2023-2024学年安徽省六安市霍邱县九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年安徽省六安市霍邱县九年级（上）月考数学试卷（9月份）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列函数中，属于关于的二次函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.下列各点中，一定在反比例函数的图象上的点是(    )

A.  B.  C.  D.

3.抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4.若点在二次函数的图象上，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.已知，，都在双曲线上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

6.若抛物线是常数的顶点在轴上，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7.已知二次函数，下列说法正确的是(    )

A. 该函数图象开口向上
B. 若点和都在该函数图象上，则
C. 该函数图象与轴一定有交点
D. 时，随的增大而减小

8.反比例函数是常数，且与二次函数在同一坐标系内的大致图象是(    )

A.  B.
C.  D.

9.在一次足球比赛中，某队守门员开出的球门球，经过第一次飞行后的落地点为，第二次从落地点反弹后继续向前飞行，落地点为，如图，已知第一次飞行经过秒时球距离地面的高度米适用公式，足球第二次飞行路线满足抛物线，且第二次飞行的最大高度和从反弹到落地所用时间均为第一次的一半，则足球第二次飞行所满足的函数表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

10.如图，抛物线为常数，且关于直线对称，与轴的其中一个交点坐标为下列结论中：；关于的一元二次方程的解是，；；其中不正确的个数是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.二次函数的二次项系数是______ ．

12.若抛物线与直线交于，两点，则点与点之间的距离 ______ ．

13.如图，在中，，，，的顶点在轴的正半轴上，点，点在第一象限，且直角边平行于轴，反比例函数且的图象经过点和边的中点，则的值为______ ．

14.已知二次函数其中是常数，且．
若该函数的图象经过点，则的值为______ ；
若且当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分
已知是关于的二次函数，求的值．

16.本小题分
已知二次函数是常数，且的图象的对称轴为直线，最大值为，且经过点，求，，的值．

17.本小题分

如图，一辆宽为米的货车要通过跨度为米，拱高为米的单行抛物线隧道从正中通过，抛物线满足表达式保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有米的距离，求货车的限高应是多少．

18.本小题分
根据物理学知识，一定的压力作用于物体上产生的压强与物体受力面积成反比例，已知当时，．
试确定与之间的函数表达式；
如果作用于物体上的压力能产生的压强要大于时，求物体受力面积的取值范围．

19.本小题分

已知二次函数与一次函数．
在给出的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象．
结合图象：
直接写出这两个函数图象的交点坐标；
直接写出对应的自变量的取值范围．

20.本小题分
已知二次函数是常数．
求证：无论取何值，该函数的图象与轴一定有两个交点；
取一个你喜欢的的值，并求出此时函数图象与轴的交点坐标．

21.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数其中的图象相交于，两点．
求一次函数与反比例函数的表达式；
过点作轴，交轴于点，过点作交轴于点，连接，求四边形的面积．

22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为．
求二次函数的表达式；
若点是抛物线上一个动点，且在直线的上方连接，，并把沿翻折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

23.本小题分
某商店经销一种书包，已知这种书包的成本价为每个元市场调查发现，这种书包每天的销售量单位：个与销售单价单位：元有如下关系：设这种书包每天的销售利润为元．
求与之间的函数表达式；
这种书包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
如果物价部门规定这种书包的销售单价不高于元；该商店销售这种书包每天要获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，是关于的二次函数，故A不符合题意；
B、，不是关于的二次函数，故B不符合题意；
C、，不是关于的二次函数，故C不符合题意；
D、，是关于的二次函数，故D符合题意；
故选：．
根据二次函数定义，即可判断．
本题考查了二次函数的定义，形如函数  是二次函数，注意二次项的系数不能为零，等号两边都是整式．

2.【答案】 

【解析】解：反比例函数为，
A.，故A不符合题意；
B.，故B符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.，故D不符合题意．
故选：．
由于点在反比例函数图象上，那么点的坐标满足函数的解析式，由此即可确定选择项．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，解题的关键是利用反比例函数的图象的点坐标特点解决问题．

