围是

D. 若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为

【答案】BD

【解析】

【分析】根据已知条件求出圆锥的侧面积，棱锥的体积判断AB，利用求得后可得其范围判断C，把棱锥的两个面和摊平，利用平面上的性质求的最小值判断D．

【详解】由已知，圆锥侧面积为，A错；

圆周上，易得，．B正确；

，又中，，所以，

所以．C错；

时，把和摊平，如图，

的最小值是，此时，，，，

，D正确．

故选：BD．

12. 已知的内接四边形中，，下列说法正确的是（    ）

A. 四边形的面积为

B. 该外接圆的直径为

C.

D. 过点D作交于点，则

【答案】AC

【解析】

【分析】A选项，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出，，进而求出，利用面积公式进行求解；B选项，在A选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；C选项，作出辅助线，利用数量积的几何意义进行求解；D选项，结合A选项和C选项中的结论，先求出∠DOF的正弦与余弦值，再利用向量数量积公式进行计算.

【详解】对于A，连接，在中，，，

由于，所以，故，

解得，

所以，，所以，

故，

，

故四边形的面积为，故A正确；

对于B，设外接圆半径为，则，

故该外接圆的直径为，半径为，故B错误；

对于C，连接，过点O作OG⊥CD于点F，过点B作BE⊥CD于点E，则由垂径定理得：，

由于，所以，即，

解得，所以，所以，且，

所以，即在向量上的投影长为1，且与反向，

故，故C正确；

对于D，由C选项可知：，故，且，

因为，由对称性可知：为的平分线，故，

由A选项可知：，显然为锐角，

故，，

所以

，

所以，故D错误.

故选：AC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为，用随机模拟的方法进行试验，由､､､表示下雨，由､､､､､表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生之间随机整数的组如下：

通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为___________.

【答案】0.25##

【解析】

【分析】找出对应的数据，再根据古典概型即可得解.

【详解】解：由数据可知，

表示恰有两天下雨的数据为共5组，

所以三天中恰有两天下雨的概率近似为.

故答案为：.

14. 平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程为______________________．

【答案】3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0

【解析】

【详解】设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠－2)，则d＝，

∴c＝3或c＝－7，

即所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.

15. 已知圆柱体体积是1，设分别是圆柱的上、下底面的中心，以圆柱的两底面作为圆锥体的底面，以分别互为顶点和底面中心做2个圆锥体，则这两个圆锥体公共部分的体积________．

【答案】

【解析】

【分析】两个圆锥体公共部分为两个相同的圆锥，底面半径为，高为，由圆锥的体积求解即可.

【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则圆柱体体积，

以圆柱的两底面作为圆锥体的底面，以分别互为顶点和底面中心做2个圆锥体，

如下图，

两个圆锥体公共部分为两个相同的圆锥，底面半径为，高为，

即每个圆锥的体积为：，

所以两个圆锥的公共部分为：.

故答案为：.

16. 如图，已知为等边三角形，点是的重心．过点的直线与线段交于点，与线段交于点．设，且．设的周长为，的周长为，设，记，则的值域为_______．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，化简得到，设的边长为1，用和表示，，，再利用，得到，进而得到，通过和的范围，求出的范围，进而可求出的范围.

【详解】

延长，交于，因为为的重心，所以，为中点，

所以，，所以，

，得

，整理得，，设的边长为1，则，，在中，由余弦定理得，，所以，

，因为，所以

，

因为，，所以，，，又，则有

，因为，所以，，因为，

，所以的最小值为，最大值为，所以，

单调递增，则，所以，，即的值域为

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知坐标平面内两点．

（1）当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围；

（2）若直线的方向向量为，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）结合两点式求斜率，解不等式即可得出答案；

（2）根据方向向量得，解方程即可得出答案.

【小问1详解】

因为倾斜角为锐角，则，又

即，解得．

【小问2详解】

直线的方向向量为

18. 在中，角的对边分别为，且．

（1）求；

（2）若为角的平分线，点在上，且，求的面积．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，从而得解；

（2）由得到，再由余弦定理得到，即可求出，最后由面积公式计算可得.

