广东省深圳市南科大附属光明凤凰学校2023-2024学年上学期九年级10月月考数学试卷

这是一份广东省深圳市南科大附属光明凤凰学校2023-2024学年上学期九年级10月月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了如果3x＝4y等内容，欢迎下载使用。
南科大附属光明凤凰学校2023-2024学年第一学期九年级10月月考数学试卷

一．选择题（每题3分，共30分）
1．把一元二次方程4+4x＝5x2化为一般形式正确的是（　　）
A．4+4x+5x2＝0 B．5x2﹣4x+4＝0 C．5x2﹣4x﹣4＝0 D．5x2+4x﹣4＝0
2．如图的几何体是由一些小正方形组合而成的，则这个几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
3．如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝4，则的值为（　　）

A． B．3 C． D．
5．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必定是（　　）
A．菱形
B．对角线相互垂直的四边形
C．正方形
D．对角线相等的四边形
6．关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2
7．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（　　）

A． B．
C． D．
8．如图，在一幅长为60cm，宽为40cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是3500cm2，设纸边的宽为x（cm），则x满足的方程是（　　）

A．（60+x）（40+x）＝3500 B．（60+2x）（40+2x）＝3500
C．（60﹣x）（40﹣x）＝3500 D．（60﹣2x）（40﹣2x）＝3500
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，BE：EC＝1：2，连接AE交BD于点F，则BF：FD＝（　　）

A．2：3 B．1：2 C．1：3 D．1：4
10．如图，边长为的正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，E为BC边上一动点（不与B，C重合），OF⊥OE交CD于F，G为EF中点．给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②点E在运动过程中，△OEF面积不变化；③△CEF周长的最小值为；④点E在运动过程中，OG与CG始终相等，其中正确的结论是（　　）

A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④

二．填空题（每题3分，共15分）
11．方程x2﹣6x+4＝0的两个实根分别为x1，x2，那么x1x2﹣x1﹣x2的值为　 　．
12．已知黄金矩形的宽为﹣2，则这个黄金矩形的面积是　 　．（注：宽∶长＝的矩形为黄金矩形）
13．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为 　 　．

14．如图，矩形纸片ABCD中，BC＝8cm，把矩形纸片沿直线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，若BF＝cm，则CD的长度为 　 　．

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为　 　．


三．解答题（共55分）
16．（8分）解方程：
（1）（x﹣1）（x+3）＝5； （2）2x2﹣4x+1＝0（用配方法）




17．（6分）已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣2＝0．
（1）试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为3，求2m2+12m+2053的值．





18．（6分）如图1，滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了2.73万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标P，在近岸取点A和C，使点P、A、C共线且与河垂直，接着在过点C且与直线PC垂直的直线上选择适当的点D，确定PD与过点A且与PC垂直的直线交点B，测得AC＝50m，CD＝120m，AB＝80m，请根据这些数据求河的宽度PA．


19．（8分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．



20．（8分）如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）若DE＝3，，求BC的长．


21．（9分）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加 　 　件，每件商品盈利 　 　元（用含x的代数式表示）；
（2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能达到平均每天盈利1500元吗？请说明你的理由．






22．（10分）综合与实践
【经典再现】人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点H，连接HE．）
（1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是为了构造出 　 　≌　 　，进而得到AE＝EF．
【类比探究】
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，且，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交矩形外角的平分线CF于点F，求的值（用含n的式子表示）；
【综合应用】
（3）如图3，P为边CD上一点，连接AP，PF，在（2）的基础上，当，∠PAE＝45°，PF＝时，请直接写出BC的长．


南科大凤凰学校10月月考数学试卷参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．把一元二次方程4+4x＝5x2化为一般形式正确的是（　　）
A．4+4x+5x2＝0 B．5x2﹣4x+4＝0 C．5x2﹣4x﹣4＝0 D．5x2+4x﹣4＝0
【解答】解：方程4+4x＝5x2化为一般形式为5x2﹣4x﹣4＝0，
故选：C．
2．如图的几何体是由一些小正方形组合而成的，则这个几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：从几何体的上面看，是一个“田”字，
故选：A．
3．如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、由比例的性质，得3x＝4y与3x＝4y一致，故A符合题意；
B、由比例的性质，得4x＝3y与3x＝4y不一致，故B不符合题意；
C、由比例的性质，得4x＝3y与3x＝4y不一致，故C不符合题意；
D、由比例的性质，得xy＝12与3x＝4y不一致，故D不符合题意．
故选：A．
4．如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝4，则的值为（　　）