3.【答案】 

【解析】解：由可知抛物线的顶点是，
故选C．
根据抛物线的顶点式求得顶点坐标即可判断．
本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求得顶点坐标是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，得
，即，
解得，．
故选：．
将点代入二次函数的解析式列出关于的一元一次方程，然后通过解一元一次方程求得的值即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式的点就一定在函数的图象上．

5.【答案】 

【解析】解：双曲线中，
双曲线在二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，
，，
点，在第二象限，在第四象限，
，．
．
故选：．
先根据函数图象得出此函数在每一象限内的增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：抛物线是常数的顶点在轴上，
，
解得或，
故选：．
抛物线的顶点在轴上时，抛物线与轴的交点只有一个，因此根的判别式，可据此求出的值．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解当顶点在轴上时，抛物线与轴有唯一的公共点．

7.【答案】 

【解析】解：由题意，，
该二次函数的图象的开口方向向下；对称轴为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；令，对应方程无解，故与轴没有交点．
又当时，；担当时，，
．
综上，、、均错误，D正确．
故选D．
依据题意，，进而由二次函数的图象与性质可以判断得解．
本题考查了二次函数图象与性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．

8.【答案】 

【解析】解：选项A中，反比例函数中的，二次函数中的，而顶点坐标为应该在轴的正半轴，故该选项错误，不符合题意；
选项B中，反比例函数中的，二次函数中的，故该选项错误，不符合题意；
选项C中，反比例函数中的，二次函数中的，顶点坐标为应该在轴的正半轴，故该选项正确，符合题意；
选项D中，反比例函数中的，二次函数中的，而顶点坐标为应该在轴的正半轴，故该选项错误，不符合题意；
故选：．
根据反比例函数的性质和二次函数的性质，可以分别判断出它们的的正负情况和二次函数顶点所在的位置，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和二次函数的性质解答．

9.【答案】 

【解析】解：当时，，
解得：，，
点的坐标为；
，
点的坐标为；
，
第一次飞行的最高点为，
第二次飞行的最大高度为第一次的一半，
第二次飞行的最高点为，即
设足球第二次飞行所满足的函数表达式为，
将代入得：，
解得：，
足球第二次飞行所满足的函数表达式为，即．
故选：．
利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出点的坐标，结合，可求出点的坐标，利用配方法，将变形为顶点式，进而可得出第一次飞行的最高点为，结合第二次飞行的最大高度为第一次的一半，可得出第二次飞行的最高点顶点，设足球第二次飞行所满足的函数表达式为，由点的坐标，利用待定系数法可求出的值，此题得解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的三种表达形式，根据第二次飞行的最大高度和从反弹到落地所用时间均为第一次的一半，找出点的坐标及第二次飞行的最高点是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口方向向下，
，
抛物线的对称轴在轴的右侧，
，异号，
，
抛物线与轴的交点在正半轴，
，
，
故正确；
抛物线的对称轴为直线，
点关于直线的对称点的坐标为，
关于的一元二次方程的解是，；
故正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
当时，，即，
，
，
故正确；
时，函数有最大值，，
，
故不正确；
故选：．
根据抛物线开口方向，对称轴，与轴的交点坐标即可判断，，的值，即可判断；根据抛物线的对称性求得抛物线的另一个交点，利用函数与方程的故选即可判断；时，即可判断；根据抛物线的对称轴可得，再根据当时，，进行计算即可判断；根据二次函数的最值即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，根与系数的关系，抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：变形为，
二次项系数为．
故答案为：．
化成二次函数的一般形式，即可得出二次项系数．
本题考查的是二次函数的一般形式，通过去括号，移项，合并同类项，得到二次函数的一般形式，确定二次项系数，一次项系数，常数项的值．

12.【答案】 

【解析】解：令，
解得，，
点、的坐标分别为，，
．
故答案为：．
通过解方程得点、的坐标，然后计算点与点之间的距离即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质，函数与方程的故选是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
，
由题意可知，则，
点是的中点，
，
反比例函数且的图象经过点，
，解得．
故答案为：．
利用勾股定理求得，由题意可知，则，进一步求得，代入且即可求得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，正确表示出点的坐标是解题的关键．