【小问1详解】

因为，

由正弦定理可得，

所以

在中，，，

所以，则，

因为，所以．

【小问2详解】

由，

得，

即①．

由余弦定理得，

所以②．

由①②得（舍去）或，

所以．

19. 某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，现从中随机抽取了60名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（1）求图中的值，以及该组数据的众数和中位数；

（2）若采用分层随机抽样的方法，从成绩在和的三组中抽取6人，再从这6人中任选2人，求这2人的成绩在同一组的概率．

【答案】（1），众数为85，中位数为76   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出的值，再求出众数和中位数；

（2）首先求出各段中抽取的人数，利用列举法列出所有可能结果，最后由古典概型的概率公式计算可得.

【小问1详解】

由图可知：，所以，

众数为,

因为，，

所以中位数位于，设中位数为，则，

，即中位数为.

【小问2详解】

由图可知分数在的概率为，分数在的概率为，分数在的概率为，

所以若按分层抽样从这三组中抽人，则分数在的人数为人，

分数在的人数为人，分数在的人数为人，

抽取的人中分数在内的有人，记这人分别为，

分数在内的有人，记这人分别为，

分数在内的有人，记这人分别为，

从人中随机抽取人的情况为，，共15种，

其中人均在内的情况为，人均在内的情况为，

故人的成绩在同一区间的情况共4种，

所以人的成绩在同一区间的概率为.

20. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作．

（1）若，求的斜坐标；

（2）在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示．

①若，求向量的斜坐标；

②若，且，求．

【答案】（1）   

（2）①；②3

【解析】

【分析】（1）通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标.

（2）设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到，从而得到求向量的斜坐标；

②中，通过平行六面体得到，由，得到，并结合题目中的，从而计算出值，并得到的值.

【小问1详解】

，

的斜坐标为．

【小问2详解】

设分别为与同方向的单位向量，

则，

①

②由题，

由，知，

由，知：

，

，解得，

则．

21. 如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，平面平面.

（1）为三角形内（含边界）的一个动点，且，求的轨迹的长度；

（2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）存在；.

【解析】

【分析】（1）作，连接，可以证明的轨迹为线段，求出的长度即可；

（2）以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，，根据向量关系求出值即可.

【详解】（1）作，连接，

由题知平面，

所以，

因为平面平面，平面平面，

所以平面，

所以，

因为，且，

所以平面，

所以的轨迹为线段，

在中可解得;

（2）存在.

以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系,

所以，

所以，

设平面的法向量，

所以，

所以平面的一个法向量，

设，

所以，

所以，

解得或（舍），

所以.

【点睛】本题考查线面垂直以及利用向量法求解线面角问题，向量法是几何与代数的纽带，使计算化繁为简，同时熟悉线面平行、垂直的证明方法，属中档题.

22. 如图示，是以为直径的圆的下半圆弧上的一动点（异于、两点），、分别为、在过点的直线上的射影（、在直线的上方），记，，向量∥直线．

（1）若，求面积最大值及取得最大值时的值；

（2）若，用表示向量、在向量方向上的投影之和的绝对值，试问、满足什么条件时，有最大值？

（3）若，，，求的值．

【答案】（1）时，；   

（2）时，的最大值等于2   

（3）4

【解析】

【分析】（1）先由直径所对的圆周角为直角得到三角形的形状，再利用三角函数的定义和面积公式进行求解；

（2）利用平面向量的数量积的几何意义进行化简可得，再求最值即可；

（3）先由直角三角形中的三角函数定义求得相关边长，再由三角恒等变换进行求解.

【小问1详解】

由为直径得圆周角，

，

，

所以当，即时，．

【小问2详解】

由与相似得，又，

所以，

所以当时，的最大值等于2

【小问3详解】

由相似三角形得，由直角三角形得，

所以