A． B．3 C． D．
【解答】解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，
∴△OAB∽△OCD，∴＝，
∵OA＝2，AC＝4，∴OC＝2+4＝6，∴＝，故选：A．
5．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必定是（　　）
A．菱形 B．对角线相互垂直的四边形
C．正方形 D．对角线相等的四边形
【解答】解：∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEH＝90°，
又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，
∴EF是三角形ABD的中位线，∴EF∥BD，
∴∠FEH＝∠OMH＝90°，
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，
∴EH是三角形ACD的中位线，∴EH∥AC，
∴∠OMH＝∠COB＝90°，即AC⊥BD．故选：B．

6．关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，
解得k≥﹣2且k≠0．
故选：C．
7．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，故选：B．
8．如图，在一幅长为60cm，宽为40cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是3500cm2，设纸边的宽为x（cm），则x满足的方程是（　　）

A．（60+x）（40+x）＝3500 B．（60+2x）（40+2x）＝3500
C．（60﹣x）（40﹣x）＝3500 D．（60﹣2x）（40﹣2x）＝3500
【解答】解：设纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（60+2x）和（40+2x），
根据题意可得出方程为：（60+2x）（40+2x）＝3500，
故选：B．
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，BE：EC＝1：2，连接AE交BD于点F，则BF：FD＝（　　）

A．2：3 B．1：2 C．1：3 D．1：4
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵BE：EC＝1：2，
∴BE：BC＝1：3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△BEF∽△DAF，
∴BE：AD＝BF：DF＝1：3．
故选：C．
10．如图，边长为的正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，E为BC边上一动点（不与B，C重合），OF⊥OE交CD于F，G为EF中点．给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②点E在运动过程中，△OEF面积不变化；③△CEF周长的最小值为；④点E在运动过程中，OG与CG始终相等，其中正确的结论是（　　）

A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，AC、BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，AC⊥BD，
∵OE⊥OF，
∴∠BOC＝∠EOF＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
在△OBE和△OCF中，，
∴△OBE≌△OCF（ASA），
∴OE＝OF，
∵∠BOE＝∠COF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
∴∠OEF＝45°，故①正确；
②∵OE的值随着点E在运动，先变大，后减少，
∴△OEF面积也先变大，后减少；故②错误；
③∵△OBE≌△OCF，
∴BE＝CF，
∴，
设BE＝CF＝x，则，
∴，
∴当时，EF有最小值，最小值为，
∴△CEF周长的最小值为；故③正确；
④∵∠EOF＝∠BCD＝90°，G为EF中点．

∴，
∴点E在运动过程中，OG与CG始终相等，故④正确；
综上，①③④正确，
故选：D．

二．填空题（共5小题）
11．方程x2﹣6x+4＝0的两个实根分别为x1，x2，那么x1x2﹣x1﹣x2的值为　﹣2　．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝6，x1x2＝4，
所以x1x2﹣x1﹣x2
＝x1x2﹣（x1+x2）
＝4﹣6
＝﹣2．
故答案为﹣2．
12．已知黄金矩形的宽为﹣2，则这个黄金矩形的面积是　　．
【解答】解：∵黄金矩形的宽为﹣2，
∴黄金矩形的长＝（﹣2）÷＝，
∴这个黄金矩形的面积＝（﹣2）•＝．
故答案为．
13．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为 　2　．

【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AC∥DF，
∴△AOC∽△DOF，
∴＝＝2，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝2，
∵△ABC的周长为4，
∴△DEF的周长为2，
故答案为：2．
14．如图，矩形纸片ABCD中，BC＝8cm，把矩形纸片沿直线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，若BF＝cm，则CD的长度为 　6cm　．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，AB＝CD＝8（cm），
∴∠ADB＝∠FDB，
根据对折得，∠FDB＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠ADB，
∴BF＝DF＝（cm）（等边对等角），
∴AF＝AD﹣DF＝8﹣＝（cm），
∴AB＝＝＝6（cm），
∴CD＝AB＝6（cm），
故答案为：6cm．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为　　．

【解答】解：如图，过点F作FH⊥AC于H．

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CD，
∴CD＝，AD＝＝＝，
∵FH∥EC，
∴＝，
∵EC＝EB＝2，
∴＝，设FH＝2k，AH＝3k，CH＝3﹣3k，
∵tan∠FCH＝＝，
∴＝，
∴k＝，
∴FH＝，CH＝3﹣＝，
∴CF＝＝＝，
∴DF＝﹣＝，
解法二：过E做EM⊥AB，利用平行线等分线段解决问题．
故答案为．
三．解答题（共7小题）
16．解方程：
（1）（x﹣1）（x+3）＝5
（2）2x2﹣4x+1＝0（用配方法）
【解答】解：（1）原方程整理可得x2+2x﹣8＝0，
则（x+4）（x﹣2）＝0，
∴x+4＝0或x﹣2＝0，
解得：x＝﹣4或x＝2；