14.【答案】   

【解析】解：函数的图象经过点，
，
解得；
故答案为：；
当时，，
二次函数与轴的交点坐标为，
又二次函数的对称轴是：直线，
，
抛物线开口向下，
当时对应的函数值均为正数，
当时，，
解得，
．
故答案为：．
把代入，即可求得的值；
由可知抛物线开口向下上，求得对称轴为直线，代入，求得，代入得到，由题意可知，解得，即可求得．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键：把代入；根据二次函数的性质得．

15.【答案】解：由题意得，，
解得或，
，
，
的值为． 

【解析】根据二次函数的定义列式计算，得到答案．
本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是关键．

16.【答案】解：二次函数是常数，且的图象的对称轴为直线，最大值为，
顶点为，
可设函数表达式为，
函数图象经过点，
，解得，
，
，，． 

【解析】利用待定系数法即可求得，，的值．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．

17.【答案】解：当时，，
米．
答：货车的限高应是米． 

【解析】根据货车的宽度可求出当时的值，用其减去即可求出结论．
本题考查了二次函数的应用，代入求出值是解题的关键．

18.【答案】解：一定的压力作用于物体上产生的压强与物体受力面积成反比例，
可设，
当时，，
，
，
与之间的函数表达式为；
产生的压强要大于，
，
，
又，
，
即如果作用于物体上的压力能产生的压强要大于时，求物体受力面积的取值范围是． 

【解析】根据反比例函数的定义可设，把时，代入，即可求解；
压强大于，即时，求相对应的自变量的范围．
此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，用反比例函数的知识解决实际问题．

19.【答案】解：列表：

描点、连线，可得到这两个函数的图象，如图：
两个函数图象的交点坐标为，；
，
二次函数图象在一次函数上方的部分对应的自变量即为所求．
对应的自变量的取值范围是或． 

【解析】依据题意，在坐标系中画出图象即可得解；
依据题意，可以判断得解；
依据题意，由二次函数图象在一次函数上方的部分对应的自变量即为所求．
本题主要考查二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解函数的图象的意义是关键．

20.【答案】证明：，
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
无论取何值，该函数的图象与轴一定有两个交点．
解：由题意，若，
．
当时，
．
．
此时函数图象与轴的交点坐标为和． 

【解析】依据题意，求出，然后由根的判别式的大小进行判断可以得解；
本题答案不唯一．举例后令，然后计算可以得解．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．

21.【答案】解：将点代入反比例函数，得，
反比例函数的表达式为：，
将点代入，得，
点的坐标为，
将点，代入一次函数，
得：，解得：，
一次函数的表达式为：；
设一次函数与轴交于点，如图：
 
点，，轴，
，，点的坐标为，
轴，
四边形为平行四边形，
，
；
对于，当时，，
点的坐标为，
，
，
点的坐标为，
又点，
轴，
，
，
． 

【解析】将点代入反比例函数之中求出的值可得反比例函数表达式；再将点代入所求反比例函数的表达式求出的值得点的坐标，将点，坐标代入一次函数之中求出和的值可得一次函数表达式；
设一次函数与轴交于点，先证四边形为平行四边形得，进而可求出 ，再求出点的坐标为，进而可得点，然后根据点的坐标可得轴，，据此可求出，最后根据 可得出答案．
此题主要考查了一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法求函数的表达式是解答此题的关键．

22.【答案】解：将，代入，
得，
解得，
二次函数的解析式为．
答：二次函数的解析式为．
存在点，使四边形为菱形．理由如下：
设，连接；交于点，

若四边形是菱形，则，
连接，则，，
，
解得，不合题意，舍去，
 

【解析】利用待定系数法即可求解．
设出点的坐标，求出的坐标，利用菱形的性质即可求解．
本题主要考查二次函数的综合应用，解答本题的关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，还要牢记菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，菱形的四条边都相等．

23.【答案】解：，
即与之间的函数表达式；
根据题意得：，
，
当时，有最大值，最大值是元，
答：这种书包销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元；
当时，，
解得，，
，
不符合题意，舍去，
答：该商店销售这种书包每天要获得元的销售利润，销售单价应定为元． 

【解析】每天的销售利润每天的销售量每件产品的利润；
根据配方法，可得答案；
根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
本题考查了二次函数的应用；得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法．