河南省郑州市桐柏一中2023-2024学年八年级上学期第1次月考数学试卷

2023-2024学年河南省郑州市桐柏一中 八年级

第1次月考 数学试题

一、单选题

1．在下列四组数中，属于勾股数的是（    ）

A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41 C．6，7，8 D．1，，

2．下列说法正确的个数是（    ）

①实数包括有理数、无理数和零；

②平方根和立方根都等于它本身的数为0和1；

③不带根号的数一定是有理数；

④两个无理数的和是无理数．

A．0 B．1 C．2 D．3

3．在下列各式中，计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．若直角三角形两条直角边的长分别为和，则斜边上的高是（    ）

A． B． C． D．

5．的算术平方根是（   ）

A．2 B．±2 C．4 D．±4

6．如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D的面积之和为（    ）

A．11 B．14 C．17 D．20

7．计算的结果是（　　）

A．  B．  C．  D．

8．如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么，，…，这些线段中长度为正整数有______条．

A．25 B．5 C．4 D．6

9．我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（尺），求这个秋千的绳索有多长？（    ）

A．12尺 B．尺 C．尺 D．尺

10．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（    ）

A． B．1 C． D．2

二、填空题

11．请写出一个比大且比小的无理数：                  ．

12．如图，，，，一个小球从点A处出发，沿着方向匀速滚向点O，机器人同时从点B出发，沿直线匀速去拦截小球，恰好在C处截住了小球，如果小球与机器人的速度相同，那么机器人行走的路程的长为       ．

13．实数m，n在数轴上的位置如图，化简：        ．

14．比较大小       ．（填“>”或“<”）

15．如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是       ．

三、解答题

16．计算：

(1)；

(2)

17．已知一个正数的平方根是和．

(1)求出的值；

(2)求这个正数；

(3)求的平方根．

18．如图，每个小正方形的边长都为1．

(1)四边形的周长=________；

(2)四边形的面积=________；

(3)是直角吗？判断并说明理由．

19．如图，一辆小汽车在一条限速的公路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为．

(1)求B，C间的距离；

(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．

20．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是，小数部分是，请回答以下问题：

(1)的小数部分是___________；

(2)若是的整数部分，是的小数部分．求的平方根；

(3)若，其中是整数，且，求的值．

21．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点是中点，若，，，求的长．

22．阅读材料：

把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简．

如：

解答问题：

(1)填空：______．

(2)化简：（请写出计算过程）

(3)

23．已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰Rt△PCQ，∠PCQ＝90°．探究并解决下列问题：

（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC＝1+，PA＝，求线段PC的长．

（2）如图2，若点P在AB的延长线上，猜想PA2、PB2、PC2之间的数量关系，并证明．

（3）若动点P满足，则的值为　 ．

参考答案：

1．B

2．A

3．D

4．C

5．A

6．C

7．D

8．B

9．C

10．A

解：设其中一个直角三角形的面积为，

则，，

，

，

，

的值是，

故选：A．

11．（答案不唯一）

12．5

13．

14．>

解：∵，

又∵，

∴，

∴，

故答案为：>．

15．或

解：当时，如图，

，，

，

，

，

由折叠得，，

，

设，

，

在中，，

，即；

当时，如图，作，

    ，

，

，

，

，

．

故答案为：5或2．

16．(1)

(2)

（1）解：

（2）解：

17．(1)

(2)

(3)

（1）解：∵一个正数的平方根是和，

∴，

∴；————————————————————————————（3分）

（2）解：，

这个正数为；——————————————————————（6分）

（3）解：，

，

∴的平方根是．——————————————————（9分）

18．(1)

(2)13

(3)是，理由见解析

（1）由勾股定理得：，，，

∵，

∴四边形的周长

，

故答案为：；—————————————————————（2分）

（2）四边形的面积，

故答案为：9；——————————————————————————（4分）

（3）是直角，

理由是：连接，由勾股定理得：，

∵，

∴，

∴，

即是直角．—————————————————————————（8分）

19．(1)

(2)没有超速，理由见解析

（1）解：在中，由，，且为斜边，

根据勾股定理可得．

答：，间的距离为．———————————————————（3分）

（2）解：这辆小汽车没有超速，理由如下：

，

而，——————————————————————（5分）

，

所以这辆小汽车没有超速．————————————————————（8分）

20．(1)；

(2)；

(3)．

解：（1）∵，即，

∴的整数部分为：，

∴的小数部分为：，

故答案为：；————————————————————————（3分）

（2）∵，即，

∴的整数部分，

又∵，

∴的整数部分为，的小数部分，

∴，

∴的平方根为；———————————————————（6分）

（3）∵，其中是整数，且，而，

∴，

∴，

∴，

∴．——————————————————（9分）

21．12

解：延长交于点，

，，

，

，

，

点是中点，

，

在和中，

，

，———————————————————————（5分）

，，

，

，

在中，，

，

的长为12．————————————————…………—————（9分）

22．(1)

(2)

(3)

（1）解：；

故答案为：；——————————————————————————（2分）

（2）；

故答案为： ；——————————————————————————（5分）

（3）

故答案为：．——————————————————————————（10分）

23．（1）2；（2）AP2+BP2＝PQ2．理由见解析；（3）或．

解：（1）如图①所示：

∵△ABC是等腰直直角三角形，AC＝，

∴AB＝ ，

∵PA＝，

∴PB＝AB﹣PA＝，

∵△ABC和△PCQ均为等腰直角三角形，

∴AC＝BC，PC＝CQ，∠ACB＝∠PCQ，

∴∠ACP＝∠BCQ，

在△APC和△BQC中，，

∴△APC≌△BQC（SAS）．

∴BQ＝AP＝，∠CBQ＝∠A＝45°．

∴△PBQ为直角三角形．

∴PQ＝．

∴PC＝PQ＝2．

故答案为2；————————————————————————————（4分）

（2）AP2+BP2＝PQ2．理由如下：

如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．

∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，

∴CD＝AD＝DB．

∵AP2＝（AD+PD）2＝（DC+PD）2＝CD2+2DC•PD+PD2，

PB2＝（DP﹣BD）2＝（PD﹣DC）2＝DC2﹣2DC•PD+PD2，

∴AP2+BP2＝2CD2+2PD2，

∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2＝DC2+PD2，

∴AP2+BP2＝2PC2．

∵△CPQ为等腰直角三角形，

∴2PC2＝PQ2．

∴AP2+BP2＝PQ2．——————————————————————————（8分）

（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．

①当点P位于点P1处时．

，

．

．

在Rt△CP1D中，由勾股定理得： ，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：，

．

②当点P位于点P2处时．

，

∴P2A＝AB＝DC．

在Rt△CP2D中，由勾股定理得：，

在Rt△ACD中，由勾股定理得： ，

．

综上所述，的比值为或；

故答案为或．—————————————————————————（12分）