（2）∵，
∴，
∴，
则或，
∴原方程的解为
17．已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣2＝0．
（1）试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为3，求2m2+12m+2053的值．
【解答】解：（1）∵Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣2）
＝4m2﹣4m2+8
＝8＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有一个根为3，
∴32+6m+m2﹣2＝0，
整理，得：m2+6m＝﹣7，
∴2m2+12m+2053
＝2（m2+6m）+2053
＝2×（﹣7）+2053
＝﹣14+2053
＝2039．
18．如图1，滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了2.73万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标P，在近岸取点A和C，使点P、A、C共线且与河垂直，接着在过点C且与直线PC垂直的直线上选择适当的点D，确定PD与过点A且与PC垂直的直线交点B，测得AC＝50m，CD＝120m，AB＝80m，请根据这些数据求河的宽度PA．
【解答】解：由题意得，AB⊥PC，CD⊥PC，AC＝50m，CD＝120m，AB＝80m，
∴AB∥CD，
∴∠PAB＝∠PCD，∠PBA＝∠PDC，
∴△PAB∽△PCD，
∴＝，即＝，
∴＝，
解得PA＝100，
答：PA的长为100m．
19．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．

【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝CD，且AB＝BC，
∴CD＝AB，且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，BO＝DO＝2，
∵AO＝＝＝4，
∵CE⊥AB，AO＝CO，
∴EO＝AO＝CO＝4．

20．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）若DE＝3，，求BC的长．

【解答】（1）证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，
∴AF⊥BC，AG⊥DE，
∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，
∵∠BAF＝∠DAG，
∴∠B＝∠ADG，
又∵∠EAD＝∠BAC，
∴△ABC∽△ADE；
（2）解：∵△ADE∽△ABC，
∴，
∵，BC＝3，
∴，
∴BC＝．
21．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加 　2x　件，每件商品盈利 　（40﹣x）　元（用含x的代数式表示）；
（2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能达到平均每天盈利1500元吗？请说明你的理由．
【解答】解：（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加2x件，每件商品盈利（40﹣x）元．
故答案为：2x，（40﹣x）；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，
依题意得：（120﹣x﹣80）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵需要让利于顾客，
∴x＝20．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元；
（3）商家不能达到平均每天盈利1500元，理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为（120﹣y﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2y）件，
依题意得：（120﹣y﹣80）（20+2y）＝1500，
整理得：y2﹣30y+350＝0．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣30）2﹣4×1×350＝﹣500＜0，
∴此方程无解，
即不可能每天盈利1500元．
22．综合与实践
【经典再现】人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点H，连接HE．）
（1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是为了构造出 　△AHE　≌　△ECF　，进而得到AE＝EF．
【类比探究】
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，且，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交矩形外角的平分线CF于点F，求的值（用含n的式子表示）；
【综合应用】
（3）如图3，P为边CD上一点，连接AP，PF，在（2）的基础上，当，∠PAE＝45°，PF＝时，请直接写出BC的长．
​
【解答】解：（1）如图1，

取AB的中点H，连接EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCD＝90°，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝BH＝AH＝BC＝AB，
∴∠AHE＝∠ECF＝135°，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△AHE≌△ECF（AAS），
故答案为：△AHE≌△ECF；
（2）如图2，

在AB上截取BH＝CE，连接EH，
∵E时BC的中点，
∴BE＝CE，
不妨设BH＝BE＝CE＝1，则BC＝2，
∵，∴AB＝2n，
∴AH＝2n﹣1
由（1）得：∠BAE＝∠CEF，∠AHE＝ECF＝135°，
∴△AHE∽△ECF，∴；
（3）如图3，

∵，
∴可设AB＝6x，BC＝4x，则BE＝CE＝2x，
延长EF，AP，交于点R，作RH⊥AD，交AD延长线于H，交BC的延长线与G，作FT⊥CD于T，
∵∠AEF＝90°，∠PQE＝45°，
∴△AER是等腰直角三角形，
∴AE＝ER，
由（1）知：∠BAE＝∠CEF，
∵∠B＝∠G＝90°，
∴△ABE≌△EGR（AAS），
∴EG＝AB＝6x，GR＝BE＝2x，
∴DH＝CG＝EG﹣EC＝6x﹣2x＝4x，
HR＝GH﹣GR＝6x﹣2x＝4x，
∵CD∥GH，
∴△APD∽△ARH，∴，
∴PD＝，
∴CP＝CD﹣PD＝6x﹣2x＝4x，
由（2）知：，
∴，
∴CF＝x，
∴CT＝FT＝x，
∴PT＝CP﹣CT＝3x，
由PT2+FT2＝PF2得，
（3x）2+x2＝（2，
∴x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴BC＝4x＝2．